(五年高考)高考数学复习 第六章 第三节 等比数列及其前n项和 文(全国通用)-人教版高三全册数学试

第三节 等比数列及其前n 项和
考点一 等比数列的概念及性质
1.(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
A.2
B.1
C.12
D.1
8
解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 2
4，所以a 2
4＝4(a 4－1)，解得a 4＝2，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3
，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.选C.
答案 C
2.(2012·某某，5)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5等于( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析 由题意可得，a 3·a 11＝a 2
7＝16，
∴a 7＝4.∴a 5＝a 7q 2＝4
2
2＝1.
答案 A
3.(2012·，6)已知{a n }为等比数列.下面结论中正确的是( ) A.a 1＋a 3≥2a 2 B.a 2
1＋a 2
3≥2a 2
2 C.若a 1＝a 3，则a 1＝a 2 D.若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 解析 由等比数列性质，得a 2
1＋a 2
3≥2a 1a 3＝2a 2
2，故选B. 答案 B
4.(2015·某某，13)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.
解析 ∵三个正数a ，b ，c 成等比数列，∴b 2
＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1.∵b 为正数，∴
b ＝1.
答案 1
5.(2014·某某，13)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.
解析 由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 2
3，于是，由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5. 答案 5
6.(2013·，11)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.
解析 根据等比数列的性质知a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)， ∴q ＝2，又a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3
，故求得a 1＝2， ∴S n ＝2（1－2n
）1－2＝2n ＋1
－2.
答案 2 2
n ＋1
－2
7.(2012·某某，12)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 2
3a 5＝________.
解析 在等比数列中，a 2a 4＝a 1a 5＝a 2
3＝12，
∴a 1a 23a 5＝a 4
3＝14.
答案 14
8.(2012·课标全国，14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.
解析 由a 1（1－q 3）1－q ＋3·a 1（1－q 2）1－q
＝0，
得1＋q 2
＋q ＋3(1＋q )＝0，
即q 2
＋4q ＋4＝0，(q ＋2)2
＝0，所以q ＝－2，故填－2. 答案 －2
9.(2015·某某，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和为T n ，求T n .
解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，
又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，
所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，
所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n
. (2)由(1)得1a n ＝1
2
n ，
所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝1－1
2
n .
10.(2014·，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和.
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13
＝
12－3
3
＝3.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…). 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得
q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3
＝8，解得q ＝2.
所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1
＝2
n －1
.
从而b n ＝3n ＋2
n －1
(n ＝1，2，…).
(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1
(n ＝1，2，…).
数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n
1－2＝2n
－1.
所以，数列{b n }的前n 项和为32
n (n ＋1)＋2n
－1.
11.(2014·某某，17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；
(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得
⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3
n －1
.
(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝
n （b 1＋b n ）2
＝
n 2－n
2
.
12.(2013·某某，19)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *
)，且－2S 2，S 3，4S 4
成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *
).
(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3， 即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，
于是q ＝a 4a 3＝－1
2
.
又a 1＝3
2
，所以等比数列{a n }的通项公式为
a n ＝3
2×(－12)n －1＝(－1)n －1·32
n .
(2)证明 S n ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n
，S n ＋1S n ＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n
＋11－⎝
⎛⎭
⎪⎫
－12n ＝
⎩⎪⎨⎪⎧2＋1
2n
（2n
＋1），n 为奇数，
2＋1
2n
（2n
－1），n 为偶数.
当n 为奇数时，S n ＋1
S n
随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝13
6
.
当n 为偶数时，S n ＋1
S n
随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝25
12
.
故对于n ∈N *
，有S n ＋1S n ≤136
.
13.(2013·某某，19)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *
. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和.
解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 2
1，即a 1＝a 2
1， 因为a 1≠0，所以a 1＝1.
令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2.解得a 2＝2. 当n ≥2时，2a n －1＝S n ，2a n －1－1＝S n －1， 两式相减，得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1. 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列. 因此a n ＝2
n －1
.
所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1
.
(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1
.
记数列{n ·2
n －1
}的前n 项和为B n ，于是
B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，①
2B n ＝1×2＋2×22
＋3×23
＋…＋n ×2n
.② ①－②，得－B n ＝1＋2＋22
＋…＋2n －1
－n ·2n ＝2n －1－n ·2n
.
从而B n ＝1＋(n －1)·2n
.
14.(2012·某某，16)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，
2a 1＋4d ＝12.
解得a 1＝2，d ＝2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .
