大学物理论文《光栅衍射的半波带分析法》

光栅衍射的半波带分析法

XXX（08010440）

（东南大学自动化学院，南京 211189）

摘要：本文用半波带法对光栅衍射进行分析，该方法和常用的振幅矢量法相比，分析衍射条纹的位置更要快捷，明了。

关键词：光栅衍射；半波带法；单缝衍射

THE ANALYSIS OF GRATING DIFFRACTION BY HALF-WAVE ZONE METHOD

Li Shuangquan

(School of automation, Southeast University, Nanjing , 211189)

Abstract: The author shows that using the half-wave zone method to deduce the the bright and dark fringe conditions of grating diffraction is simpler than the amplitude vector method.

key words: Grating diffraction; half-wave zone method; single-slit diffraction

菲涅耳把惠更斯提出的次波概念和杨氏提出的干涉原理结台起来认为次波是相干的。建立了惠更斯—菲涅耳原理，这是从光的波动性出发关于光传播规律的普遍原理。它可以表示为标量积分的形式。定量地研究衍射现象。但积分常常比较复杂实际问题中常常采用简便的近似方法。

半波带法是菲涅耳提出的一种简便方法。所谓半波带法，实际上是在惠更斯-菲涅尔原理的基础上，首先将辅助面取为波阵面。使各次波源振动位相相同。然后把波阵面分割为有限个带，将无限多个无限小量的求和(积分)化为有限多个有限大量的求和。分割的方法是使相邻带的整个边缘的相应线

作者：XXX，1991年，男，大学本科，996586112@ 段到所考虑那点的光程差为

2

，所以称为半波带法。半波带法的形状可以根据问题的需要灵活选取，各带的面积也可以不相等。半波带法能够定性地分析各种衍射现象。本文用它对单缝，特别是多缝夫琅禾费光栅衍射进行分析。

1 半波带法分析单缝衍射

单缝衍射可以用半波带法进行分析，如图1，AB为单缝的截面，缝的宽度为a，设平面单色光垂直射入单缝，按照惠更斯-菲涅尔原理，AB上的各点都可以看成是子波波源，它们发出的子波到达空

间某处时，会叠加产生干涉。首先考虑沿入射方向传播的各子波波线，它们经过透镜会聚于焦点O ，由于AB 是同相面，所以这些子波的相位是相同的，它们经过透镜后不会引起附加的光程程差，所以它们在O 点会聚时仍然保持相同的相位，因而相互加强，这样在正对狭缝中心的屏幕O 处所呈现的是明

纹，称为中央明纹。

图1 单缝衍射

然后再研究其他方向上的子波波线，与入射 方向成θ角的子波波线 ， θ叫衍射角，沿衍射角方向的平行光经透镜会聚于屏幕上的P 点，P 点的明或暗取决于AB 波面上无数子波传到P 处彼此 干涉的结果。如图2所示，如果过B 作一波面BC ，BC 垂直AC ，则由于BC 上各点到P 点的光程都相同，那么波面AB 上各点到达P 点的光程差就等于波面AB 到波面BC 之间的光程差。各光束之间的最大光程差就是单缝两端边缘处的两条光线的光程差 AC ：θsin a ，显然，衍射角不同，最大光程差也就不同。为了能简便的确定 AB 上各子波在P 处相干叠加的结果，菲涅耳提出了半波带法，它是用一些相距为

2

λ

的平行于BC 的平面来分割AC ，从而也就将单缝处的波面AB 分割成一些面积相 等的部分(即半波带)，这些半波带的特点是 ：各带 的面积相等，子波数目也相等，各带在P 点引起的光振动的振幅也近似相等；在两个相邻波带上 ，对应点沿方向发出的两平行相干光在 P 点的光程

差为

2

λ

(即相位差为π)。

图2 半波带

P 处的明或暗就取决于最大光程差AC 。如果AC 恰好是2

λ

的偶数倍，则单缝处波面分为偶数个 半波带，由于相邻两半波带的对应点上发出的光线的光程差均为

2

λ

，彼此干涉相消，这样一对对相邻半波带发出的光都分别在P 点相互干涉抵消，所以 P 点是暗条纹中心；如果AC 恰好是

2

λ

的奇数倍，则单缝处波面分为奇数个半波带，那么一对对相 邻半波带发出的光分别在P 点相互干涉抵消后，还剩一个半波带发出的光到达P 点，这时P 点应是 明条纹中心；如果AC 不能恰好被

2

λ

所平分，即对 于任意衍射角 θ，AB 一般不能恰好分成整数个半波带，则P 点的光强介于最明和最暗之间。综上所述，当平行光垂直于单缝入射时，单缝夫琅禾费衍射的明暗纹条件为： 暗条纹中心条件：

λλ

θk k

a ±=±=2

2sin k=1,2,3,……

明条纹中心条件：

2

)

12(sin λ

θ+±=k a k=1,2,3,……

中央明条纹中心θ=0。

2 用半波带法分析光栅衍射

2.1 光栅的结构及光栅衍射的发生原理

在以上用半波带法分析单缝衍射的基础上，尝试用半波带法分析光栅衍射现象。

如图3，光栅的透光部分宽度为a ，不透光不分宽度为b ，则光栅常数d=a+b 。N 表示光栅总缝数。

平面单色光垂直入射到光栅表面上时，每一条狭缝都要产生衍射，而缝与缝之间透过的光又要产生干涉，因此用透镜把光束会聚到屏幕上时，就会出现光栅衍射条纹。

图3 光栅衍射

2.2 每一条狭缝的单缝衍射

平行单色光垂直射入光栅时，透过每一条小狭缝的光都要产生衍射现象。应用单缝衍射的半波带分析法有 暗条纹中心条件：

λλ

θk k

a ±=±=2

2sin k=1,2,3,……

明条纹中心条件：

2

)

12(sin λ

θ+±=k a k=1,2,3,……

中央明条纹中心θ=0。

对应的光强分布曲线如图4中a 曲线所示。

图4 光栅衍射的光强分布的分解与合成

2.3 多缝干涉确定主极大条纹

由以上论述可知射出小狭缝的光强度随着衍射角θ的变化而变化。现在假设从小狭缝中射出来的光线强度是恒定的，不随衍射角θ变化。 当每两条相邻狭缝发出的光束光程差而半波长的偶数倍，则N 个狭缝的光束在屏上P 点干涉加强，合振动振幅最大，形成明纹，即

λλ

θk k

d ±==2

2sin k=1,2,3……

上式称为光栅公式。同这些明纹相应的光强的极大值叫做主极大。如图4 中b 曲线的波峰所示。 2.4 将整个光栅等效成一条大的单缝

将整个光栅看成一个大的单缝，则缝宽为Nd 。虽然这样取的辅助面有交替的透光和不透光部分组成但由于其结构的周期性，不影响暗纹条件的分析结果。所以可以将整个光栅等效成一个大的单缝并应用半波带发进行分析。

由半波带法知，光栅衍射暗条纹条件为：

λλ

θk k

Nd ==2

2sin k=1,2…N-1，N+1，

N+2，…2N-1，2N+1,2N+2……

由此可知在2.3中所示的没两条相邻的主极大明纹之间有N-1条暗纹，而两个暗纹之间光强不为零，