贵州省遵义四中组团7校2011届高三数学第一次联考 理

某某市2011届高三年级某某四中组团七校联考试题数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率3
43V R π=是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 其中R 表示球的半径恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k
n k n n
P k C P P k n -=-=
第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知{1,2,3,4}M ⊆，且{1,2}{1,2}M =，则集合M 的个数是 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4
2. 复数z 满足(1)(12)z i i z +=+，则z 等于
（Ａ）
1122i - （Ｂ）1122i + （Ｃ）1155i - （Ｄ）1155
i + 3. 设随机变量ξ服从二项分布(,),B n p 且2, 1.6,,E D n p ξξ==则的值分别为
（A ）30,0.2n p == （B ）20,0.1n p ==（C ）8,0.2n p ==（D ）10,0.2n p ==
4. 已知函数()2x f x =，则函数1(1)y f x -=-的大致图象是
5. 已知平面上三点A 、B 、C 满足||3,||4,||5,AB BC CA ===则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于
（A ）25（B ）24（C ）－25（D ）－24
6. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为R 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，
，则球的体积为 （Ａ）13π （Ｂ）16π （Ｃ）323π （Ｄ）4
3
π
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
秘密★考试结束前
7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a *()n N ∈和
(2,2)n Q n a ++*()n N ∈的直线的一个方向向量坐标可以是
（Ａ）（2，4） （Ｂ）()1,1-- （Ｃ）1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （Ｄ）1
4,3
3⎛⎫-- ⎪⎝⎭
8. 曲线1[2,2])y x =∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，实数k 的取值X 围是
9. 设函数()p f x x qx =+的导函数()21,f x x '=+则数列1
{
}()
f n 的前n 项的和为 （A ）
1n n +（B ）1n n +（C ）1n n -（D ）21
n n ++ 10. 若(,1]x ∈-∞-时，不等式2()420x x m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值X 围是 （A ）（－2，1）（B ）（－4，3） （C ）（－1，2） （D ）（－3，4）
11. 若直线360(0,0)ax by a b -+=>>被圆222610x y x y ++-+=所截得的弦长为6，则
14
a b
+的最小值为 （A ）4（B ）9
2
（C ）9（D ）5
12. 已知椭圆22
194x y +=，椭圆左焦点为1F ，O 为坐标原点，A 是椭圆上一点，点M 在线段
1AF 上，且12OA OF OM +=，2OM =，则点A 的横坐标为
（A ）（B （C ）（D ）
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知6
1x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭的二项展开式中的第5项的值等于5，数列1(2)n x ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项为n S ，则lim n n S →∞
=.
14. 将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案
15. 设实数a 、b 满足321032401a b a b a -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则2294a b +的最大值为.
16. 若对于函数()f x 的定义域内的任一个x 的值，均有()()(),2
f x f x f x π
=-=-+对于下列五
个函数：①24cos cos y x x =-；②44sin cos y x x =-；③sin(2)cos(2)44
y x x π
π
=+++；
④|tan |y x =. 其中符合已知条件的函数序号为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
设向量(1)OM =-，向量(cos ,sin )(0).ON αααπ=-<< （1）若向量OM ON ⊥，求tan α的值； （2）求||MN 的最大值及此时α的值。

18.（本小题满分12分）
袋中有大小相同的两个球，编号分别为1和2，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为偶数，则把该球放回袋中且编号加1并继续取球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用ξ表示所有被取球的编号之和。

（1）求ξ的概率分布；（2）求ξ的数学期望和方差。

19.（本小题满分12分）
如图甲，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2
DAB π
∠=
，点M 、N 分别在AB 、CD 上，且MN ⊥AB ，MC ⊥CB ，BC ＝2，MB ＝4，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）。

（1）求证：AB ∥平面DNC ；
（2）当DN 的长为何值时，二面角D －BC －N 的大小为
6
π
？
20.（本小题满分12分）
已知函数()2f x x =在[0，+∞）上最小值是*()n a n N ∈
图甲
图乙
A B C D M
N C D N A B
M
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2
41n n b a =
+，求证：125
3
n b b b ++⋅⋅⋅+<；
21.（本小题满分12分）
设点M 、N 分别是不等边△ABC 的重心与外心，已知(0,1)A 、(0,1)B -，且MN AB λ=. （1）求动点C 的轨迹E ；
（2）若直线y kx b =+与曲线E 交于不同的两点P 、Q ，且满足0OP OQ =，某某数b 的取值X 围。

22.（本小题满分12分）
已知函数.1,ln )(2
>-+=a a x x a x f x
（I ）求证：函数),0()(+∞在x f 上单调递增；
（II ）若方程|()|1f x t -=有三个不同的实根，求t 的值；
（III ）对1212,[1,1],|()()|1,x x f x f x e a ∈--≤-任意恒成立求的取值X 围。

