折射定律证明及在数学上的应用

折射定律证明
折射定律由荷兰数学家斯涅尔发现，是在光的折射现象中，确定折射光线方向的定律。

（1）折射光线位于入射光线和界面法线所决定的平面内； （2）折射线和入射线分别在法线的两侧；
（3）入射角i 的正弦和折射角i ′的正弦的比值，对折射率一定的两种媒质来说是一个常数。

光从光速大的介质进入光速小的介质中时，折射角小于入射角；从光速小的介质进入光速大的介质中
时，折射角大于入射角。

折射率n ：光在真空中的传播速度与光在该介质中的传播速度之比。

真空的折射率等于1，设第一介质的折射率为n 1，入射角θ1；第二介质的折射率为n 2，折射角θ2，于是折射定律可写成如下形式：
1122sin sin n n θθ=
证明：设在第一介质中的光速度为V1，在第一介质中的光速度为V2，真空中的光速为C 根据定义：
最少的路径传播。

试确定光线传播的路径。

设A 点到介质1的垂直距离为AO=h1，B 点到分界面的垂直距离为BQ=h2，X 轴沿分界面过点O 、Q ，OQ 长度为L 。

由于光线总是沿着时间最少的路径传播，因此光线在同一均匀介 质中必沿直线传播，设光线的传播路径与X 轴的交点为P ，OP=x,则光
下面来确定x 满足什么条件时，T(x)在[0,L]上取得最小值。

由于 22
21
2
1211
()x L x V h x h L x --
++-2
2
123322221
2
2
2
1
21
1
()0,[0,]()
[()]
h h T x x L V V h x h L x ''=
+
>∈++-
(0)0,()0T T L ''<>
又T ’(x)在[0,L]上连续，故T ’(x)在[0,L]内存在唯一零点x0,且x0是T(x)在(0,L)内的唯一极小点，
从而也是T(x)在[0，L]上的最小值点。

设x0满足T ’(x)=0，即
x L x =
12sin ,
sin x L x θθ==
∴
1
2
1
2
sin sin V V θθ=
这就是说，当P 点满足以上条件时，APB 就是光线的传播路径。

光的速度： 水 2.25×10^8m/s 玻璃 2.0×10^8m/s 冰 2.30×10^8m/s
空气3.0×10^8m/s 酒精：2.2×10^8m/s
折射率： 冰1.309 水(20℃)1.333 玻璃1.5-1.9 水晶2.00
钻石2.417 30%糖溶液1.380 80%糖溶液1.490
折射定理运用
1、 设有一质点从点A(x1,y1)运动到点B(x2,y2)(y1>0,y2<0),该质点的运动速度在上半平面为常数V1，
下半平面为常数V2，此质点应沿什么路径运动才能花费时间最短？
解：显然该质点在上半平面和下半平面都应是直线，故从A 到B 应为折线，只需求出折点C 即可。

设AC 、BC 与y 轴的夹角分别为i1和i2,我们来证明当
(1)式就是光的折射定律：当光从一种介质进入另外介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比。

任取另一路径AC 1B ，质点经路径ACB 所花时间为
12
AC BC
V V +，
质点经路径AC 1B 所花时间为
1112
AC BC V V +
只需证当(1)成立时，111212
AC BC AC BC
V V V V +≤+
过C 1分别向AC 延长线和CB 作垂线C 1D 1和C 1D 2，则 ∵ AC=AD 1-CD 1， BC=BD 2+CD 2
∴ 112212************
()()()AD CD BD CD AD BD CD CD AC BC
V V V V V V V V V V +=-++=++- (2) ∵ ∠CC 1D 1=i 1，∠CC 1D 2=i 2, ∴ CD 1=CC 1sini 1,CD2=CC 1sini 2 ∴
2121
12121
sin sin ()0CD CD i i CC V V V V -=-=
∵ AD 1≤AC 1,BD 2≤BC 1 ∴
1211121212
AD BD AC BC AC BC
V V V V V V +=+≤+
∴ ACB 路径时间最短
2、铁路线上AB 段的距离为100km ，工厂C 距A 处为20km ，AC 垂直于AB （如图）。

为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路。

已知铁路每公里货运 的运费与公路上每公里货运的运费之比为3：5，为了使货物从 供应站B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应选在何处？ 解法1：利用折射定律(每公里运费相当于折射率)
设AD ＝x (km)，
解法2和解法3
设AD ＝x (km)，那么DB
＝100－x ，
由于铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3：5，因此不妨设铁路上每公里的运费为3k ，公路上每公里的运费为5k 。

设从B 点到C 点需要的总运费为y ，那么
y=5k*CD+3k*DB
即
24003(100)(0k x k x ++-解法2 求导法
2
5(
3)400x y k x
'=-+
当y ’=0时，y 存在极值，得x=15km 解法3 换元法
从解法2中，得知
254003(100)(0100)y k
x k x x =++-≤≤
令x ＝20tan θ，则
再令
5sec 3tan t θθ=-，则
t ≥4， t ≤-4（不符，舍去）
最小值t=4 ∴ 5sec 3tan 4θθ-=
∵
22sec 1tan θθ=+
联合解得，tan θ=3/4 ∴ x= 20tan θ=15km。