江西省八所重点中学高三数学4月联考试题 文

江西省八所重点中学2015届高三联考
数学（文科）试卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U R =，集合}{
14A x x =<<，集合}{
25B x x =≤<，则=)(B C A U I （ ） A ．{}21x ＜x ≤ B ．{}2x ＜x C ．{}5≥x x D ．{}
21＜x＜x 2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ） A ．
i 5
4
B ．54
C ．i 4
D ．4
3．已知O 为坐标原点，点M 坐标为(－2，1)，在平面区域x 0
x +y 2y 0≥⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
上取一点N ，则使MN
取得最小值时，点N 的坐标是( )
A.(0，0)
B. (0，1)
C. (0，2)
D. (2，0) 4．已知抛物线)0(2
a ＞ax y =的焦点到准线的距离为2，则a =（ ） A ．4 B ．2 C ．
41 D ．2
1 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为（ ）
A.4
B.4-
C.6
D.6-
6．正项等比数列{}n a 满足：3212a a a =+，若存在,m n a a ，使得2
116m n a a a ⋅=，则
19m n
+的最小值为( )
A.2
B.16
C.
83 D.32
7．已知函数sin cos sin cos ()2
x x x x
f x ++-=
，则下列结论正确的是（ ）
A.()f x 是奇函数
B.()f x 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π，上递增
C.()f x 是周期函数
D.()f x 的值域为[]1,1- 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. 643
B. 16
3
C. 803
D.43
3 10．已知F 1、F 2分别是双曲线22
221x y a b -=的左、右焦点,P 为双曲线右支
上的任意一点且2
12||8||
PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. (1,2]
B. [2 +∞)
C. (1,3]
D. [3，+∞)
11. 已知PC 为球O 的直径，,A B 是球面上两点，且
6,4
AB APC BPC π
=∠=∠=
若球O 的表面积为64π，则棱锥
A PBC -的体积为（ ）
A ．87
B ．7
C 43
D ．521
2
12．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ∞（-，0）
B. 1
2（0，） C. （0，1） D.
+∞（0，）
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知实数[2,5]a ∈-，则}{
2
230a x R x x ∈∈--≤的概率为 .
14. 已知函数⎩⎨⎧<≥+=,0,
10
,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围
是 .
15.在数列{}n a 中，已知111,(1)cos(1)n
n n a a a n π+=+-=+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，
则2015S = .
16．在ABC ∆中，2,3),2)AB AC ==u u u r u u u r
，则ABC ∆的面积为 .
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线
:2(0).l y x x =≥
(1)求cos()6
π
α+
的值；
(2)若点,P Q 分别是角α始边、终边上的动点，且6PQ =，求POQ ∆面积最大时，点,P Q
的坐标．
18.（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多。

某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：
[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图
的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.
(2)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ．
（1）求证：直线SC ⊥平面AMN ； （2）求点N 到平面ACM 的距离.
20.（本小题满分12分）动圆1C 过点()10，，且与直线1x =-相切，圆心为M 。