某某市2011届高三年级某某四中组团七校联考数学(理、文
科)
参考答案及评分标准(第一次联考)
一、选择题（每题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 理科 D B D C C D B D A C B D 文科
D
A
D
C
D
C
B
B
A
C
B
D
二、填空题（每题5分，共20分）
13.(理科)
1
4
(文科)3 14.150 15. (理科)25 (文科)21 16. ②、③ 三、填空题（6个小题，共70分） 17、（第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）∵(1)OM =-，(cos ,sin )ON αα=-，OM ON ⊥
∴3sin 0.OM ON αα=--=…………2分
若cos 0α=，则sin 1α=±与上式矛盾，故cos 0α≠，两边同除以cos α化简，
得tan α=. …………4分
（2）∵(cos MN = …………7分
又∵0απ<<， ∴
43
3
3
π
π
π
α<+
<
. …………8分 ∴当32π
π
α+
=
，即6
π
α=
时，max 3.MN =…………10分
18、（第（1）小题8分，第（2）小题4分）
解：（理科）（1）ξ可取1、3、5， …………1分
1ξ=时，第一次摸到1号球，1
(1).2
P ξ==…………2分
3ξ=时，第一次摸到2号球，第二次摸到1号球，
111
(3).224
P ξ===…………4分
5ξ=时，第一次摸到2号球，第二次摸到3号球，
111
(5).224
P ξ===…………6分
∴ξ的概率分布为：
ξ 1 3 5
P 1
2
1
4
1
4
…………8分
（2）由（1）得
1115
135
2442
Eξ=⨯+⨯+⨯=，…………10分
2
111 19259 244
Eξ=⨯+⨯+⨯=，
∴
2
22
511
()9.
24
D E E
ξξξ⎛⎫
=-=-=
⎪
⎝⎭
…………12分
（文科）（1）记恰有1件是次品为事件A，…………1分
∴
31
82
4
10
8
()
15
C C
P A
C
==，…………4分
（2）记抽取n件产品检查为事件B，…………5分
22
82
10
()0.6
n
n
C C
P B
C
-
=>，…………8分
∴
8!310
(2)!(10)!5!(10)!
n n n n
>
---
！
化简，得(1)54
n n->，由此得8
n≥…………11分
答：至少抽取8件产品才能满足题意。

…………12分
19、（第（1）小题5分，第（2）小题7分）
解：（1）∵MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，
∴MB∥平面DNC.…………2分
同理MA∥平面DNC，
又MA∩MB＝M且MA、MB⊂平面MAB，
∴平面MAB∥平面NCD，…………4分
又AB⊂平面MAB，
∴AB∥平面NCD.…………5分
（2）过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ，连结DH ， …………6分 ∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN
∴DN ⊥平面MNCB ，从而DH ⊥BC ，
∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角。

…………8分 由BC ＝2，MB ＝4，MC ⊥CB ，知60o MBC ∠=，42cos60 3.o CN =-=
∴3sin 60o NH =
=
…………10分 由条件知：tan 3
DN NHD NH ∠==
∴33333
.2
DN NH ===…………12分
（如用向量法做，也按相应步骤给分） 20、（第（1）小题6
分，第（2）小题6分）
解：（理科）（1）∵()2f
x x =，
∴/() 1.f x = (2)
分
令/()0f x =，得
x =…………3分
当0,
x ⎛
⎫∈ ⎝
时/()0f x <，当x ⎛⎫∈+∞⎪⎭时/()0f
x >， ∴()f x 在0,
⎛⎫ ⎝上单调递减，在⎛⎫+∞⎪
⎭上单调递增， …………5分
∴x =时，min
()f x
∴n a =…………6分
（2）由（1）得2241
1n n b a n
==+， …………7分
2214112412121k k k k ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭
…………9分 12222
111
12311111
112355721215232153n b b b n
n n n ++⋅⋅⋅+=++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦=
-
+<
…………12分
（文科）（1）∵11620n n n n a a a a ++--=，且0n a ≠， ∴
11312n n a a +=-，即11
32
n n b b +=-. …………2分
∴111344n n b b +⎛
⎫-
=- ⎪⎝⎭， …………4分 ∴14n b ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是以3为公比，34为首项的等比数列，
从而11333444n n n b --=⨯=，∴31
4
n n b +=. …………6分
（2）由（1）得4
31
n n a =+， …………7分
214444
31313131
n n n
T -=++++++++…………8分 211
1433
3n ⎛⎫<⨯+++ ⎪⎝⎭…………10分
111133421 2.1313
n n ⎛⎫⨯- ⎪
⎛
⎫⎝⎭=⨯=⨯-< ⎪⎝⎭-…………12分
21、（第（1）小题5分，第（2）小题7分）
解：（１）设点(,)C x y ，则△ABC 的重心(,)33
x y M ，∵△ABC 是不等边三角形，∴0.x y ≠
再设△ABC 的外心(,0)N n . ∵已知MN AB λ=，∴MN ∥AB ，∴3
x
n =
.
(2)
分 ∵点N 是△ABC 的外心，∴NA NC =，=化简整理得轨迹E 的方程是2
21(0).3
x y xy +=≠…………4分
∴动点C 的轨迹E 是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）。

