16-2平面简谐波 波动方程教程

在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
(1)原点处质点的振动表式 y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m =0.110-3cos25103t m (2)波动表式
5
y A cos t x u
3
x 0.1 10 cos 25 10 t m 3 5 10 式中x 以m计，t 以s 计。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t ) A cos t t ' 0
平面简谐波的波动表式
x 因 t' u
y P (t ) A cos
t x 0 u
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。 利用关系式 2 T 2 和 uT ，得
3
式中x以m计。
波动方程的推导
例题16-4 一横波沿一弦线传播。设已知t =0时的波形曲线如 下图中的虚线所示。弦上张力为 3.6N，线密度为 25g/m ，求 (1)振幅，(2)波长，(3)波速，(4)波的周期，(5)弦上任一质点 的最大速率，(6)图中a、b两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲 线。
3 y 0.1 10 cos 25 10 t m 2
3
2
3
(5)t =0.0021s时的波形为
x y 0.1 10 cos 25 10 0.0021 m 3 5 10 0.1 10 3 sin 5x m
x y A cos( t 0 ) A cos (t ) 0 u
2.波动方程 对y A cos t x u 0 求x 、t 的二阶偏导数,
得到
2 y x 2 A cos t 0 , 2 t u y x A cos t , 0 2 2 x u u
t x y ( x, t ) A cos 2 0 T
x y ( x, t ) A cos 2 t 0
y( x, t ) A cos( t k x 0 )
其中 k 2
平面简谐波的波动表式
令x(2)=x(1)+uΔt，得
x(1) ut y(t1 t ) A cos t1 t 0 u x(1) A cos t1 0 y(t1 ) u
y /cm
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
M1
M2
a
10 20
b
30 40 50 60 70
x /cm
t =0
波动方程的推导
解 由波形曲线图可看出： 0.5 0.4 (1) A=0.5cm；
(2) =40cm； (3)由波速公式计算出
0.2 0 0.2 0.4 0.5
在Δt 时间内,整个波形向波的传播方向移动了 Δx=x(2)-x(1)=uΔt，波速u 是整个波形向前传播的速 度。 波速u 有时也称相速度。
平面简谐波的波动表式
沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式 y
u
o
P
x
x
O 点简谐运动方程：
y0 A cos t 0
P 点的运动方程为：
y /cm
M1
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
M1'
M2
M2'
a
10 20
b
30 40 50 60 70
x /cm t=3T/4
2 2
y 1 y 2 2 2 x u t
2 2
平面波的波动 微分方程
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程
在三维空间中的一切波动过程，只要介质无吸收 且各向同性，都适合下式：
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z u t
y 1 y 2 2 2 x u t
2 2

的一般解为 ：
x x y F t Φ t u u
波动方程的推导
例题16-3 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒 传 播 ， 棒 的 杨 氏 模 量 为 Y =1.91011N/m2 ， 棒 的 密 度 =7.6103kg/m3 。如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质 点振动的振幅为 A =0.1mm ，试求 :(1) 原点处质点的振动表式， (2) 波动表式， (3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两 点 处 质 点 振 动 的 相 位 差 ， (5) 在 原 点 振 动 0.0021s时的波形。
y /cm
M1
M2
a
10 20
b
30 40 50 60 70
x /cm
u
F
3.6 N 12 m/s 3 1 25 10 kg m
(4)波的周期
0.4 m 1 T s 1 u 12 m s 30

波动方程的推导
(5)质点的最大速率
2 2 2 vm A A 0.5 10 m/s 0.94 m/s T 1 30
3
(3)离原点10cm处质点的振动表式
3 3
1 y 0.1 0 cos 25 10 t m 4 5 10
波动方程的推导
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 2 ，或 落后 T 4，即210-5s。 (4)该两点间的距离 x 10 cm 0.10 m 4 ，相应 的相位差为
2 x 即 y A cos t1
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线， 它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
A
x

平面简谐波的波动表式
沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2 1 2
x、t 都变化。
x2 x1

2
x

实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
x
x=u t 波的传播
平面简谐波的波动表式
x 当t=t1时，y A cos t1 0 u
x 当t= t1+Δt时， y A cos t1 t 0 u
平面简谐波
1.平面简谐波的波动表式
平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的 正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为 x 轴，取O 作为x 轴的原点。O点处质点的振动表式为
y0 (t ) A cos( t 0 )
y
P
O
u
x
x
平面简谐波的波动表式
y
O
u
P
x
x
考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。 若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点 的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说， P 点将落后于O点，其相位差为 t 。
y y —协变 —杨氏模量 因 Y Y x x y 利用 v ，牛顿第二定律变为： t 2 y 1 2 y 2 x Y t 2
波动方程的推导
将 y A cos t x u 0 求导后代入微分方程后
可知，当 u Y / 时等式成立。 细长棒中传播的纵波的波速为 u Y 按照偏微分方程理论，方程
x /cm t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
2 2 2 vm A A 0.5 10 m/s 0.94 m/s T 1 30
(6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点 的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已 ' M 2 处。 分别右移3 4 而到达 M 1 和 '
a
b
O
x x x
y
y y
x
O
a 处胁强
a'
b'
x
体积元ab，其原长为x，体积为V=Sx。
b 处胁强 x x
波动方程的推导
体积元所受合力： S x S Sx x x 体积元质量为 S x ，其振速为 v ，据牛顿第二定 律，得 v v S x S x x t x t
平面简谐波的波动表式
波动表式的意义： x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
2 x1 即 y A cos t 上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率 作简谐运动。 y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
(6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点 的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已 ' M 2 处。 分别右移3 4 而到达 M 1 和 '
y /cm
M1
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
M1'
M2
M2'
a
10 20
b
30 40 50 60 70
代表振动位移。
2 2 ( r ) 1 (r ) 球面波的波动方程： 2 2 r u t 2
球面波的余弦表式如下：
a r cos t 0 r u
a r ——振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式的二阶偏导数得到任何物理量y若它与时间坐标间的关系满足上式则这一物理量就按波的形式传播
§16-2 平面简谐波
波动方程
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频 率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般 不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知， 任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它 们离开各自的平衡位置有相同的位移。 波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变 化关系。
解
棒中的波速
1.9 10 N m 3 u 5 . 0 10 m/s 3 3 7.6 10 kg m Y
11
2
u 5.0 103 m s 1 波长 0.40 m 3 1 v 12.5 10 s
波动方程的推导
周期 T 1 v 8 10 s