河南省商丘市九校2020学年高二数学下学期期末联考试题 文

2020学年下期期末联考高二数学试题（文科）
注意：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅰ卷
一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每题只有一个正确的选项，请把正确的选项填到答题卡上)
1．下列关于残差图的描述错误的是（ ） Ａ．残差图的横坐标可以是编号
Ｂ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量
Ｃ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 Ｄ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
2.集合{}{}
,03|,6|2>-∈=≤∈=x x R x B x N x A 则A B =I ( ) A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{|36}x x <≤ D.{|36}x x ≤<
3．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是A （1,2），B （3,4），C （5,6）D （7,8），则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） Ａ．$1y x =+ Ｂ．$2y x =+ Ｃ．$
21y x =+
Ｄ．$1y x =-
4．若复数
1i 1
2i 2
b +=+（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2- B ．12- C ．1
2
D ．2
5．命题0,2
≥+∈∀x x R x 的否定是（ ）
A ．0,2
≤+∈∃x x R x B ．0,2
<+∈∃x x R x
C ．0,2
≤+∈∀x x R x D ．0,2
<+∈∀x x R x
6．设a ＝错误！未找到引用源。

，b ＝错误！未找到引用源。

，c ＝错误！未找到引用源。

，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜c ＜b
7某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得
（ ）
A ．当n=7时该命题不成立
B ．当n=7时该命题成立
C ．当n=9时该命题不成立
D ．当n=9时该命题成立
8．已知函数f (x )＝6
x
－log 2x ，在下列区间中，则f (x )的零点所在的区间是( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，4)
D ．(4，＋∞) 9“x <2”是“()1-x x <0” 成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10 函数f(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧≤+-〉），　）（ 1(524)1(x x a x a x 满足对任意1212
12()()
,0f x f x x x x x -≠>-都有 成立，则实数a 的取值范围是( ）
A.),4(+∞
B. )8,6[
C. )8,6(
D. )8,1(
11．若函数f （x ）=ax －lnx 在区间（2，+∞）单调递增，则ａ的取值范围是（ ） A ．[2
1
,+∞ ) B.(],1-∞- C. (],2-∞- D.[)1,+∞
12．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2
()(2)f x x =-+，
当13x -≤<时，()f x x =。

则f （1）+f （2）+…+f （2020）=（ ） A ．333 B. 336 C.1678 D.2020
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每题5分。

共20分。

请把答案写在答题卷相应位置上。

13. 已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (4)= __________ 14.已知111()123f n n =+
+++L .(n ∈N +)经计算得35(2),(4)2,(8),22
f f f =>> 7
(16)3,(32)2
f f >>
，由此可推得一般性结论为 ．
15．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若f （x －１）＞ｆ(2)，则x 的取值范围
是__ ________.
16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)
0()
0(3)(x x x x f x ，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则
实数b 的取值范围是_________ .
三．解答题：本大题共6小题。

共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17（本小题满分12分）已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22
(1)(34)2i i z
++的值
18.（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方
法从该地区调查了500位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

参考数据：
19.（本小题满分12分）设命题p :实数x 满足a x >-1其中0a >;命题q ：实数x 满足
136
2
<--x x
（1）若命题p 中1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.
20．（12分）设S n =+
+
+…+
，写出S 1，S 2，S 3，S 4的归纳并猜想出
结果，并给出证明．
21.（本小题满分12分）已知函数)0(2
1)(>+-
=x x
a x f （1）判断)(x f 在),0(+∞上的增减性，并证明你的结论 （2）解关于x 的不等式0)(>x f
（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，求a 的取值范围
请考生在（22）（23）两题中任选一题作答，如果多答则按第一题记分 22．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22522
3 (t 为参数)，在极坐标
系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.
23．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲． 已知函数a a x x f +-=2)(．
(I)若不等式6)(≤x f 的解集为{}
32≤≤-x x ，求实数a 的值；
(II)在(I)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．
高 二 数 学 (文)试 卷答案
二．填空题
13 2 14 2(2)2n
n f +≥
15 （-1,3） 162
10<<b . 三 解答题
17解：设,(,)z a bi a b R =+∈，而13,z i z =+-130i a bi -++=........3分
则4
10,43330
a a z i
b b =-⎧-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩ ........8分
i i
i
i i i z
i i 4334724)34(2)247(22)
43()1(2
2+=-+=+-+-=
++ ........12分
18解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为70
500＝14％ ........3分
(2)K 2
＝500×(40×270－30×160)
2
200×300×70×430
≈9.967 ........7分
由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ........9分
（3）由(2)的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好． ........12分
19、（1）当1a =时，p :{}
02<>x x x 或 ………… 1分 q ：{}32<<-x x ………… 2分
又p q ∧真，所以,p q 都为真 ………… 3分
由⎩⎨⎧<<-<>3202x x x 或 得3202<<<<-x x 或 ………6分 （2）0,11,1:>+>-<∴>-a a x a x a x p 或 ………… 7分
p ⌝:0,11>+≤≤-a a x a ………… 8分 ∴满足条件p ⌝的解集A={}0,11>+≤≤-a a x a x
q ：B={}32<<-x x
p ⌝是q 的必要不充分条件
321310
,≥∴⎪⎩
⎪⎨⎧-≤-≥+>∴⊂∴a a a a A B ………… 12分
20解：当n=1，2，3，4时，
计算得原式的值分别为：S 1=，S 2=，S 3=，S 4=． ........4分 观察这4个结果都是分数，
每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1． 归纳猜想：S n =． ........6分
证明∵
=1﹣，
=﹣，…，
=﹣
．
∴S n =1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=
． ........12分
21、（1）f(x)在),0(+∞上为减函数 证明方法一：设210x x <<
0)
(222)21()21()()(2
112212121>-=-=+--+-
=-x x x x x x x a x a x f x f ........3分 )(),()(21x f x f x f >∴在),0(+∞上为减函数 ........4分
方法二：利用导数证明:f ′(x )=
x
2
2
-
<0
∴f(x)在),0(+∞上为减函数 （2） 不等式0)(>x f 即02
1>+-
x
a 即 1） 当0)2(,0<->a x x a ，不等式的解a x 20<< ........6分 2） 当a<0,∵x>0 ∴02
1>+-
x
a 恒成立 不等式的解0>x
综上所述当a>0时 不等式的解{x|a x 20<<} 当a<0时，不等式的解{x|0>x }，........8分
（3）若
02)(≥+x x f 在),0(+∞恒成立即022
1≥++-
x x
a 所以
)1(21x x a +≤因为)1
(2x
x +的最小值为4 ........10分 所以41
≤a
即0<a 或a ≥ 41
所以 a 的取值范围是{a | 0<a 或a ≥ 4
1
} ........12分
22解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2
＋y 2
－25y ＝0，
即x 2
＋(y －5)2
＝5. -----------5分 (2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－
22t )2＋(2
2
t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.
由于Δ＝(32)2
－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨
⎧
t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.
又直线l 过点P (3，5)，
故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.-----------10分 (2)法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5. 由｛ 得x 2－3x ＋2＝0. 解得： ⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2＋ 5.或 ⎩⎨
⎧
x ＝2，
y ＝1＋ 5.
不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)，
故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2. -----------10分 23.解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即
33a x -≤≤，
∴32a -=-，∴1a =。

┈┈┈┈5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，
x 2＋y 2－25y ＝0 y ＝－x ＋3＋ 5.
则，()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-+++=-<≤⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞。

┈┈┈┈┈10分。