…………5分 （2）（理科）将直线方程y kx b =+代入轨迹E 的方程221(0)3
x y xy +=≠，并化简，
得 222(13)6330.k x kbx b +++-=…………6分
依题意，知0b ≠，1b ≠±，且222(6)4(13)(33)0kb k b ∆=-+->， 化简，得0b ≠，1b ≠，且2213.b k -<…………7分
设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，∵0OP OQ =，∴12120x x y y +=，即
2212121212()()(1)()0.x x kx b kx b k x x kb x x b +++=++++=…………8分
又∵122
613kb x x k
+=-+，21223313b x x k -=+，∴222
22336(1)01313b kb k kb b k k --+++=++，
化简得 2234 3.k b =-…………10分
∴0b ≠，1b ≠±，2430b -≥，22431b b ->-，
解得实数b 的取值X 围是b ≤或b ≥且1b ≠±. …………12分 （文科）将直线方程y x b =+代入轨迹E 的方程2
21(0)3
x y xy +=≠，并化简，
得 2246330.x bx b ++-=…………6分
依题意，知0b ≠，1b ≠，且22(6)16(33)0b b ∆=-->， 化简，得：0b ≠，1b ≠，且24b <…………8分
设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，∵0OP OQ =，∴12120x x y y +=，即
212121212()()2()0.x x x b x b x x b x x b +++=+++=…………10分
又∵1232b x x +=-，212334b x x -=，∴223332042b b b b --++=，化简得23
2
b =
解得实数b 的取值是b = …………12分
22、（理科）（第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
解：（I ）a a x a x a a x f x
x ln )1(2ln 2ln )(-+=-+='…………2分
由于,0)(,01,0ln ,),0(,1>'>->+∞∈>x f a a x a x
所以时故当
故函数),0()(+∞在x f 上单调递增。

…………4分
（II ）令0,0ln )1(2)(==-+='x a a x x f x
得到…………5分
)(),(,x f x f x '的变化情况表如下：
因为方程|()|1f x t -=有三个不同的实根，()1f x t =±所以有三个根， 又因为当+∞→∞→)(,x f x 时，
所以2,1)0()(1min ====-t f x f t 故…………8分
（III ）由（II ）可知]0,1[)(-在区间x f 上单调递减，在区间[0，1]上单调递增。

min max ()(0)1,()max{(1),(1)}1
(1)1ln ,(1)1ln 1
(1)(1)2ln 9f x f f x f f f a f a a a
f f a a a ===--=
++=+---=--所以分
记221121
()2ln ,()1(1),g x x x g x x x x x '=-
-=+-=-()0g x '≥（当x =1时取等号） 所以1
()2ln g x x x x =--递增
1
(1)0,1,(1)(1)2ln 0,
(1)(1)
g a f f a a a
f f =>--=-->>-故所以 于是.ln 1)1()(max a a f x f -+== ………………11分
1212max ,[1,1],|()()||(1)(0)|ln .ln 1,112x x f x f x f f a a a a e a e
∈--=-=--≤-<≤故对任意所以分
（文科）（第（1）小题6分，第（2）小题6分）
（1）/2()363(2)f x x ax x x a =-=-， …………2分 由/()0f x =得10x =，22(0)x a a =>. …………3分
,(),()x f x f x '的变化情况表如下：
x (,0)-∞
0 (0,2)a
2a
(2,)a +∞
)(x f ' + 0 — 0 + )(x f
极大值
极小值
word
- 11 - / 11 ()f x 的增区间为：(,0)-∞、(2,)a +∞，减区间为：(0,2)a . …………6分
（2）由（1）可知，只有10x =、22x a =处切线都恰好与y 轴垂直，
∴0m =，2n a =，2(0)3f a a =-+，32(2)43f a a a a =--+. …………8分 由曲线()f x 在区间[]0,2a 上与x 轴相交，可得：(0)(2)0f f a ≤， …………9分 ∵0a >∴(31)(41)0a a --≤.
…………10分 解得1
1
43a ≤≤，
∴实数a 的取值X 围是11,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.
…………12分。