人教版B版高中数学选修4-4(B版)圆的渐开线的参数方程

论,你能说明这个结论为什么成立吗 ?
渐开线的定义
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心 角φ的一段弧AB，展开后成为切线，所 以切线BM的长就是弧AB的长，这是动 点（笔尖）满足的几何条件。
x＝4cos θ＋θsin θ， 因此有
y＝4sin θ－θcos θ. 这就是所求圆的渐开线的参数方程。
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤：
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数。 (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式。 (4)用向量运算得到OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲 线的参数方程。
探究： 把 一条 没 有 弹 性的细 绳绕在圆盘 上, 在绳的外端系上一支 铅笔 , 将绳子拉紧 ,保 持绳子与圆相切而逐 渐展开 , 那么铅笔 会 画出一条曲线, 这条曲 线的形 状 怎 样 ? 能否 求出它的轨迹方程。
我们先分析动点笔尖
所满足的几何条件。如图
, 设开始时绳子外
端笔尖位于点A,当外
是参数
这就是圆渐开线的参数方程。
在机械工业中, 广泛地使用齿 轮传递动力。由于渐开线齿形 的齿轮磨损少, 传动平稳,制造 安装方便,因此大多数齿轮采 用这种齿轮, 设计加工这种齿 轮,需要借助圆的渐开线方程。
思考 在探究圆渐开线的参数方程中用到" 向量
e2 sin , cos 与向量BM 有相同方向" 这一结
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基数方程中,字母 r 表示基圆的半径,字母 φ 是指 绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角;另外,渐开线的 参数方程不宜化为普通方程.
[例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程。 [思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向 量知识和三角的有关知识建立等式关系。
因而向量e2 sin, cos
是与向量BM同方向的单位
y
M
B
O Ax
向量.所以BM r e2,即
x r cos, y r sin
r sin, cos ,
解得
x rcos sin, y rsin cos .
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
OA＝(4cos θ，4sin θ)． 由几何知识知∠MAB＝θ， AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM ＝OA＋ AM . ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又OM ＝(x，y)，
端展开到点M时,因为绳
子对圆心角 (单位是弧
度)的一段弧AB, 展开后 成为切线BM , 所以切线BM的长就是弧 AB的长,
这是动点笔尖满足的几何条件。我们把笔尖画
出的曲线叫做圆的 渐开线,相应的定圆叫做渐 开线的基圆 .
y
根据动点满足的几何条件,
M
我们以基圆圆心O 为原点, 直线OA为x轴, 建立平面直
1．圆的渐开线xy＝＝
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
上与 t＝π4对应的点直角
坐标为
()
A．(1＋π4，1－π4)
B．(1－π4，1＋π4)
C．(－1－π4，1－π4)
D．(1＋π4，－1－π4)
答案：A
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程。 解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴 正方向的夹角。 ∵直径为 10，∴半径 r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得： x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ. 这就是所求的圆的渐开线的参数方程。
[ 解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐开 线定义，弧 AM 的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴正向 所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝弧 AM0＝4θ.
B
O Ax
角坐标系右图。
设基圆的半径为r, 绳子外
端M的坐标为x, y.显然,
点M由角惟一确定.
取为参数,则点B的坐标为r cos, r sin,
从而BM x r cos, y r sin,| BM | r.
由于向量e1 cos,sin ,
是与OB同方向的单位向量,