长沙市实验中学2019-2020学年上学期高一数学第三次测试卷附答案解析

长沙市实验中学 2019-2020 学年上学期第三次测试
高一数学试卷
一、单项选择题 1．已知会合 A x 0 x
2 ， B x x 0 或 x
1，则 A B
（ ）
A ． 1,2
B ．
,0
1,2
C ．
,1
2,
D ． 1,2
2．式子 a
1 ）
经过计算可获得（
a
A ．
a
B ． a
C ．－
a
D ．－
a
3．以下命题中正确的个数是（ ）
①假如 a 、 b 是两条直线， a / / b ，那么 a 平行于过 b 的任何一个平面； ②假如直线 a 知足 a / / ，那么 a 与
平面 内的任何一条直线平行；③假如直线 a 、 b 知足 a / /
， b / / ，则 a / /b ；④假如直线 a 、 b 和平
面 知足 a / / b ， a / / ， b
，那么 b / /
；⑤假如 a 与平面 内的无数条直线平行，那么直线
a 必平
行于平面
.
A ． 3
B ． 2
C ． 1
D ． 0
4．已知对于 x 不等式 ax b
0 的解集为
,1 ，则对于 x 的不等式
ax
b 0 解集为（
）
x 2
A ．
1,2
B ． 1,2
C ．
, 1
2,
D ．
, 2 1,
5．已知圆柱的侧面睁开图是一个边长为 2
的正方形，则这个圆柱的体积是（
）
A ．2 2
2
2
2
B ．
C ．
D ．
3
2
6．如图， ABC 是 ABC 的直观图，此中 AB A C ，A B Px 轴， A C y 轴，那么 ABC 是（
）
A ．等腰三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
7．如图，在三棱锥
S ABC 中， E 为棱 SC 的中点 .若 AC
2 3 ， SA SB SC AB BC
2 .则异
面直线 AC 与 BE 所成的角为（
）
A．30 B．45 C．60 D．90
8．如下图，a ，A 是的另一侧的点， B， C， D a ，线段AB，AC，AD分别交于点 E，F，G ，若 BD 4，CF 4，AF 5，则EG （）
16 20 9 5
A．B． C ．D．
9 9 4 4
9．如下图，点P从点A出发，按逆时针方向沿边长为 a 的正三角形ABC 运动一周， O 为△ ABC 的中心，设点 P 走过的行程为x ，△OAP的面积为 f ( x) （当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f (x)的图象大概为（）
A．B．C．D．
10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三
角形的三棱锥称之为鳖臑。

若三棱锥P-ABC 为鳖臑， PA ⊥面 A BC,PA=AB=2, AC=4, 三棱锥 P-ABC 的四个顶
点都在球的球面上，则球0 的表面积为 ()
A． 8πB． 12π C ． 20πD． 24π
11．在棱长为2的正方体ABCD A1 B1C1 D1中，P为底面正方形ABCD 内一个动点， Q 为棱 AA1上的一个动点，若 |PQ|＝ 2，则 PQ 的中点M 的轨迹所形成图形的面积是（）
A ．
2 B ．
C ． 3
D ． 4π
4
2
12．已知函数 f x
ax
2
bx c ，且存在相异实数
m ， n 知足 f m
f n 0 .若
a
b c 0 ，则
3 2
m n 的最小值是（
）
A ．2 3
B ．
3 9 3
D ．
3
3
C ．
2
二、填空题
13．已知幂函数
y f x
3, 3 ，函数 g
x
f x , x 0
g
1 __________.
的图象过点 2x 1
3,x ，则 g
14．正方体 ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1 中， BB 1 与平面 ACD 1 所成角的正弦值为 __________.
15．对于函数 f
x
x 2
1 x 4 的性质描绘，正确的选项是 __________. ① f
x 的定义域为
1,0
0,1 ；②
x 1
f x 的值域为
1,1 ；③
f x
的图象对于原点对称；④
f x 在定义域上是增函数
.
16．函数
2
，若存在 x 1 , x 2 1
,1 ，使得
，则 a 的取值
f x
2 x 4 x 1, g x 2x a
1
g x 2
2
f x
范围是 ___________.
三、解答题
17．已知会合
A
y y x 2 2 x 2, x R ，B x y log 2 x 2 2x 3
，C x 1 a x 3 a .
