正弦稳态响应

当是t的函数时，正弦量Amcos(t+)可用复值函数来表示
Am cos(t ) Re( Ame j(t ) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
9
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
Am sin(t ) Re( Ame j(t) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
T0
15
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指
的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | e j(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
20
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I jI
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
21
2. 正弦量的相量表示
两个正弦量的相加
jAmej2 jA&m2
A&m2
1 j
A&m1
A&m1
一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转90，乘一个 -j，向顺时针 方向旋转90，所以称 j ej90o 为90旋转因子
11
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系
Am sin(t ) Im( A&mejt ) Am cos(t ) Re( A&me jt )
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
17
两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
| A |
a2 b2
θ arctg b
a
或
a | A | cosθ
j
f (t)
t2
F 2F Fm
O
1
O
t2
t
2
12
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代数和，这
些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然是同频率的正
弦量。因此，相量
A&m Ame j
完全能用来表示已知频率的正弦量。但相量并不等于
正弦量，只有旋转相量才和正弦量有一一对应关系。
8
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平均值， 或者说其正半波的平均值。
Ia
2 T
T 2 0
Im
cos tdt
2
Im
0.637Im
其中Imcost = i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。
平均值
Ia
2
Im
0.637Im
有效值大于其平均值
根据欧拉公式
ej cos jsin
u, i
u
u, i
u
0
i
0
t
u, i
u
= /2：
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2；
i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
i 0
i t t
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
6
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) i2(t) 10cos(100 t 2)
14
周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大 小工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I R
物
交流i R
理
意
义 W RI 2T
W T Ri2(t)dt 0
电流有效 值定义为
def
I
1
T i 2 (t )dt
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
i1 2 I1 cos( t 1 ) i2 2 I2 cos( t 2 )
角频率：
ui1, i
i1
i2
i2
有效值： I1 0 I2
初相位： 1
2
i1+ii23i3
I3t 3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
正弦量
复数
实际是变 换的思想
平均值有效值大于其平均值根据欧拉公式cosjsin81正弦稳态响应正弦量和相量1081正弦稳态响应正弦量和相量其中m1m1m2m2同相m1超前角度m2落后m1cos90jsin90m2m1m1一个相量乘一个j向逆时针方向旋转90乘一个j向顺时针方向旋转90所以称j90为90旋转因子m181正弦稳态响应正弦量和相量12旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系81正弦稳态响应正弦量和相量13根据数学知识任意个相同频率的正弦量的代数和这些正弦量的任意阶导数的代数和仍然是同频率的正弦量
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
相量图
•
U
在复平面上用向量表示相量的图
i(t) 2Icos(ω t ) I I
u(t) 2Ucos( t θ ) U Uθ
•
I
25
相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos( t Ψ 1) Re(
同相
j
Am2 Am1
O
1
10
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
1＞2U&m j来自I&m 超前 A&m2 角度 A&m2 落后 A&m1 角度
j Am1
Am2
= 90
j
O
Am1 Am2 1
A&m1
Ame j1
A e j(2 90o) m
O
1
Amej2 ej90o Amej2 (cos 90o jsin 90o)
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536 Im
A• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
A
0
Re
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
Am
O
t
Am最大值，角频率，初相位, (-180＜＜180)
最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。三要素确 定后，正弦量就被唯一确定。
若正弦量为电流i(t)，则i(t)=Imcos(t+)其中Im是正弦电
流最大值，I是正弦电流有效值。
5
特殊相位关系：
= (180o ) ，反相：
＝ 0， 同相：
A&m 也称最大值相量。最大值与有效值之间的关系
Am 2A
Am cos(t ) 2Acos(t )
Re( 2 Aej(t) ) Re( 2 A&e jt )
其中 A&@Aej 称有效值相量，且 A&m 2A&
13
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相
量) 正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换 phj。相量
A(t)还可以写成
A(t ) 2Ie jψ ejωt
复常数
j( tΨ)
2Ie
•
2 I e jωt
A(t)包含了三要素：I、 、 ，复常数包含了I , 。
23
称
•
I
I为Ψ正弦量
i(t)
对应的相量。
•
i(t) 2I cos( t Ψ) I IΨ
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10sin(100 t 150 )
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100 t 300 )
值考虑。
（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
16
相量变换(复习)
1. 复数及运算
复数A的表示形式 A=a+jb (j 1 为虚数单位)
Im
b
A
Im
b
A
|A|
0
a Re
A a jb
0
a Re
A | A | e j
根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论，周 期信号能够分解为一系列正弦信号的迭加。利 用线性电路的迭加性，可以把正弦稳态分析的 方法推广到非正弦周期信号激励的线性电路中 去。因此也可以说，知道了正弦稳态响应后， 原则上就知道了任何周期信号激励下的响应。
3
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
正弦量和相量 基本要求：
2
•
U
1
e
j
t
)
u2(t)
2 U2 cos( t Ψ 2) Re(
2
•
U
2
e
j
t
)
u(t) u1(t) u2(t) Re(
2
•
U
1
e
jt
)
Re(
2
•
U
2
e
jt
)
Re(
•
2U1
e jt
其中 A&m @Amej 是 t=0 时的复值常数，称相量
A&mejt 称旋转相量， ejt 称旋转因子
相量可表示为
A&m Ame j Am
作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段表示。这 样的图称相量图。
设 A&m1 Am1e j1 A&m2 Am2e j 2
且 Am1= Am2 = Am，1= 2
法变换 phj 为已知正弦量变换成相量。
A& phj[Am cos(t )] phj[ 2Acos(t )] A A&m phj[ Am cos(t )] Am
相量法反变换phj-1为已知相量，变换成正弦量。
2Acos(t ) Am cos(t ) phj1[A&] phj1[A]
Am cos(t ) phj1[ A&m ] phj1[ Am]
• 正弦量的振幅（最大值）、角频率、相位和初相位 • 正弦量的瞬时值、有效值、相位差 • 正弦量与相量的变换、相量图 • 同相、超前和落后的概念
4
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
随时间按正弦规律变化的电 压和电流，称正弦电压和正 弦电流。
y(t) = Amcos(t+)
Am cos(t )
7
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
有效值也称均方根值，即 I
有效值
I
Im 2
0.707Im
以上情况同样适合于正弦电压。
1 T i2dt
T0
u(t) Um cos(t ) 2U cos(t )
U 1 T u2dt
T0
U
Um 2
0.707U m
实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都是有效 值，包括交流电机和电器上的铭牌。
3 4 ( 2) 5 4 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
300 (1050 ) 1350
1 2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
电路基础
第三篇 稳态电路
上海交通大学本科学位课程
§5.3 二阶电路( RLC 电路完全响应)
uC 4
3 3.6et
2 3.6et 2.5e2t 0.316 cos(2t 108.4) 1
O
t
1 2.5e2t 0.316cos(2t 108.4)
2
稳态响应
3
2
第八章 正弦稳态电路分析
在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理论 中的重要课题，这是因为正弦信号比较容易产 生和获得，在科学研究和工程技术中，许多电 气设备和仪器都是以正弦波为基本信号的。
22
正弦量的相量表示
设一个复函数 A(t ) 2Iej(t)
是无有一物物个理理正意意弦义义量
2Icos(t ) j 2Isin(t Ψ )
对A(t)取实部： Re[A(t)] 2cos( t Ψ )
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2Icos( t Ψ) A(t)
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
24
•
例2 已知I 5015A, f 50Hz .
b | A | sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
18
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
19
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
解
原式 180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04