Matlab在高等代数中的应用

toc
err=norm(y-x) res=norm(A*y-b)
tic
Yy=A\b; Toc; Err=norm(Yy-x); Res=norm(A*Yy-b);
矩阵和向量的范数
A=[2 3 1;-4 2 2;3 4 3]; norm(A,1) Norm(A,2)
解超定方程组
C=[3 4 5; 6 1 2; b=[3 2 4 6]‘ rankΒιβλιοθήκη C) x1=C\b C*x1-b
4 -5 7;
8 2 4]
X2=pinv(C)*b
解欠定方程组
解欠定方程组
A=[1 -2 3; 0 1 -1; -1 0 -1; 1 -3 4] b=[4 -3 -4 1]‘ rank(A) x=pinv(A)*b y=A\b
如何解通项
特征值和特征向量
特征值和特征向量
例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; R=chol(A) ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。
d = eig(A) [V,D] = eig(A) A=[1,2,3,4;5,6,7,8;6,7,8,9;4,3,2,8] eig(A) [v,d]=eig(A)
A*v(:,1) d(1,1)*v(:,1)
线性方程组解法
直接解法 1．利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求解： x=A\b
b共轭矩阵?复数矩阵的共轭与复数的共轭类似复数矩阵的共轭矩阵与复数矩阵的实部相同虚部相反可运用函数conja求得?a12
MatLab在高等代数中的应用
‘求矩阵的转置 a =[1 2 3;4 5 6] a‘
det(A)
行列式的值 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 6] det(A)
例 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b) 例子：lutest
pinv(A)(AXA=A,XAX=X)
E=[2 2 3;4 5 6;
7 8 9;
10 11 12] rank(E) x=pinv(E); E*x*E
矩阵的迹trace
矩阵的初等行变换
A=[1 1 1;1 2 -5;2 3 -4]; B=rref(A)
A1=[1 2 -2 1]’ A2=[2 -3 2 1]’ A3=[3 -1 0 2]’ A4=[3 2 1 2]’ A=[A1 A2 A3 A4] [R,jb]=rref(A) A(:,jb)
(3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成 一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R， 则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。MATLAB函数 chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为： R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使R'R=X。若X为非对称 正定，则输出一个出错信息。 [R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对 称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p 为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为 q=p-1的上三角阵，且满足R'R=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以 x=R\(R’\b)。
单位矩阵，全1矩阵，全0矩阵,魔方阵 eye(n) ones(n),ones(m,n) zeros(n),zeros(m,n) magic(n)
A = magic(3)
A+2
A' B = 2*ones(3) A*B A.*B
共轭矩阵
复数矩阵的共轭与复数的共轭类似，复数 矩阵的共轭矩阵与复数矩阵的实部相同， 虚部相反，可运用函数conj(A)求得
QR分解（任意矩阵）
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一 个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。 MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格 式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R， 使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵 R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
Zjbh.m
应用
参考matlab数学计算范例教程
B= [ 1 4 7 2 3; 8 12; 8 6]
>> inv(B) Warning: Matrix is singular to working precision. ans =

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf
广义逆矩阵
A=[1 2;3 4] C=conj(A) B=[1+2i 2+2i;1-i 3+i] D=conj(B)
矩阵的秩
rank(A)
逆矩阵和广义逆矩阵
B=[1 2 3;4 5 6;7 8 6] inv(B) inv(B)*B B需为方阵
如果A不是方阵或 为奇异的方阵，函数会给出错误警告， 计算结果都是Inf
方程组
恰定方程：有唯一解的方程组 欠定方程；有无穷多解 超定方程：解不存在的 ；
解恰定方程组
A=[1 -2 -3 -4 2 2 -2 2 -1 0 -1 2 3 -3 4 -5] b =[1 2 3 4]' x =inv(A)*b A*x
A=rand(100); x=ones(100,1); b=A*x; Tic y=inv(A)*b;
例7-3 用QR分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b))
2．利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分 解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR 分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、 奇异分解等。
(1) LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明， 只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格 式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须 是方阵。 [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。