（ 1）求 AI C R B ；
（ 2）若 A
C A ，求 a 的取值范围 .
18．已知二次函数
y x 2 mx 1在 1
, 4 上不拥有单一性 .
4 （ 1）求 m 的取值范围；
（ 2）求函数 f
m log 2 m
2
5 的最值及相应的 m 的值 .
log 2 m 4
.
19．在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， G 为 B 1 B 中点， D ， E ， F 分别是线段 AB ， BC ， C 1G 上的点，且满
足 BD
1
DA ，BE
1
EC ， GF
1
FC 1.
2 2 2
（ 1）求证： DE / / 平面 A 1 ACC 1 ；
（ 2）求证： DF / / 平面 A 1 ACC 1 .
20．如图，在四棱锥
P ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形，
BCD 135 ，
PA
底面 ABCD ，
AB AC 2， PA
4 ，E ，F 分别为 BC ， AD 的中点，
M 为线段 PD 的中点 .
（ 1）求证： EF 面 PAC ；
（ 2）求直线
ME 与平面 PAD 所成的角 .
21．在扶贫活动中，为了赶快脱贫（无债务）致富，公司甲将经营状况优秀的某种花费品专卖店以 5.8 万元
的优惠价转让给了另有
5 万元无息贷款没有偿还的小型公司乙，并商定从该店经营的收益中，第一保证公司
乙的全体员工每个月最低生活费的开销 3600 元后，逐渐偿还转让费（不计息）．在甲供给的资猜中有：①这
种花费品的进价为每件
14元；②该店月销量 Q （百件）与销售价钱
P （元）的关系如下图；③每个月需各
种开销 2000 元．
（1）当商品的价钱为每件多少元时，月收益扣除员工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）公司乙只依赖该店，最早可望在几年后脱贫？
22．已知函数 f x 4x a
是定义在R上的奇函数 .
2x b
（ 1）求函数 f x 的分析式；
（ 2）求不等式 f x2 2x f x 4 0 的解集；
（ 3）若g x 2x f x m 5 在x 0,2 上有两个零点，务实数m 的取值范围.
分析
长沙市实验中学2019-2020 学年上学期第三次测试
高一数学试卷
一、单项选择题
1．已知会合A x 0 x 2 ，B x x 0 或 x 1，则A B （）
A．1,2B．,0 1,2 C．,1 2, D．1,2
【答案】 A
【分析】由会合交集的定义运算即可.
【详解】
由会合 A x 0 x 2 ，B x x 0 或 x 1 ，得 A B A x 1 x 2 应选： A
【点睛】
本题考察了会合交集的定义运算，属于基础题.
1
2．式子a 经过计算可获得（）
a
A．a B． a C ．－ a D．－a
【答案】 D
【分析】利用被开方数非负，推出 a 的范围，而后求解即可．
【详解】
1
，因此 a＜ 0，因此a 1 a
a ．
由于 a a
a2
a a
应选： D．
【点睛】
本题考察有理指数幂的运算，属于基本知识的考察．
3．以下命题中正确的个数是（）
①假如 a 、b是两条直线，a / / b，那么 a 平行于过b的任何一个平面；②假如直线 a 知足a / / ，那么 a 与平面内的任何一条直线平行；③假如直线 a 、b知足a / / ， b / / ，则 a / /b ；④假如直线 a 、b和平面知足 a / / b， a / / ， b ，那么 b / / ；⑤假如a与平面内的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面.
A．3 B．2 C ．1 D．0
【答案】 C
【分析】由线线和线面的地点关系和线面平行的判断和性质，对①②③④⑤一一判断即可 .
【详解】
①假如 a， b 是两条直线，且a∥ b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面，不正确，可能a， b 在一个平面内；
②假如直线 a 和平面α知足 a∥ α，那么直线 a 与平面α内的任何直线平行，不正确，可能 a 与平面α内的直
线异面；
③假如直线a， b 和平面α知足 a∥ α， b∥ α，那么a∥ b，不正确， a， b 可能订交或异面；
④假如直线 a，b 和平面α知足 a∥ b，a∥ α，b? α，过 a 与α订交的平面与α交于直线 c，可得 a∥ c，即有 b∥c，那么 b∥ α，正确；
⑤假如 a 与平面内的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面，不正确，可能a.
