幂函数 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

新课引入
观察（1）-（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
（1） = ;
（2） = 2 ;
（3） = 3 ;
1
2
（4） = ；
（5） = −1 .
新课引入
观察（1）-（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
（1） = 1 ;
（2）�� =
2 ;
（3） = 3 ;
1
1
1
1
2 = 22 ，解得 = ，所以() = 2 ，(9) = 92 = 3.
2
新课引入 幂函数的概念 图象与性质
有了幂函数的定义，接下来我们应该研究幂函数
的哪些内容呢？
✎
如何研究一类函数的这些性质？
一般幂函数：
=
特殊幂函数
对于幂函数 = ，我们只研究
2
3
1
2
= , = , = , = , = −1

新课引入 幂函数的概念 图象与性质
你能从以上五个幂函数的图象和性质出发，得出幂函数的一些基本性质吗？

= 3
1、过定点
= 2
=
=
幂函数的图象都通过点
（1，1).
2、奇偶性
是奇数： = 是奇函数；
是偶数： = 是偶函数；
1
2
= −1

3、单调性
在区间（0， + ∞）上：

5、当α>1时，幂函数的图象下凸；
当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；
当0<α<1时，幂函数的图象上凸.
6、在第一象限，作直线 = ( >
1)，它同各幂函数图象相交，按交点
从下到上的顺序，幂指数按从小到大
的顺序排列.
新课引入 幂函数的概念 图象与性质
✎
应用
你能利用幂函数的性质，画出函数 = −2 的草图吗？：
=
=
1 + 2
1 + 2
因为1 − 2 < 0, 1 + 2 > 0,
所以(1 ) − (2 ) < 0，
所以(1 ) < (2 )，幂函数() = 是增函数.
作商法
(1 )
1
=
=
(2 )
2
1
2
因为2 > 1 > 0，
1
所以0 <
< 1，0 <
（3）如果长方体的棱长为,那么立方体的体积 = 3 这里是的函数.
（4）如果一个正方形场地的面积为,那么这个正方形的边长 = ，这里
是的函数；

也可以表示为
(5)如果某人 内骑车行进了1 ，那么他骑车的平均速度 =
= −1 ，这里是的函数.
1

/，即
3.3 幂函数
新课引入
☛ 阅读与思考
阅读：教材89页（1）-（5）.
思考：观察（1）-（5）中的函数解析式，它们有
什么共同特征？
新课引入
（1）如果张红以1元/的价格购买了某种蔬菜 ，那么她需要支付 =
元，这里是的函数；
（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积 = 2 ，这里是的函数；
✽ 小结
✽ 作业
应用 小结与作业
✽概念辨析：
2、已知幂函数() = （2 + − 1) +3 是奇函数，求的值.
解：由幂函数的概念，可得2 + − 1 = 1，即
2 + − 2 = 0，解得 = −2或1.
因为()是奇函数，所以 = −2.
3、已知幂函数()过点(2, 2)，求(9).
解：设幂函数() = ，因为()过点(2, 2)，所以(2) = 2
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数

偶函数
在(0，＋∞)
在[0，＋∞)
单调性
上单调递增，
增函数
在(－∞，0]
上单调递减
增函数
在[0，＋∞)上
上单调递减，
单调递增
在(－∞，0)
上单调递减
新课引入 幂函数的概念 图象与性质
✎
请同学们在刚才的同一坐标系中画出函数 =
1
2
（4） = ；（5） = ຫໍສະໝຸດ 1 .抛开实际背景
=
幂
共同特征：
（1）解析式都具有幂的形式；
指数
（2）以幂的底数为自变量；
（3）幂的指数都是常数.
底数
新课引入 幂函数的概念
✽幂函数的概念：
一般地，函数 = 叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
✽概念辨析：
(1)(4)(5)(6)
（−
1
1.5）3 _____（
1
− 1.4）3
= 2
= −1

