第08讲 命题、定理与证明-2021-2022学年八年级数学上册同步精品讲义(华师大版)(学生版)

第8讲命题、定理与证明
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1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；
2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；
4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；
5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.
知识精讲
知识点01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.
【即学即练1】
请说出下列名词的定义：
（1）无理数（2）直角三角形
【答案】
解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.
【即学即练2】
指出下列句子哪些是定义.
(1)两直线平行,内错角相等；
(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；
(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
(4)等腰三角形的两底角相等；
(5)平行四边形的对角线互相平分；
(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【答案】（2），（3），（6）是定义.
知识点02 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：
证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
【即学即练3】
证明：等角的余角相等．
【思路】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.
知识点03 平行公理及平行线的判定定理
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
2．平行线的判定定理
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【即学即练4】
如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
考法01 定义与命题
1.说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：
（1）如果,>>a b b c ，那么>a c ；
（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.
2.下列四个命题中，属于真命题的是（ ）.
A ．若2a m =，则a m =
B ．若a ＞b ，则am ＞bm
C ．两个等腰三角形必定相似
D ．位似图形一定是相似图形
考法02 平行线的判定定理
如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于F ，∠CFE=∠E ．求证：AD ∥BC ．
能力拓展
2.已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．
分层提分
题组A 基础过关练
一、选择题
1.下列句子中,是命题的是( ).
A.今天的天气好吗
B.作线段AB∥CD
C.连接A、B两点
D.正数大于负数
2.下列命题是假命题的是( ) .
A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c
B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
D.矩形的对角线相等且互相平分
3.下列叙述错误的是( ) .
A.所有的命题都有条件和结论
B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题
D.所有的公理都是真命题
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDE度数为（）
A．71°B．64°C．80°D．45°
5．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是() .
A．平行的性质
B．等值代换
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．以上都不对
6．如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC=130°，那么当∠CDE等于（）时，BC∥DE．
A．40°B．50°C．70°D．130°
7.如下图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M．则∠3＝（）.
A．60°B．65°C．70°D．130°
8.如下图，已知AB∥CD，若∠A＝20°，∠E＝35°，则 C等于( ) .
A．20°B．35° C．45° D．55°
题组B 能力提升练
9．如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．
10．命题“如果a≠b，那么a2≠b2”的题设是________，结论是________________．
11．如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=°．
12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=．13．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1+∠2＝________.
14．同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a________c．若a∥b，b∥c，则a________c．若a∥b，b⊥c，则a________c．
15.如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠ABC＝度．
16. 如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是．
题组C 培优拔尖练
17．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，你能推断哪两条线段平行?说明理由．
19.如图,△ABC中,∠A＝80°,∠B、∠C的角平分线相交于点O,∠ACD＝30°,•求∠DOB的度数.
A
D
O
C
B
20．△ABC中，∠B＞∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，设∠B=x，∠C=y．
（1）如图1，若AE⊥BC于点E，试用x、y表示∠EAD，并说明理由．
（2）如图2，若点F是AD延长线上的一点，∠BAF、∠BDF的平分线交于点G，则∠G=．（用x、y表示）
21．如图所示，在平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，
∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）
22. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．
23.如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．
24.已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）∠ABC+∠ADC=；
（2）如图1，若DE平分∠ABC的外角，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明．（3）如图2，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=∠CDN，∠CBE=∠CBM），试求∠E 的度数．。