黑体辐射公式的详细推导

法 也 不 一样 ，有 的用 能 量 密 度 Ｐ 写 出 ，有 的用 单 色 辐 出度 Ｍｖ
对 于 光 子 气 体 ，１－＝３，ｄｗ＝ｄｘｄｙｄｚｄｐ ｄｐ ｄｐ ，但 每 一频 率相
（Ｔ）写 出，这两者到底是什么关系，一些教材 中也没有谈到 ，为 当 于两 个 偏 振 方 向 。也 就 是 相 当 于两 个 量 子 态 ，所 以 ，在 应用
布，振子能量为 Ｅｎ＝ｍｏ的几率与 ｅ 成 比例。所 以利用一系 的函数 ，用 （Ｔ）表示 。
列的数学计算，我们可以求得振动粒子的平均能量 巨： ｅ ｎ 一 １ ２用 波 动观 点 求 空 腔 单 位 体 积 内 频率 ｖ到 ｖ＋ｄｖ的 振 动数
因为
Ｍ ｙ＝
＝ ｃ 丁８ｎｈｖ ３
动数 目。这样我们就 可以求 出用ｐ ｄｖ表 示的黑体辐 射公 式。我们利用ｐ 和９ 之 间的关系，写 出用ｐ ｄ九表 示的黑体辐
射公式 ，同时我们可 以写 出用 Ｍ （Ｔ）ｄｖ表 示的黑体辐射公式。
关键词 黑体辐射公 式
中图 分 类号 ：０５７１．４３
文献 标 识 码 ：Ａ
黑体辐 射实验是现代物理学的关键性实验之一 ，普朗克
为 ８ｘｖ ［注 ：详细的求解过程参看王竹溪 统计物理学导论 解 黑体辐射公式，同时黑体辐射公式验证了能量的粒子性 。从
～
经 典物理学来看 ，能量粒子性 的假设是荒诞 ，不可思议 的，但
第 二 版 Ｐ 。］
后面无数的实验证 明它又是正确 的。普 朗克发现 了能量子 ，
３用粒子 的观点求空腔单位 体积 内频率 ｖ到 ｖ＋ｄｖ的量子 对建立量子理论作出 了卓越的贡献 。
设与经典物理能量连续的概念格格不入 ，为物理学带来了新
从 热 力 学 温 度 为 Ｔ的 黑 体 的单 位 面 积 上 ，单位 时 间 内 ，在
的 概念 和 活 力 。
波长 附近 ，单位频率 ｖ范 围内所辐射的电磁波 能量 ，称 为单色
由经 典统 计理 论可 知 ，原 子 ，分 子振 动 能量遵 循玻 尔兹 曼分 辐 出度 。显然 ，单色辐出度 数黑体 的热力学温度 Ｔ和频率 ｖ
Ｍ （ ） ＝２ｎｈｖ ｃ 南
ｄ
其中，每一个特解都代表驻波 ，且由一组整数 （１，ｍ，ｎ）确定 ，通
这样 ，本文 详细 导出以ｐ ｄｖ和 Ｍｖ（Ｔ）ｄｖ表示的黑体辐射
过 计 算 可 以得 到 空 腔 单 位 体 积 内频 率 ｖ到 ｖ＋ｄＶ的 振 动 数 目 公式以及两者 的联系 ，全文的推 导可 以让大家更加清楚的了
因为我们知道，对量子态求和 可以改为对相宇求积分 ，两
黑体辐射公式在普通物理学，近代物理学及量子力学的教材 者 的关 系 为 ：
中都讲到过，但没有一本教材详细地写出整个推导过程，所 以， 学 生 只 知道 结 论 ，不 知 道 是 怎 么推 导 出来 的 ，而 且 各 教材 的 写
ｚ 嘉
热辐射为电磁波为了求得空腔单位体积内频率v到vdv的振动数目我们要把电磁波分解为各个频率的驻波这种m2nhvc南d分解可以通过分离变数法解波动方程而求得一系列的特解其中每一个特解都代表驻波且由一组整数1mn确定通这样本文详细导出以pdv和mvtdv表示的黑体辐射公式以及两者的联系全文的推导可以让大家更加清楚的了过计算可以得到空腔单位体积内频率v到vdv的振动数目解黑体辐射公式同时黑体辐射公式验证了能量的粒子性