(2)由(1)可得S n ＝n （a 1＋a n ）
2
＝
n （2＋2n ）
2
＝n (n ＋1).
因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列， 所以a 2
k ＝a 1S k ＋2.
从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)， 即k 2
－5k －6＝0.
解得k ＝6或k ＝－1(舍去).因此k ＝6. 考点二 等比数列的前n 项和
1.(2015·新课标全国Ⅰ，13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.
解析 由a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝
2（1－2n
）
1－2＝126，解得n ＝6. 答案 6
2.(2014·大纲全国，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A.31 B.32 C.63 D.64 解析 法一 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.
由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1（1－q 2）1－q
＝3，
S 4
＝a 1
（1－q 4
）1－q ＝15，
两式相除得1＋q 2
＝5，解得q 2
＝4.
故q ＝2或q ＝－2. 若q ＝2，代入解得a 1＝1，
此时S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝1×（1－26）
1－2
＝63.
若q ＝－2，代入解得a 1＝－3，
此时S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝（－3）×[1－（－2）6]
1－（－2）
＝63.故选C.
法二 因为数列{a n }为等比数列，若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.
设其前n 项和为S n ＝Aq n
－A .
由题意可得⎩
⎪⎨⎪⎧S 2＝A ×q 2
－A ＝3S 4＝A ×q 4
－A ＝15，两式相除得1＋q 2
＝5，解得q 2＝4.代入解得A ＝1.故S n ＝q n
－1.
所以S 6＝q 6
－1＝(q 2)3
－1＝43
－1＝63，故选C. 法三 设等比数列的公比为q .
则S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2
)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2
)×3＝15，解得q 2
＝4. 故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2
＋q 4
)(a 1＋a 2)＝(1＋4＋42
)×3＝63.故选C. 答案 C
3.(2013·新课标全国Ⅰ，6)设首项为1，公比为2
3的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )
A.S n ＝2a n －1
B.S n ＝3a n －2
C.S n ＝4－3a n
D.S n ＝3－2a n
解析 S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q
1－q ＝1－23a n
1－2
3＝3－2a n ，故选D.
答案 D
4.(2013·大纲全国，7)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，则{a n }的前10项和等于
( ) A.－6(1－3－10
) B.19
(1－310
)
C.3(1－3
－10
) D.3(1＋3－10
)
解析 ∵3a n ＋1＋a n ＝0⇒a n ＋1＝－1
3a n ，
∴{a n }是以－1
3为公比的等比数列.
又∵a 2＝－4
3
，∴a 1＝4.
∴S 10＝
4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13
＝3(1－3
－10
).故选C.
答案 C
5.(2013·某某，11)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.
解析 由数列{a n }首项为1，公比q ＝－2，则a n ＝(－2)n －1
，a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，
则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋2＋4＋8＝15. 答案 15
6.(2013·某某，14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2
－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.
解析 x 2
－5x ＋4＝0的两根为1和4，又数列递增，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2. 所以S 6＝1×（1－26
）
1－2＝63.
答案 63
7.(2013·某某，12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *
)等于________.
解析 由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＝2（1－2n
）1－2＝2(－1＋2n )≥100，∴2n
≥51，∴n ≥6.
答案 6
8.(2012·某某，11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________. 解析 由等比数列的前n 项和公式S 4＝1×（1－24）
1－2＝15.
答案 15
9.(2011·，12)在等比数列{a n }中，若a 1＝1
2，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n
＝________.
解析 由等比数列通项公式，得a 4＝a 1q 3
， ∴4＝12
q 3，q 3
＝8，∴q ＝2.
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1（1－q n ）
1－q
＝12（1－2n ）1－2＝2n －1－12
.
答案 2 2
n －1
－12
10.(2013·某某，16)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和. 解 设该数列的公比为q ，由已知可得
a 1q －a 1＝2，得a 1(q －1)＝2.
由4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2
得q 2
－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，
因此q ＝1不合题意，应舍去. 故公比q ＝3，首项a 1＝1. ∴数列的前n 项和S n ＝3n
－1
2
.
11.(2013·某某，19)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由.
解 (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0，由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2
－a 1q 3
＝a 1q 2
，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18. 解得⎩⎪⎨
⎪
⎧a 1＝3，q ＝－2.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)
n －1
.
(2)由(1)有S n ＝3·[1－（－2）n
]1－（－2）
＝1－(－2)n .
若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n
≥2 013，即(－2)n
≤－2 012， 当n 为偶数时，(－2)n
＞0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n
＝－2n
≤－2 012， 即2n
≥2 012，则n ≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}.。