应选： C．
【点睛】
本题考察空间线线、线面和面面的地点关系的判断，注意运用线线平行、线面平行和面面平行的判断和性质，
考察空间想象能力和推理能力，属于基础题．
4．已知对于x 不等式ax b 0 的解集为,1 ，则对于x的不等式ax b
0 解集为（）x 2
A．1,2 B ．1,2
C．,12,D．,21, 【答案】 A
【分析】由 ax b 0求得x的解集，再依据x＜ 1，求得 a,b 的关系，再化简不等式围即可．
【详解】ax b
x2
0 求出x的范
由 ax b 0 解得ax b ，又∵ax b 0 的解集为,1 ，∴a＜0，b
＝1，即a＝b，a
解不等式ax
b 0 ，等价于解
a x
1 0 ，从而解x 1 0 ，∴ ﹣1＜x＜2．x
2 x 2 x 2
应选： A．
【点睛】
本题主要考察分式不等式的解法，表现了等价转变的数学思想，属于基础题．
5．已知圆柱的侧面睁开图是一个边长为 2 的正方形，则这个圆柱的体积是（）
2 2 2 2
A．2 B． C ．D．
3
2
【答案】 A
【分析】由已知易得圆柱的高为 2 【详解】
底面圆周长 l 2 2 r ， r 1 因此
V Sh 22 2
应选： A
【点睛】
，底面圆周长为2，求出半径从而求得底面圆半径即可求出圆柱体积。

， S r 2
本题考察圆柱的侧面睁开为长方形，长为底面圆周长，宽为圆柱高，属于简单题目。

6．如图，A B C 是ABC 的直观图，此中 A B A C ，A B Px轴，A C y 轴，那么ABC 是（）
A．等腰三角形B．钝角三角形 C ．等腰直角三角形D．直角三角形
【答案】 D
【分析】依据斜二测画法的原则，即可判断出结果.
【详解】
依据斜二测画法中，平行于坐标轴的直线的平行关系不变，且平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度变成本来的一半，得 A B C 的原图形ABC 是直角三角形，且AC 2 AB ，故ABC 不是等腰直角三角形，应选 D.
【点睛】
本题主要考察斜二测画法，熟记斜二测画法的原则即可，属于基础题型.
7．如图，在三棱锥S ABC中，E为棱SC的中点 .若AC 2 3，SA SB SC AB BC 2.则异面直线 AC 与BE所成的角为（）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】 C
【分析】取 SA的中点F，连结EF，BF，
则BEF （或其补角）为异面直线AC 与BE所成的角，求出三角形的三边，即可求出异面直线AC 与BE所成的角．
【详解】
解：取 SA的中点F，连结EF，BF，则
∵E为棱 SC 的中点，
EF/ /AC ,
则BEF （或其补角）为异面直线AC 与BE所成的角，
AC 2 3, SA SB AB BC SC 2
BE EF BF
3
BEF 60
．
应选： C ． 【点睛】
本题考察异面直线所成的角，考察学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是重点．
8．如下图， a ，
A 是 的另一侧的点，
B ，
C ， D
a ，线段 AB ， AC ， AD 分别交
于点 E ，F ，G ，
若 BD 4，CF
4，AF 5，则 EG （
）
16
20
9
5
A ．
B ．
C ．
D ．
9
9
4
4
【答案】 B
【分析】 由线面平行获得线线平行，再由平行线截线段成比率，求出 EG 的长.
【详解】
“a ∥ ，
平面 ABD EG ， a
平面 ABD
a ∥ EG ，即 BD ∥EG ，
EG AF AF ，
BD
AC AF
FC
则 EG
AF BD 5 4 20
AF
FC
5 4
.应选 B.
9
【点睛】
本题考察线面平行的性质，平行线截线段成比率，属于简单题 .
9．如下图， 点 P 从点 A 出发，按逆时针方向沿边长为 a 的正三角形 ABC 运动一周， O 为 △ ABC 的中心，
设点 P 走过的行程为 x ，△ OAP 的面积为 f ( x) （当 A 、 O 、 P 三点共线时，记面积为 0），则函数 f (x) 的
图象大概为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 A
【分析】当 A B 时,f ( x) 1
AP
3
a，为一次递加函数 ,去掉 B ；当B M (BC中点)时2 6
f ( x) 1
OA
d
P OA
3
ad P OA为一次递减函数，去掉C,D ；因此选 A.