了让 学 生 了解 黑 体 辐 射 公 式 的推 导 ，以及 黑 体 辐 射 公 式有 哪 到 光子 时 ，根 据 光 子 的性 质 有
些重要的应用 ，本文详细地写 出了推导过程。
２ Ｊ…Ｊ
，
１求振 动 粒 子 的 平 均 能 量 一 个 开有小孔的空腔可以看作一个黑体 ，黑体辐射 公式 是描述黑体辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长 （或
３ＥＯ ｏ ｏ￣ｎ３ｅ。… ，这 些 分 立 值 称 为 谐 振 子 的 能级 。其 中 ，ｒｌ为 正整 数，称为量子数。后来人们把振子处于某些 能量状态 ，形象 的
＝ 警 丁 ８１ｒｈｖ３志
称为处于某个能级 。这种假设叫做普朗克量子假设 。这个假
５写 出用 Ｍ，（Ｔ）ｄｖ表 示 的 黑体 辐 射 公 式
态数即振 动数 目
在经典物理学 中，把组成黑体空腔壁 的分子或原子看作 参考文献 带 电的 线性 谐 振 子 。把 辐 射场 看作 粒 子 ，认 为 是 一 种 数 目不 ［１］ 程 守洙，江之永．普通物理学［Ｍ】．高等教育 出版社 ，２００３．
固 定 的 光子 气 体 ，我 们要 求 空 腔 单 位 体 积 内频 率 ｖ到 ｖ＋ｄｖ的 【２】 马文蔚 物理学 （第五版）［Ｍ］．高等教育出版社，２０１１．
黑 体 辐 射公 式 的详 细 推 导
李 蓉
（华 东交通 大学￣Ｅ．Ｙ－－学院 江西 ·南 昌 ３３０１００）
摘 要 在本文 中，我们将详细地推导黑体辐射公式 ，并利用黑体 辐射公 式推导 一些有用 的公式。在 求导黑体辐射公
式时，我们 首先要求 出振动粒子的平均 能量 ，然后分别用波动观点和粒子观 点求 空腔单位体积 内频率 ｖ到 ｖ＋ｄｖ的振
利 用 积 分 可 求 得
１／２ｄｖ（Ｖ为空腔 体积 ）
ｃ
所 以，我们 求得 空腔单位体积 内频率 ｖ到 ｖ＋ｄｖ的振 动数
频率）的分布 。所 以，为 了求 的黑体辐射 公式 ，我们可 以先求 目为 ８万ｌ，
出振动粒子 的平均能量，然 后用波动观点导 出空腔单位体积
．
了
内频 率 ｖ到 ｖ＋ｄｖ的振 动 粒 子 的 数 目。这 样 ，便 可 求得 用 ｐ ｄｖ 表 示 的 黑体 辐 射 公 式 。
＝ ２
目 热 辐 射 为 电磁 波 ，为 了 求 得 空腔 单 位 体 积 内频 率 ｖ到 ｖ＋
所 以，以Ｍ （的振动数 目，我们要把电磁波分解为各个频率的驻波 ，这种 分 解 可 以通 过 分 离 变 数 法 解 波 动 方 程 而 求得 一 系 列 的 特 解 ，
黑体 是 由带 电的 谐 振 子所 组成 ，谐 振 子 的 能 量 不 能连 续 变 化 ，而 只 能取 一 些 分立 值 ，它们 是 最 小 量￡。的整 数 倍 。￡０Ｉ ２ｅ。，
４写 出由 ｐ ｄＶ表 示 的黑 体 辐 射 公式 我 们 已经 求 得 空 腔 单 位 体积 内频 率 ｖ到 ｖ＋ｄｖ的 振动 数 目和 振 动 粒 子 的 平 均 能 量 ，引 进 ｐｖ辐 射 能 量 密 度 可 得