(1) 求M 的轨迹方程，
(2) 直线l 与圆2C ：2
2
2
(0)x y r r +=>相切，并与M 的轨迹相交于,A B 两点，以AB 为直
径的圆恒过圆2C 的圆心，当r 值最大时，求直线l 的方程.
21．（本小题满分12分）设函数2(1)()x
a x ax a
f x e
--+= (1) 当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2) 当0x ≥时，()f x 的最大值为a ，求a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分： 22．（本小题满分10分）(选修4-1几何证明选讲)已知ABC ∆中，AB AC =，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （1）求证：CDF EDF ∠=∠；
（2）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．
23．（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩
．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()
πsin 23ρθ-=．
（1）求直线l 的直角坐标方程；
（2）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．
24．（本小题满分10分）(选修4－5：不等式选讲)已知函数a a x x f +-=2)(（其中a 为实常数）．
(1)若集合{}
43x x -≤≤是关于x 的不等式6)(≤x f 的解集的子集，求实数a 的值范围； (2)在(1)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．
江西省八所重点中学2015届高三联考数学（文科）参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D B
B
C
B
C
C
C
C
C
A
B
二．填空题 13.
4
7
14. (1)- 15.1006-
16. 1
三．解答题
17.解：(1)由射线l
的方程为y =，可得3
1
cos ,322sin ==
αα， ……2分 故cos()6
π
α+
＝1132=. ……………5分 (2)设()()
()0,022,,0,>>b a b b Q a P .
在POQ ∆中因为2
2
2
()836PQ a b b =-+=， ……………………………………6分 即2
2
3692624a b ab ab ab ab =+-≥-=，所以ab ≤9 …………………………8分
POQ S ∆∴=≤．当且仅当b a 3=
，即a b ==. …………10分
所以POQ ∆面积最大时，点,P Q
的坐标分别为P Q ．…………12分 18.解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 …… 2分
设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：
0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =
即中位数的估计值为77.5 ………5分 （2）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆），………6分
车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆） ………7分
设车速在[60,65)的车辆设为,a b ，车速在[65,70)的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本事件有：
(,),(,),(,),(,),(,)
(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)
a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种 ……………… 10分
其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a c a d a e a f b c b d b e b f 共8种 ………11分
所以，车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为8
15
P =. ………………12分 19.（1）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥
∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥
∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥
由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面.AMN 6分 （2）942222
1
31322121212
=⨯⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯===----ACD S ACD N ANG D ANG
M V V V V ………8分
MA AC MC ===
1
2AMC S ∆== ………10分 94
331=⨯=-h V ACM N
9
3
4=
h ∴点N 到平面ACM 的距离为
9
3
4. ………12分 20.解：（1）易知M 的轨迹为顶点在原点，焦点为()10，的抛物线，
所以M 的轨迹方程为2
4y x =. ………4分 （2）设直线l 方程为my x t =+
r =
联立22
4404my x t
y my t y x
=+⎧⇒-+=⎨
=⎩ 2=16160m t ∆->得2m t >
设1122(,),(,)A x y B x y 则1212
44y y m
y y t +=⎧⎨⋅=⎩
………7分
1212()()x x my t my t ⋅=--221212()m y y mt y y t =-++22244m t m t t =-+2t = Q 以AB 为直径的圆恒过圆2C 的圆心，∴ OA OB ⊥
12120x x y y ⋅+⋅= 240t t +=
-40()t t ==或舍去
………10分
r =
当0m =时max 4r =
此时直线l 的方程为4x = ………12分 21.解：（1）当1a =时，1
()x
x f x e
-+=
(1)0f = -2()x x f x e '= 1
(1)-f e
'=
所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为+10x ey -= ………4分
(2) 2(1)(2)2()x
a x a x a f x e -+--'=[](1)(2)
x a x a x e -+-=
令()0f x '=得1(1)1a
x a a
=
≠- 22x = ………6分 ① 当1a ≥时，()f x 在[]0,2递减，在[)2,+∞递增
当x →+∞时，()0f x →
max ()(0)f x f a ==
② 当
21a a >-即213a <<时，()f x 在[]0,2和,1a a ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭
递减，()f x 在2,1a a ⎡
⎤⎢⎥-⎣⎦递增 1()1a a
a a f a a
e -=≤-解得01a ≤≤,所以2
13a <<
③ 当
21a a =-即2
3a =时，()f x 在[)0,+∞递减,max ()(0)f x f a == ④ 当021a a <
<-即2
03
a <<时，()f x 在0,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦和[)2,+∞递减，在,21a a ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
递增， 245(2)a f a e -=
≤解得245
a e ≥
+,所以242
53a e ≤<+ ⑤ 当
01a
a
≤-即0a ≤时，()f x 在[]0,2递增，()(0)f x f a ≥=不合题意 ………11分 综上所述：a 的取值范围为2
4,5e ⎡⎫
+∞⎪⎢
+⎣⎭
………12分
第（2）问另解：
(0)f a =Q
()f x ∴当0x ≥时的最大值为a ，等价于()f x a ≤对于0x ≥恒成立， 可化为2
2
1x x a e x x ≥++-对于0x ≥恒成立 ………7分 令22()1x x g x e x x =++-，则/
22
(2)(1)()(1)
x x x x e g x e x x --=++- 于是()g x 在[0,2]上递增，在(2,)+∞上递减，
max 24
()(2)5
g x g e ∴==
+ a ∴的取值范围是24
.5
a e ≥+………12分
22．解：(1)证明：A Q 、B 、C 、D 四点共圆 ∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =Q ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,
ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠…………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分
(2)由(1)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠Q , 所以BAD ∆与FAB ∆相似, AB AD AF AB
∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =Q , AB AC AD AF ∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分 23．解：（Ⅰ）sin()23
π
ρθ-
=化简为3cos sin 40ρθρθ-+=，
∴直线l 的直角坐标方程为340x y -+=； ……………………………………………4分
（Ⅱ）设点P 的坐标为()2cos sin ，
αα， 得P 到直线l 的距离23cos sin 4
2
d αα-+=
， ………………………………………6分
即()13cos 4
2
d αϕ++=
，其中231cos ,sin 13
13
ϕϕ=
=
．
当()sin 1αϕ+=时，max 1
1322
d =
+． …………………………………………10分.
24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，
∴626a x a a -≤-≤-， 即33a x -≤≤ ………3分 ∴34a -≤-，1a ∴≤-。

………5分 （Ⅱ）只需()()m f n f n ≥+-的最小值………6分 令()()()n f n f n ϕ=+-， 在(1)的条件下，1a ≤-
则()222(2)(2)2220n n a n a a n a n a a a a ϕ=-+++≥--++=+= 当(2)(2)0n a n a -+≤即
11
22
a n a ≤≤-时取等号， ∴()n ϕ的最小值为0， ………9分； 故实数m 的取值范围是[)0,+∞。

………10分。