2 6
点睛： (1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和掌握函数有关性质自己的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单一性、最值、零点时，要注意用好其与条件的互相关系，联合
特点进行等价转变研究.如奇偶性可实现自变量正负转变，周期可实现自变量大小转变，单一性可实现去“ f”
，
马上函数值的大小转变自变量大小关系
10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三
角形的三棱锥称之为鳖臑。

若三棱锥P-ABC 为鳖臑， PA ⊥面 A BC,PA=AB=2, AC=4, 三棱锥 P-ABC 的四个顶
点都在球的球面上，则球0 的表面积为 ()
A． 8πB． 12π C ． 20πD． 24π
【答案】 C
【分析】将三棱锥P－ ABC 放在长方体中，三棱锥P－ ABC 的外接球就是长方体的外接球．
【详解】
将三棱锥 P－ ABC 放在长方体中，如图，三棱锥P－ ABC 的外接球就是长方体的外接球．由于PA＝ AB ＝2，AC＝ 4，△ ABC 为直角三角形，因此BC ＝
42-22=2 3设外接球的半径为R，依题意可得 (2R)2＝ 22＋ 22＋ (2 3 )2＝ 20 ，故 R2＝ 5，则球 O 的表面积为4πR2＝ 20π，故答案选 C.
【点睛】
波及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点 (一般为接、切点 )或线作截面，把空间问题转变
成平面问题，再利用平面几何知识找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观
图，确立球心的地点，弄清球的半径(直径 )与该几何体已知量的关系，列方程(组 )求解 .
11．在棱长为2的正方体ABCD A1 B1C1 D1中，P为底面正方形ABCD 内一个动点， Q 为棱 AA1上的一个
动点，若 |PQ|＝ 2，则 PQ 的中点 M 的轨迹所形成图形的面积是（）
A． 2 B． C ． 3 D． 4π
4 2
【答案】 B
【分析】依据正方体的几何特点和球的几何特点可得：M 的轨迹是以 A 为球心，半径为 1 的球面的八分之一，
从而获得答案．
【详解】
∵ P 为底面正方形 ABCD 内一个动点， Q 为棱 AA 1 上的一个动点，故
PQ 的中点 M 的轨迹所形成图形是一个球面的八分之一， 由正方体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2， |PQ|＝ 2，
故 M 的轨迹是以 A 为球心，半径为 1 的球面的八分之一，
其面积 S ＝
1
4
＝ ，
8
2
应选： B ． 【点睛】
本题考察的知识点是点的轨迹，剖析出 M 点的轨迹所形成图形的形状，是解答的重点，属于中档题．
12．已知函数
f x ax
2
bx c ，且存在相异实数 m ， n 知足 f m f n
0 .若
a
b c 0 ，则
3 2
m n 的最小值是（
）
A ．2 3
B ．
3
C ．
9 3
D ． 3
3
2
【答案】 B
【分析】 由题意
f x
ax 2
bx c ，且存在相异实数 m ， n 知足 f m f n
，知方程
ax 2
bx c
0 有 2 个不相等的实数根
m ， n ，从而利用根与系数的关系求解．
【详解】
由题意得：方程
ax 2 bx c
0 有 2 个不相等的实数根
m ， n ，
由
a
b c
a b ，由韦达定理得， m+n ＝
b
， mn ＝ c
，
0 得 c ＝
2
3
2
3
a
a
|m ﹣ n|＝
m n
4mn
＝
b
2
b
2
a b
＝
b
2
2b 4 ＝
4c ＝
4
2
a
a a
a 3 2
a
a
3
b 2
1⋯ 3
.
1 a
3
3
应选： B ． 【点睛】
本题考察了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．
二、填空题
13．已知幂函数 y f x 的图象过点
f x , x 0 3, 3 ，函数
g x
3,x
，则 g g 1 __________.
2x 1
【答案】 2
【分析】 由幂函数 y f x 的图象过点 1
﹣
1+1 +3＝4，从而 g （ g 3, 3 ，求出 f （x ）＝ x 2 ，从而 g （﹣ 1）＝ 2
（﹣ 1））＝ g （ 4）＝ f （4），由此能求出结果．
【详解】
y
f x 的图象过点
3, 3 ， ∴ 3
x
3
，解得
x
1 1
∵ 由幂函数
， ∴ f （ x ）＝
x 2
，
2
∵
函数 g x f x , x 0
∴ g 12 ﹣1+1
1
2
2x 1
3, x 0 ， （﹣ ）＝
+3＝ 4， g （ g （﹣ 1））＝ g （ 4 ）＝ f （ 4）＝
42 ＝ ．
故答案为： 2．
【点睛】
本题考察函数值的求法，考察幂函数性质等基础知识，考察运算求解能力，属于基础题．
14．正方体
【答案】
ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中， BB 1 与平面 ACD 1 所成角的正弦值为 __________.
