建立飞行器运动方程

一、动力学方程
动力学方程——以动力学为基础， 描述力与力矩平衡关系的方程，亦即 为考虑在体轴系下运动参数与力、力 矩的方程。（由于体轴系为动坐标系， 所以建方程时既要考虑相对运动，又 要考虑绝对运动。
一、动力学方程式
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运
动参数间关系的方程，显然包括两组方程：
2、线运动方程
用机体系表示绝对参数变化时：
1v
d~v dt
dv dt
Iv
d~v dt
为速度向量 V
v
相对于动坐标系的变化率，
V
为由于动坐标系转动而引起的向量变化率，是牵连
加速度。
dv Iv dt iu jv kw
i jk
v
p
q
r i(wq vr) j(ur wp) k(vp uq)
N rI z pI xz pq(I r I x ) prI xz
力平衡方程式：
F
m
dv dt
Fx
Fy
X
Y
(u wq vr)m (v ur wp)m
Fz Z (w vp up)m
二、运动学方程式
运动学方程——通过体轴系与地轴系的关系， 找出体轴系下角速度、位移量与地面轴系下角速 度、位移量的关系。包括两种方程：
二、 六自由度飞机运动方程
1、飞机运动的自由度：(six-degrees-of freedom)
飞机在空间的运动有六个自由度，即质心沿地 面坐标系的三个移动自由度和绕机体坐标轴系 的三个转动自由度 。
一个角运动 : 俯仰q
纵向两个线运动:高 航度 程HL
侧向两个角运动:滚 偏转 航pr 一个线运动 : 侧偏Y
2.1、飞行器运动方程组
一、建立飞机运动方程的基本假定 二、六自由度飞机运动方程 三、飞机运动方程的分组与线性化
一、建立飞机运动方程的基本假定：
认为飞机不仅是刚体，而且质量不变； 假定地球固定于空间，即略去地球自转、公转的
影响; 假定飞机有一个对称面xoz（机体坐标系）,且飞
行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对 称，惯性积 ; I xy I zy O 忽略地面曲率，视地面为平面;
力平衡方程式：理论依据―牛顿第二定律：
F
m
a
m
dv
dt
力矩的平衡方程式： 理论依据―动量矩定理 ：
M
dL dt
一、动力学方程式
1、牵连运动 选定地面坐标系为惯性坐标系，因此，
基于机体坐标系建立的飞机运动方程要考 虑牵连运动。
dV dt
1V
dV dt
V
dL dt
1HdL dt源自L1、牵连运动k Izr Ixz p I yzq dm
3、角运动方程式
考虑到飞机有对称面（oy轴），而有 ：
I xy I zy 0
由此可得（相对动坐标系的动量矩）：
Lx pIx rIz
Ly
qI y
Lz rIz pIxz
3、角运动方程式
用机体系表示绝对参数变化时：
dL dL dt IL dt L
uvw
一、动力学方程 力平衡方程式：
F iX jY kZ
X (u wq vr)m
F
m
dv dt
Y Z
(v ur wp)m (w vp up)m
一、动力学方程
u vr wq g sin Fx
m
v ur wp g cos sin Fy
m
w uq vp g cos cos Fz
q c5 pr c6 ( p2 r 2 ) c7M
r (c8 p c2r)q c4L c9 N
3、动力学方程式
取机体座标系作为动座标系 力矩的平衡方程式：
L M
pI x qI r
rI xz pr(I x
qr(I z Iz)
Ir) (p2
pqI xz r 2 )I xz
m
3、角运动方程式
飞机动量矩的推导：
dL r ( r )dm
r dm
r
L dL r ( r )dm iLx jLy kLz
向径 r ix iy kz
角速度
ip
jq kr
3、角运动方程式
L i ( y2 z2 ) p xyq xzr dm j (z2 x2 )q yzr xyp dm k (x2 y2 )r xzp yzq dm i (Ix p Ixyq Ixzr)dm j (I yq I yzr Ixy p)dm
Lx Ly Lz
3、角运动方程式
将合力矩沿机体坐标系分解
M iL jM kN
L M
pI x qI r
rI xz pr(I x
qr(I z Iz)
Ir (p
)
2
pqI xz r 2 )I xz
N rI z pI xz pq(I r I x ) prI xz
p (c1r c2 p)q c3L c4 N
坐标系选择
坐标系选择：选坐标系—机体系
飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（飞 机姿态变化），及飞机三个线位置的变化，在建 立六自由度方程时，选机体坐标系。
选体轴系下列好处：
假定3利用飞机对称平面，使 I xy Izy 0 ； 飞机质量不变，因此转动惯量和惯性积为常值；
机体轴的姿态角和角速度就是飞机的姿态角和 角速度。
角位置运动学方程式
给出p、q、r与 、、的关系
线位置运动学方程
给出地轴系与体轴系间线速度关系 。
其中
：
IL
dL dt
i
dLx dt
j dLy dt
k dLz dt
L 表示随动坐标系的牵连运动。
3、角运动方程式
假定飞机为质量不变的刚体，惯性矩和 惯性积均为时不变的常量，则
dLx dt
pI x
rIxz
dLy
dt
qI y
dLz
dt
rIz
pI xz
i jk
L p q r i qLz rLy j rLx pLz k pLy qLx
1V ：沿 V 的单位向量； ：动坐标系对惯性系的总角速度向量；
1L ：沿动量矩 L的单位向量；
：表示叉乘
v
是牵连加速度。
dV dH
dt 和 dt ：表示在动坐标系内的相对导数。
dV 和 dH ：表示在惯性坐标系内的绝对导数。
dt
dt
3、飞机运动方程
方程应包括动力学方程及运动学方程：
运动学方程——通过体轴系与地轴系的关系，找 出体轴系下角速度、位移量与地面轴系下角速 度、位移量的关系。