辽宁省东北育才双语学校2014届高三数学上学期第一次模拟考试试题 文 新人教A版

东北育才双语学校2013-2014学年度上学期
高三年级第一次模拟考试数学（文科）试题
答题时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择（5⨯12=60）
1.设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是
A ．C I S 1∩（S 2∪S 3）=ΦB．S 1⊆（C I S 2∩C I S 3）
C ．C I S 1∩C I S 2∩C I S 3）=ΦD．S 1⊆（C I S 2∪C I S 3）2.已知复数()11ai z a R i +=
∈-，若1z =，则a =
A. 0
B. 1
C.1-
D.1±
3.已知点()()1,1,5,2A B -，则与向量AB 垂直的单位向量为 A. 3
455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 435
5⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，-或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
3613S S =，则612S S = A.310 B.13 C.18 D.19
5. 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[)50,60的汽车大约有
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60
6.已知点A （3,4），现将射线OA 绕坐标原点O 顺时针旋转4
π至OB 处，若角α以x 轴非负半轴为始边、以射线OB 为终边，则3tan 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
A. 7-
B. 7
C. 17-
D. 17
7. 已知函数()222014120141
x x x f x e -=++，则()1ln 2ln 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.
52 B. 32 C. 12
D. 0 8.计算机执行下图中的程序框图，为使输出的S 值等于
111124618++++，则判断框内应该填入
A. 8i <
B. 8i ≥
C. 9i >
D. 9i <
9.如图，随机向大圆内投掷一点，记该点落在阴影区域内的概率为1p ；记从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率为2p . 则12p p +=
A. 21192π+-
B.1219π+-
C.329π+
D.419π+
10. 函数()1312x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的零点0x 属于区间 A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
11.已知函数()f x 满足：()()()()4f x f y f x y f x y =++-(),x y R ∈且()114f =，则()2014f = A.14- B.14 C.12- D.12
12.如果关于x 的方程24
x kx x =+有4个不同的实数解，则实数k 的取值X 围是 A.10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,+∞ D.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题（5⨯4=20）
13. 如果实数1,,,,9a b c --成等比数列，则b =.
14. 已知有5个幂函数的图像如下图——
其中它们的指数来源于集合221555,,,,,552322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭
，则其指数从（a ）到（e ）依次为.
15. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的外接球表面积为_____.
16.设方程3405x x -+=的实数根为1x ，方程3
405x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的实数根为2x ，则12x x +=.
三、解答题（10+12⨯5=70）
17. 对定义域分别为f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：
函数()()()()()(); (); ().
f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎪⎩且且且
（1）若函数()11
f x x =-，()2
g x x =，写出函数()
h x 的解析式； （2）求（1）问中函数()h x 的值域.
18. 如图所示的是函数()()sin f x A x B ωϕ=++0,0,0,2A πωϕ⎛
⎫⎛⎫>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
图象的一部分.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 在y 轴右侧的第二个对称中心的坐标.
19.已知a 、b 均为单位向量.
（1）记x 为a 在a b +方向上的正射影的数量；y 为b 在a b +方向上的正射影的数量. 试比较x 与y 的大小关系，并说明理由；
（2）若31,22a b ⎛⎫+=
⎪ ⎪⎝⎭
，求向量a 与b .
20.设等比数列{}n a 的各项均为正数，项数为偶数，又知该数列的所有项的和等于所有偶数项和的4倍，而且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}lg n a 的前n 项和为n S ，求使n S 值最大的正整数n 的值. （其中lg 20.3 lg30.4==，）
21.已知函数2
4
x y =的图像为1C ，过定点()01A ，的直线l 与1C 交于B 、C 两点，过B 、C 所作1C 的切线分别为1l 、2l .
（1）求证：1l ⊥2l ；
（2）记线段BC 中点为M ，求M 的轨迹方程.
22. 已知函数()()2
ln f x x x ax a R =+-∈. （1）若()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值X 围；
（2）若()f x 存在极值，试求a 的取值X 围，并证明所有极值之和小于13ln
2-+； （3）（附加5分）设()11n a n N n
*=+∈，求证： ()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++.