3
3
【分析】 由正方体的性质，得 BB 1 与平面 ACD 1 所成角即为 DD 1 与平面 ACD 1 所成角，过点 D 作平面 ACD 1
的垂线交平面与点 O ，连结 D 1O ，则 ∠ DD 1O 即为 DD 1 与平面 ACD 1 所成角，利用等体积法求出
DO 长，在直
角三角形中求出 ∠ DD 1O 的正弦值即可．
【详解】
∴ BB 1 与平面 ACD 1 所成角即为 DD 1 与平面 ACD 1 所成角，
过点 D 作平面 ACD 1 的垂线交平面与点
O ，连结 D 1O ，则 ∠ DD 1O 即为 DD 1 与平面 ACD 1 所成角，
设正方体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， ∵ V D ﹣ACD 1＝ V D 1﹣ADC ，
∴ 1
× 3
( 2) 2
×DO ＝ 1 ×1
×1×1×1，则 DO ＝
3 ， 3
4
3 2
3
DO 3
3 ．
在 Rt △ DD 1O 中， sin ∠ DD 1 O ＝
＝ 3 ＝
DD 1
1
3
故答案为：
3 ．
3
【点睛】
本题主要考察正方体的性质、
直线与平面所成的角、 点到平面的距离的求法， 等体积转变思想， 属于中档题．
15．对于函数 f x x2 x4 的性质描绘，正确的选项是 __________. ①f x的定义域为1,00,1 ；②x 1 1
f x 的值域为1,1 ；③f x 的图象对于原点对称；④ f x 在定义域上是增函数 .
【答案】①②③
【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得 f（ x）的定义域，可判断①；化简 f（ x），议论 0＜ x≤1，﹣ 1≤x＜ 0，分别求得 f（ x）的范围，求并集可得f（ x）的值域，可判断②；由 f（﹣ 1 ）＝ f（ 1）＝ 0， f(x) 不是增函数，可判断④ ；由奇偶性的定义得f（ x）为奇函数，可判断③．
【详解】
x2 x4 0
① ，由
1 1 ，解得﹣ 1≤x≤1且 x≠0，
x 0
可得函数 f x
x2 x4
x 1 的定义域为 [﹣ 1， 0）∪（ 0， 1]，故①正确；
1
②，由①可得 f（ x）＝x2 x4 ，即 f （ x）＝﹣| x | 1
x2 ，
x x
当 0＜ x≤1可得 f（ x）＝﹣ 1
x2∈（﹣ 1， 0]；当﹣ 1≤x＜ 0 可得 f（ x）＝1 x2 ∈[0，1）．可得 f（ x）的值域为（﹣1， 1），故②正确；
③，由 f（ x）＝﹣| x |
1 x
2 的定义域为 [﹣ 1， 0）∪（ 0， 1]，对于原点对称，
x
f（﹣ x）＝| x |
1 x
2 ＝﹣ f （x），则 f（ x）为奇函数，即有f（ x）的图象对于原点对称，故③ 正确．
x
④，由 f（﹣ 1）＝ f （ 1）＝ 0，则 f（x）在定义域上不是增函数，故④ 错误；
故答案为：①②③
【点睛】
本题考察函数的性质和应用，主假如定义域和值域的求法、单一性的判断和图象的特点，考察定义法和分类议论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．
16．函数f x 2 x2 4 x 1, g x 2x a ，若存在x1, x2 1
,1 ，使得f x1 g x2，则a的取值2
范围是 ___________.
【答案】3, 3
2
【分析】先依据 x1的范围计算出 f x1的值域，而后剖析f x2的值域，考虑当两个值域的交集不为空集时对应 a 的取值范围即可.
