2020届四川省乐山市高三上学期第一次调查研究考试(12月) 数学(理)

乐山市高中2020届第一次调查研究考试
数学(理工农医类)
本试题卷分第－部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分。

第－部分1至2页，第二部分3至4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷，草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试题卷和答题卡－并交回。

第一部分(选择题 共60分)
注意事项：
1.选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上。

2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|(x ＋2)(x －3)<0}，B ＝{x|y
＝1x -}，则A ∩(R ðB)＝ (A)[－2，1) (B)[1，3] (C)(－∞，－2) (D)(－2，1)
2.已知OA u u u r ＝(5，－1)，OB uuu r ＝(3，2)，AB u u u r 对应的复数为z ，则z r ＝
(A)5－i (B)3＋2i (C)－2＋3i (D)－2－3i 3.(2x －y)5的展开式中，含x 3y 2的系数为 (A)80 (B)－80 (C)40 (D)－40
4.在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)。

据此绘制了如下图所示的频率分布直方图。

则这200名学生中成绩在[80，90)中的学生有
(A)30名 (B)40名 (C)50名 (D)60名
5.函数332,0
()log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩
的零点之和为
(A)－1 (B)1 (C)－2 (D)2
6.我市高中数学研究会准备从会员中选拔x 名男生，y 名女生组成－个小组去参加数学文化知识竞赛，若x ，
y 满足约束条件25
1127
x y y x x -≥
⎧⎪⎪
≥-⎨⎪≤⎪⎩，则该小组最多选拔学生
(A)21名 (B)16名 (C)13名 (D)11名 7.设m ＝－log 0.30.6，n ＝
21
log 0.62
，则 (A)m ＋n<mn<0 (B)mn<0<m ＋n (C)m ＋n<0<mn (D)mn<m ＋n<0
8.元代著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有－首诗：“我有－壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当有多少酒?”用程序框图表达如图所示。

若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中
13的酒量”即输出值是输入值的1
3
，则输入的x 的值为
(A)
35 (B)911 (C)21
23
(D)4547 9.已知单位向量e 1，e 2分别与平面坐标系的x ，y 轴的正方向同向，且向量AC u u u r ＝3e 1－e 2，BD u u u r
＝2e 1＋6e 2，
则平面四边形ABCD 的面积为
(A)10 (B)210 (C)10 (D)20 10.函数2sin ()ln
2sin x
f x x x
-=⋅+的部分图象可能是
11.已知函数2
7
ln ,0
()2,0
x x x
x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪-≤⎩
，令函数g(x)＝f(x)－32x －a ，若函数g(x)有两个不同的零点，则实
数a 的取值范围为 (A)(
916，e) (B)(－∞，0) (C)(－∞，0)∪(916，e) (D)(－∞，0)∪[916
，e] 12.如图，已知函数3
()sin 2
f x x π=
，A 1，A 2，A 3是图象的顶点，O ，B ，C ，D 为f(x)与x 轴的交点，线段A 3D 上有五个不同的点Q 1，Q 2，…，Q 5，记2i i n OA OQ =⋅u u u u r u u u u r
(i ＝1，2，…，5)，则n 1＋n 2＋…＋n 5的
值为
(A)
1532 (B)45 (C)1534 (D)45
2
第二部分(非选择题 共90分)
注意事项：
1.本卷包括必考题和选考题两部分。

第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－23题为选考题，考生根据要求作答。

2.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效。

3.本部分共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分。

13.命题“,()x R f x x ∀∈≤”的否定形式是 。

14.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别是(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))＝ ；函数f(x)在x ＝1的导数f'(1)＝ 。

15.如图，在单位圆中，7S △PON ＝23，△MON 为等边三角形，M 、N 分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin ∠POM ＝ 。

16.已知△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a ，则b c
c b
+的取值范围为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

17.(本小题满分12分)
已知{a n }是递增的等差数列，且满足a 2＋a 4＝20，a 1·a 5＝36。

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若*1
30()2
n n b a n N =
-∈，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值。

18.(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且满足tan tan 2A a
C b a
=
-。

(1)求角C ；
(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为33，求边CD 的最小值。

19.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，D 为AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝
2π，∠ABB 1＝3
π
，且AB ＝B 1C 。

(1)求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；
(2)求CD 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值。

20.(本小题满分12分)
某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查。

下面是根据调查结果绘制的
一周学生阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”。

(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5％的把握认为“阅读爱好”与性别有关
?
(2)将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望E ξ。

附：
P(2
0K k ≥) 0.01 0.050 0.025 0.010 0.001
k 0
2.706
3.841 5.024 6.635 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n ＝a ＋b ＋c ＋d 。

21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝e ax ＋
b (a ，b ∈R)的图象与直线l ：y ＝x ＋1相切，f'(x)是f(x)的导函数，且f'(1)＝e 。

(1)求f(x)；
(2)函数g(x)的图象与曲线y ＝kf(x)(k ∈R)关于y 轴对称，若直线l 与函数g(x)的图象有两个不同的交点A(x 1，g(x 1))，B(x 2，g(x 2))，求证：x 1＋x 2<－4。

请考生在第22－23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为51010x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(φ为参数)。

以坐标原点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ。

(1)求曲线C 1与曲线C 2两交点所在直线的极坐标方程；
(2)若直线l 的极坐标方程为sin()4
π
ρθ+=，
直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线C 1相交于A ，B 两点，求|MA|＋|MB|的值。

23.(本小题满分10分) 已知x ，y ，z 都是正数。

(1)若xy<l ，证明：|x ＋y|·|z ＋y|>4xyz ； (2)若1
3
xyz x y z =++，求2xy ·2yz ·2xz ＝的最小值。