福建省福州一中高三数学下学期开学初试题 文 新人教A版

7 8 99 4
4 6 4 7 3 高三数学文科 试卷
（完卷120分钟 满分150分）
（考生注意：不得使用计算器，并把答案写在答题卷上）
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有
一项是符合题目要求的）
1.设1i z =-（i 是虚数单位），则复数
2
3i z
+的实部是( ) A ．
32 B ．2 C ．12- D ．1
2
2.设条件:23p x -<, 条件:0q x a <<, 其中a 为正常数. 若p 是q 的必要不充分 条件，则a 的取值范围是
A.(0,5]
B.(0,5)
C.[5,)+∞
D.(5,+∞ ) 3.已知函数3
2
2
()3(1)1(0)f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是(0, 4), 则m =
A. 3
B.
13 C. 2 D. 12
4.已知函数2(0,)n n y a x a n N *
=≠∈的图象在1x =处的切线斜率为121n a -+
（*
2,n n N ≥∈），且当1n =时，其图象经过()2,8，则7
a =（ B ）
A. 12
B ．5
C ．6
D ．7
5.如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计 图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为
A ． 85，84
B ． 84，85
C ． 86，84
D ． 84，86
6.在△ABC 中，BC=1，∠B=3
π
,△ABC 的面积S=3，则sinC=（D ）
A.
13
13 B.
5
3
C.
5
4
D.
13
39
2 7.若函数tan ,0()2
(1)1,0
x x f x a x x π⎧
-<<⎪
=⎨⎪-+≥⎩在(,)2π-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围 A.(0,1]
B.(0,1)
C.[1,)+∞
D. (0,)+∞
8.将函数sin 2y x =的图像向右平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为
图1
A.sin(2)14
y x π
=-
+ B.22cos y x =
C.2
2sin y x = D.cos 2y x =-
9.AB 是半径为1的圆的直径，在AB 上的任意一点M ，过点M 作垂直于AB 的弦，则弦长 大于3的概率是( ) A.
14 B.13 C.12 D.23
10.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别 是(012)am a <<、4m ，不考虑树的粗细，现在用16m 长的篱笆， 借助墙角围成一个矩形的共圃ABCD ，设此矩形花圃的面积为Sm 2
， S 的最大值为()f a ，若将这棵树围在花圃的，则函数()u f a = 的图象大致是 （ C ）
11.已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一
点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆2
2
2
x y a +=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A.
32 B.43 C.5
3
D. 2 12.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =； ②2()f x x =； ③()sin cos f x x x =+；
④2()1
x
f x x x =++； ⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均
有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ C ）
A ．①②④
B ．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ 二．填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上） 13.已知4sin ,(,0)5
2
x x π
=-∈-
，则tan 2x = . 24/7
14.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9
8
, 底面周长为3, 则这个球的体积为__________________. 4π/3
15.已知实数,x y 满足约束条件20
25020
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则x y z x +=的最小值是_____4/3_______.
16.对于集合},,,{21n a a a A = (n ∈N*，n ≥3)，定义集合{|,1i j S x x a a i ==+≤
}j n <≤，记集合S 中的元素个数为S(A).（1）若集合A ＝{1，2，3，4}，则S(A)＝ 5 .
（2）若a 1，a 2，…，a n 是公差大于零的等差数列，则S(A)＝ 2n －3 (用含n 的代数式表示). 三. 解答题: (本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：2414a a +=，770S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设248
n n S b n
+=
，数列{}n b 的最小项是第几项，并求出该项的值．
18.（本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象与y 轴的交点为()0,1， 它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()
()0,022,2.x x π+-和 （I ）求()f x 的解析式及0x 的值；
（II ）若锐角θ满足()1cos 43
f θθ=，求的值.
19.（本小题满分12分）
甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢。