【详解】
由于
f
x 2x
2
4x 1，因此当 x 1
1
,1 时 f x 1
1, 1 ，
2
2
由于 g
x 2x a ，因此当 x 2
1
,1
时
g x 2
a 1, a 2 ，
2
由题意可知
1, 1
a 1,a
2
，
2
当 1,
1 a 1,a
2 时， a
1
1 或 a 2
1 ，因此 a
3 3 ，
2
2 或 a
2
综上可知： a
3, 3 .
2
故答案为：
3, 3 .
2
【点睛】
本题考察依据函数值域的关系求解参数范围， 难度一般 . 当两个函数的值域的交集不为空集时，
若从正面剖析
参数的范围较复杂时，可考虑交集为空集时对应的参数范围，再求其补集即可求得结果
.
三、解答题
17．已知会合 A
y y x 2 2 x 2, x R ，B x y log 2 x 2
2x 3 ，C x 1 a x 3 a .
（ 1）求 AI C R B ；
（2）若 A C A ，求 a
的取值范围 .
【答案】 （ 1 ） A
C R B
x 1 x 3
；（ 2） a
【分析】 （ 1 ）化简会合 B x x
3或 x 1 ， A
y y 1 ，从而由会合的补集和交集运算即可；
（2）由 A C A 得 C A ，由会合的包括关系计算即可
.
【详解】
（ 1）在会合 B 中，由 x 2
2x 3 0 ，得 x 3 或 x
1，因此 B
x x 3或 x
1 ，
在会合
A 中， y x 2
2x 2 x 1 2
1，因此 A y y 1 .
1
因此 C R B x 1 x 3 ，从而解得 A C R B
x 1 x
3 .
（2）由 A C A 得 C A ，且 C
x 1 a x
3
a ，由（ 1 ）得 A y y
1 ，
当 C
时，有 1 a 3 a ，得 a 1 ；
当 C
a 1
时，有0 a 1 .
1 a 1
综上： a0
【点睛】
本题考察了会合的补集和交集的运算，也考察了会合的包括关系求参数的问题，分类议论的思想，属于基础题 .
18．已知二次函数y x2mx 1在
1 , 4 上不拥有单一性.
4
（ 1）求m的取值范围；
（ 2）求函数f m log2 m 2
5 的最值及相应的m 的值. log 2 m4
【答案】（1）1
m 8 ；（2）当m 4 时， y min 1 2
【分析】（1）由题意得二次函数y x2 mx 1的对称轴在1
, 4 内，计算出 m 即可；4
（ 2）令t log 2 m ，由（1）得 1 t 3 ，转变成 y t 2 4t 5 在 1 t 3 的最值及相应的m 的值即可. 【详解】
（ 1）二次函数y x2 mx 1 的对称轴为x
m
，且二次函数y x2 mx 1 在
1
, 4 上不拥有单一
2 4
性，
1 m
4 ，解得1
m 8 .
4 2 2
（ 2）由（ 1）知，1
m 8 ，令 t log 2 m 在
1
,8 上递加，得 1 t 3 .
2 2
函数 f m
2
log 2 m4 5 转变成 y t2 4t 5 t
2
1 log
2 m 2 ，
y t
2
1,2 上递减，在2,3 上递加，当 t 2 ，即 m 4 时，y min 1.
21 在
【点睛】
本题考察了二次函数的图象和性质及最值，娴熟掌握二次函数的图象和性质，是解答的重点，属于基础题. 19．在三棱柱ABC A1B1C1中，G为 B1 B 中点， D ，E，F分别是线段AB ， BC ，C1G上的点，且满
足 BD 1
DA，BE
1
EC， GF
1
FC1.
2 2 2
（ 1）求证： DE / / 平面 A 1 ACC 1 ；
（ 2）求证： DF / / 平面 A 1 ACC 1 .
【答案】 （1）看法析；（ 2）看法析 【分析】 （1）由 BD
1 1
DA ，BE
EC 得 DE / / AC ，再由线面平行的判断定理即可证得；
2
2
（ 2）由 BE
1
EC ， GF
1
FC 1 ，得 EF / / CC 1 ，利用线面平行的判断定理得 EF / / 平面 A 1ACC 1 ，结
2
2
1
DEF / / 平面 A 1 ACC 1 ，从而得 DF / / 平面 A 1ACC 1 .
合（ ）得平面 【详解】
（ 1）在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， G 为 B 1B 中点， D ， E 分别是线段 AB ， BC 上的点，
且知足 BD
1DA ，BE
1
EC ，得 DE// AC ，AC
面 ACC 1A 1 ， DE
面 ACC 1A 1 ，因此 DE / /
2 2
平面 A 1ACC 1 .