东北育才双语学校2104届高三第一次模拟考试数学（文科）答题纸 题号
13 14 15 16 答案
17.
18.
19.
20.
21.
22.
参考答案
一、单项选择（5⨯12=60）
1. C ；
2. D ；
3. A ；
4. A ；
5. D ；
6. B ；
7. A ；
8. C ；
9. B ；10. B ；11. A ；12. D
二、填空题（5⨯4=20）
13. -3；14. 22155,,,,55222---；15.17π；16.45
三、解答题（10+12⨯5=70）
17. （1）()2
(1);11 (1).x x h x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩
[创新定义的理解]
（2）(]
{}[),014,-∞+∞.[分段函数的值域，分离常数及对号函数] 18.（1）22sin 136x π⎛⎫++
⎪⎝⎭；（2）11,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 提示：3(1)22A --==；3(1)12B +-==；将点（0,2）代入得出6
πϕ=；剩下唯一的未知数ω，我们可以将点(),1π--得出，但是要注意其值的X 围——
2sin ()116πωπ⎡⎤-++=-⎢⎥⎣
⎦⇒()262k ππωππ-+=-+⇒223k ω=-，又由周期大于2π得1ω<，而且0ω>，所以23ω=
. 19.
⑴由x =
y =
1=
1= 则
=-y
x -
=
0=，所以y x =.
⑵()0,1
和122⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
20.（1）11,1083q a ==，所以111083n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）5n =.
21.（1）设直线:1l y kx =+，点()11,A x y 、()22,B x y ，则
214
y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩⇒2440x kx --=，∴124x x =-. 又2x y '=，∴121241224
l l x x k k -⋅=⋅==-，故1l ⊥2l . （2）设点(),M x y ，则12221212122284x x x y y x x y x x +⎧=⎪⎪++⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩消去参数得212x y =+. 22. （1）函数的定义域为()0,+∞.()12f x x a x '=
+-. 法一：∵函数在定义域上单调递增，∴120x a x +->12a x x
⇔<+，
而min
12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，所以只需a ≤法二：()21212x ax f x x a x x
-+'=+-=，∵函数在定义域上单调递增，∴只需2210x ax -+≥对任意()0,x ∈+∞恒成立.设函数()221g x x ax =-+考虑函数函数的图像得：①04a ≤或②040
a ⎧>⎪⎨⎪∆≤⎩
⇒a ≤（2）若()f x 存在极值，则只需()2
21g x x ax =-+在()0,+∞上有变号零点，
即040
a a ⎧>⎪⇒>⎨⎪∆>⎩.设函数的零点为12,x x ，则12121,22a x x x x +=⋅=. ()()2212111222
ln ln f x f x x x ax x x ax +=+-++-()()2
12121212ln 2x x x x x x a x x =++--+
221ln 1242a a =+--2
1ln 124
a =--
由28a a >⇒>得2111ln 1ln 123ln 2422a --<--=-+. （3）分析：不等式的左边无法求和，转向对式子整体的观察： ()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++ 右边可否拆成n 项？答案是肯定的——
()12ln 12ln ln ln 222n n n n a a a ++=+++++++个
所以考虑能否证明不等式23ln 2n n n a a a -<+之后在利用同向相加原理证明所要证明的不
等式成立.
证明：设函数()2
ln 32F x x x x =+-+，(]1,2x ∈ 则当(]1,2x ∈时，()2
2312123148230x x x F x x x x x
⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=+-==> 所以函数()F x 在(]1,2上为单调递增函数，故()()10F x F >=.
即23ln 2x x x -<+，(]1,2x ∈.因为(]1,2n a ∈，所以23ln 2n n n a a a -<+. 于是21113ln 2a a a -<+，22223ln 2a a a -<+，……，23ln 2n n n a a a -<+.
由不等式同向相加原理得证
()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n ++
+-+++<++成立.。