新课引入 幂函数的概念 图象与性质
应用
✎
利用幂函数的图象与性质，比较下列各题中两个值的大小或
求解不等式：
1
−2
（3）（ − 1.5）−2 _____（ − 1.4）−2
= = 2

（−
1
1.5）3 _____（
1
− 1.4）3
2
1
<1
2
新课引入 幂函数的概念 图象与性质
应用
✎
利用幂函数的图象与性质，比较下列各题中两个值的大小或
求解不等式：
= 3

= 2
（1）（ − 1.5）3 _____（
− 1.4）3
<
=
1
1
>
______
−1.5
−1.4
1
（2）解不等式 2
− ≥ 0;
[1, +∞)
（3）（ − 1.5）−2 _____（ − 1.4）−2
> 0， = 单调递增;
< 0， = 单调递减.
4、无限接近
< 0时，在第一象限内，函
数 = 的图象向上与轴无
限接近，向右与轴无限接近.
新课引入 幂函数的概念 图象与性质
除上述性质外，你还能得到哪些性质？

= 3
= 2
=
=
1
2
= −1
1、下列函数是幂函数的是______________.
(1) = 5 ;
(4) =
0;
(2) = 2 2 ;
(5) =
1
;
2
(3) = 2 + ;
(6) =
4
5
幂的指数除了
可以取整数之外，
还可以取其他实数，
当它们取其他实数
时幂也具有各自的
含义，这些会在后
面学习.
新课引入 幂函数的概念
y
= −2

新课引入 幂函数的概念 图象与性质
✎
例
证明幂函数() = 是增函数.
证明：函数的定义域是[0, +∞）.
∀1 、2 ∈ [0, +∞），且1 < 2 ，有
作
差 (1 ) − (2 ) = 1 − 2
法
1 − 2
( 1 − 2 )( 1 + 2 )
这五个幂函数的图象与性质.
新课引入 幂函数的概念 图象与性质
✎
请同学们在同一坐标系中画出函数 = , = 2 , = −1
的图象.
✎
观察图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在表格内.

= 2
=
= −1
=
1
2
y＝x－1
y＝x
y＝x2
y＝x3
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
通过点（1，1).
3、单调性
4、无限接近
在区间（0， + ∞）上，
在第一象限内，函数
1、经过的特殊点； 函数 = , = 2 , = 3 , = −1 的图象向上与轴
无限接近，向右与轴无限
2、单调性、奇偶性； = 12 单调递增，函数
接近.
3、图象的变化趋势. = −1 单调递减.
=
1
3
=
3

新课引入 幂函数的概念 图象与性质
应用
✎
利用幂函数的图象与性质，比较下列各题中两个值的大小或
求解不等式：
1
−2
− 1.4）−2
<
（3）（ − 1.5）−2 _____（
= = 2

（−
1
<
1.5）3 _____（
y
=
1
− 1.4）3
=
1
3
=
y
−2
3

=
1
3


新课引入 幂函数的概念 图象与性质
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
2
=
3,
偶函数

在(0，＋∞)
在[0，＋∞)
单调性
上单调递增，
增函数
在(－∞，0]
上单调递减
增函数
在[0，＋∞)上
上单调递减，
单调递增
在(－∞，0)
上单调递减
新课引入 幂函数的概念 图象与性质
观察这五个幂函数的图象，它们有哪些共同性质？有哪些不同性质？

= 3
1、过定点
= 2
=
=
1
2
= −1
2、奇偶性
函数 = , = 2 , = 3 , 奇函数： = , = 3 , = −1
1
2
偶函数：
=

−1
= 2 和 = 的图象都

= 3
= 2
=
=
1
2
= −1

3,
1
2
= ,的图象.
新课引入 幂函数的概念 图象与性质
✎
请同学们在刚才的同一坐标系中画出函数 =

= 3
=
=
1
2
= −1
1
2
= ,的图象.
=
1
2
y＝x－1
y＝x
y＝x2
y＝x3
定义域
R
R
R
[0，＋∞)