（ 2）在三棱柱 ABC
A 1
B 1
C 1 中， G 为 B 1B 中点， E ， F 分别是线段 BC ， C 1G 上的点， 且 BE
1
EC ，
1
2
GF FC 1，
2
在平面 BCC 1B 1 ，连结 EF ，得 EF / / CC 1 ， CC 1 面 ACC 1 A 1 ， EF
面 ACC 1 A 1 ，因此 EF / / 平面
A 1ACC 1 ；
由（ 1 ）得 DE / / 平面 A 1ACC 1 ， DE EF E ， DE, EF
面 DEF ，因此平面 DEF / / 平面 A 1ACC 1 .
DF
面 DEF ，因此 DF / / 平面 A 1 ACC 1 .
【点睛】
本题考察了线线，线面，面面的平行的判断定理的应用，三棱柱的性质，属于基础题
.
20．如图，在四棱锥
P ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形，
BCD 135 ，
PA
底面 ABCD ，
AB AC 2， PA
4 ，E ，F 分别为 BC ， AD 的中点，
M 为线段 PD 的中点 .
（ 1）求证： EF 面PAC ；
（ 2）求直线
ME 与平面 PAD 所成的角 .
【答案】 （ 1
3
）看法析；（ 2） arctan
3
【分析】 （ 1 ）由题意得 EF ⊥ AP ， AB ⊥ AC ， E ， F 分别为 BC ， AD 的中点，从而四边形 ABEF 为平行四
边形， AB ∥ EF ，从而 AC ⊥ EF ，由此能证明 EF ⊥ 面 PAC ．
（ 2）连结 AE ， AM ，推导出 AE ⊥ BC ，AE ⊥ AD ， AE ⊥ PA ，从而 AE ⊥ 平面 PAD ，从而 ∠ EMA 是 EM 与平面
PAD 所成的角，由此能求出直线 ME 与平面 PAD 所成角．
【详解】
（ 1）证明： ∵ PA ⊥ 面 ABCD ， EF? 面 ABCD ， ∴ EF ⊥ AP ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， BCD 135 ，
在平行四边形 ABCD 中，得 ∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 45°， ∴ AB ⊥ AC ，且 E ，
F 分别为 BC ， AD 的中
点， ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形， ∴ AB ∥ EF ， ∴ AC ⊥ EF ， ∵ AP ∩AC ＝ C ， AP ? 面 PAC ， AC? 面 PAC ， ∴ EF ⊥ 面 PAC.
（ 2）连结 AE ，AM ，△ ABC 中， ∵ AB ＝ AC ，E 为 BC 的中点， ∴ AE ⊥ BC ，平行四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∴ AE ⊥ AD ，
∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， AE? 平面 ABCD ， ∴ AE ⊥ PA ， ∵ PA ∩AD ＝ A ， ∴ AE ⊥ 平面 PAD ，
∴ AM 是 EM 在平面 PAD 中的射影， ∴∠ EMA 是 EM 与平面 PAD 所成的角，
等腰直角三角形 ABC ， AB ＝AC ＝2， ∴ BC ＝ 2 AB ＝ 2
2 ，∴AD ＝2 2，
AE
2
，
∵PA ⊥平面 ABCD ， ∴PA ⊥AD ，∵PA ＝4 ，∴PD ＝
4
2
2
6
，
2 22
又 M 为 PD 的中点，故 AM
6 ，在 Rt △ MAE 中， tan ∠ EMA ＝
AE
＝
2
3 ，
AM
6
3
∴ 直线 ME 与平面 PAD 所成角的正切值为
3
，因此直线
ME
与平面
PAD
所成的角
arctan 3
3
3
【点睛】
本题考察面面垂直的证明，考察线面角的正切值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础
知识，考察运算求解能力，属于中档题．
21．在扶贫活动中，为了赶快脱贫（无债务）致富，公司甲将经营状况优秀的某种花费品专卖店以万元的优惠价转让给了另有 5 万元无息贷款没有偿还的小型公司乙，并商定从该店经营的收益中，第一保证公司
乙的全体员工每个月最低生活费的开销3600 元后，逐渐偿还转让费（不计息）．在甲供给的资猜中有：①这
种花费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价钱P （元）的关系如下图；③每个月需各
种开销 2000 元．
（1）当商品的价钱为每件多少元时，月收益扣除员工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
（2）公司乙只依赖该店，最早可望在几年后脱贫？
【答案】（1）当 P＝ 19.5 元，最大余额为450 元；（ 2） 20 年后
【分析】（1）依据条件关系成立函数关系，依据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值；
（2）依据函数的表达式，解不等式即可获得结
论．【详解】
设该店月收益余额为L，则由题设得L＝ Q（ P﹣ 14）×100﹣ 3600﹣ 2000 ，①
2 p 50,14剟
P 20
由销量图，易得Q＝3 40, 20 ,
p P 26
2
( 2P 50)(P 14) 100 5600,14剟P20
代入①式得 L＝
3
P 40 (P 14) 100 560,20 P, 26
（ 1）当 14≤P ≤20时，L( 2P 50)( P 14) 100 5600200 p27800 p75600 ，当P＝元，L max＝450 元，
当 20＜ P≤26时，L 3
P 40 (P 14) 100 560 3 P2 61p 56560 ，当P＝
61 2 2 3
＝ 1250 元.