（Ⅰ）求甲赢且编号和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗？试说明理由。

20.（本小题满分12分）
如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面,ABCD F 是DC 的 中点，2AE EP =.
（Ⅰ）试判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，并予以证明； （Ⅱ）若四棱锥P ABCD -体积为83
， 22CD = ，2PC BC ==，
求证：平面BDE PBC ⊥面.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形 F 1B 1 F 2B 2是一个面积为8的正方形. (I)求椭圆C 的方程;
(II)已知点P 的坐标为P(－4,0), 过P 点的直线L 与椭圆C 相交于M 、N 两点, 当线段MN 的中点G 落在正方形内(包含边界)时,求直线L 的斜率的取值范围.
22.(本小题满分14分）
已知函数2
()ln f x x a x =+的图像在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10. (I)求实数a 的值;
(II)判断方程()2f x x =根的个数,并证明你的结论;
(III)探究: 是否存在这样的点(,())A t f t ,使得曲线()y f x =在该点附近的左、右两部分
分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A 的坐标;若不存在,说明理由.
福州一中2013－2014学年第二学期考试卷
班级 座号 姓名_________________ 装订线内不要答题 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
高三数学文科第二学期开学初答案卷 （完卷120分钟 满分150分）
（考生注意：不得使用计算器，并把答案写在答题卷上）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13． ; 14． ; 15． ; 16． ; 三、解答题:本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. （请把解答写在相应题目的方框内）
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21.（本小题满分12分）
22.(本小题满分14分)
17.解：（I ）设公差为d ，则有11241472170a d a d +=⎧⎨
+=⎩，即112414
310
a d a d +=⎧⎨+=⎩
解得11
3
a d =⎧⎨
=⎩ 以32n a n =- ．
（II ）23[1+(32)]=2
2-
n n n n
S n -=
所以23484848
3123123n n n b n n n n n
-+=
=+-≥⋅-= 当且仅当48
3n n
=
，即4n =时取等号， 故数列}{n b 的最小项是第4项，该项的值为23 ． 18.解：
19.解:（1）设“两个编号和为6”为事件A,则事件A 包含的基本事件为（1，5），（2，4），
（3，3），（4，2），（5，1）共5个，
又甲、乙两人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， 故
51()255
P A =
= （2）设甲胜为事件B,乙胜为事件C ，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)。

所以甲胜的概率13()25P B =
, 乙胜的概率1312()12525
P C =-=()P B > (可省略) 所以这种游戏规则是不公平的。

20解:（Ⅰ）直线EF 与平面PBC 相交. 证明如下：过E 作//EG AB 交PB 于G ,
11
2,,,33
PE AE EP EG AB PA =∴
=∴= 11
,
22
FC CD AB FC EG ==∴≠
由底面ABCD 是平行四边形得//FC AB ， //EG FC ∴
EF CG ∴与相交，故直线EF 与平面PBC 相交.
（Ⅱ）解：过B 作,BH CD H ⊥于
四棱锥P ABCD -体积为8
3
，
PC ⊥平面,ABCD 18
,33
PC DC BH ∴⋅⋅=.2,PC BD BH ⊥∴=
2BC = 2,22,,CH CD BH CH HD ∴==∴==
.DB BC DB PBC ∴⊥∴⊥面, ,BD BDE ⊂∴面平面BDE PBC ⊥面.
21.解: (1)求得椭圆C 的方程为;22
184
x y +=; (2)∵点P 的坐标为(-4,0),显然直线L 的斜率k 存在,
∴直线L 方程为(4)y k x =+ 如图设点M 、N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,
线段MN 的中点为00(,)G x y ,由222222(4)(12)16328018
4y k x k x k x k x y =+⎧⎪
+++-=⎨+=⎪⎩
由△>0解得: 22x << 又22
1212022
16812212x x k k x x x k k ++=∴==-++ 002
4(4)12k
y k x k
=+=+, ∵2028012k x k =-≤+, ∴点G 不可能在y 轴的右边,
11 又直线F 1B 2, F 1B 1的方程分别为2,2y x y x =+=--.
∴点G 在正方形B 1F 2B 1F 1内的充要条件为: 000022y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即22
22222
248212124821212k k k k k k k k ⎧≤-+⎪⎪++⎨⎪≥--⎪++⎩ 即2222103131[]2210k k k k ⎧+-≤--⇒⎨--≤⎩故求得直线的斜率k 的取值范围
22.解:。