3
元时， L max
综上：月收益余额最大，为450 元，
（ 2）设可在 n 年内脱贫，依题意有 12n×450 ﹣ 50000﹣ 58000≥0，解得 n≥20，即最早可望在 20 年后脱贫．【点睛】
本题主要考察实质函数的应用问题，依据条件成立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可获得结论，
属于中档题．
22．已知函数 f x 4x a
是定义在
R
上的奇函数 .
2x b
（ 1）求函数 f x 的分析式；
（2 ）求不等式 f x2 2x f x 4 0 的解集；
（ 3）若g x 2x f x m 5 在x 0,2 上有两个零点，务实数m 的取值范围.
【答案】（1）f x 4x 1
）x x 1,或 x 4 ；（3）4 m 5 2x ；（ 2
【分析】（1）由f x 4x a
是定义在R上的奇函数，得 f 0 0 ，再由奇函数的性质，得
2x b
f 1 f 1 0 ，列出方程组求出a、b 的值即可；
（2 ）先利用函数单一性的定义判断出f（ x）的单一性，再解不等式即可；
（3 ）由题意转变成m f x
5
2 x
4
，且 x 0,2 ，令 t 2 x 1,4 ，结构 h t t
4
1,2 x
2
x 在
2 t
上递减，在2,4 上递加，即可求得m 的取值范围. 【详解】
（1 ）已知函数f x 4x
a
是定义在 R 上的奇函数，得 f 0 40 a 1 a 0 ，解得a 1 ，因此2x b 20 b 1 b
f x 4x 1 .
2x b
1 1 3
2 1 b
3 2 b
x 1 0，解得 b
又
f 1 f 1 4 1 4 1
2 1 4
b
0 ，因此 f x 2
2
x
.
21 b 2 1 b b 2 1
（ 2）设 x1， x2是 R 上的随意两个值，且x1＜x2，有
f x1 f x2 2x1 1 2x2 1
2x1 2x2 2x2 x1 1
2x2 x1
2x1 2x2
由于 x1＜ x2，又 g（ x）＝ 2x为 R 上的单一增函数，因此0 2x1 2x2 ，
因此 f （ x 1）﹣ f （ x 2 ）＜ 0，即 f （ x 1）＜ f （ x 2 ），因此函数 f （ x ）为 R 上的单一增函数． 由不等式 f
x 2 2x f x 4
0 ，得 f x 2 2 x
f x 4 f 4 x ，
即 x
2
2x 4
x ，解得 x 2
3x 4 x 4 x 1
0 ，得 x
1 或 x 4
.
因此不等式的解集为 x x 1,或 x 4 .
（ 3）由于 g x 2x
f x
m
5 在 x 0,2 上有两个零点，因此
g x
2x
f x m
5 0 ，
得 m
f x
5 2x 4 ， x
0,2 , 2x
1,4 ，令 t
2x
1,4 ，
4
2x 2x
则 h t
在 1,2
上递减，在
2,4 上递加，因此 h 2 4 ， h 1 5 ， h 4 5 .则 4 m 5 .
t
t
【点睛】
本题考察了奇函数性质的应用，利用单一性的定义证明函数的单一性，以及结构法解不等式，属于中档题．。