07电通量、高斯定理

习题 七 电通量、高斯定理
一、选择题
1、 一电场强度为→
E 的均匀电场，→
E 的方向与x
则通过图中一半径为R 的半球面的电通量为（D ） A 、πR 2E
B 、
2
1
πR 2E C 、2πR 2E D 、0
提示：电通量的几何意义：穿过该曲面的电场线的条数。

穿过该半球面的任一电场线必穿过两次，一次算正的，一次算负的，因半球面是有方向的，穿过该半球面的电场线的条数是代数量。

2、点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪种情况高斯面的电通量会发生变化（C ） A 、将另一点电荷放在高斯面外 B 、将球心处的点电荷移到高斯面内另一处 C 、将另一点电荷放进高斯面内 D 、改变高斯面半径大小 提示：由高斯定理知，高斯面的电通量只和面内的电荷有关。

3、真空中两平行带电平板相距为d ，面积为S ，且有d 2 << S ,带电量分别为+q 和-q ，则两极板之间的作用力大小为（ D ） A 、2
024d
q F πε=
B 、2
0q F S ε=
C 、202q F S ε=
D 、2
02q F S
ε=
提示：A 板在B 板处的电场：000/222q S q
E S
σεεε=
== B 板上一电荷微元的受力：00()()
()22q q dF dq E dq dq S
S
εε===
B 板总受力：2
000()()2222S S S q
q
q
q F dF dq dq q S S S S εεεε====⋅=⎰⎰⎰ 4、如果一点电荷q 位于立方体一个顶点上，则通过不与该顶点相连的任一立方体侧面的电通量为（ D ） A 、0
B 、
εq
C 、
6εq D 、
24εq 提示：以该立方体为一个卦限，作一边长为该立方体边长2倍的立方体。

将大立方体的6个面分别分成4个小正方形，这样的小正方形共24个。

由对称性，通过每个小正方形的电通量相等：
00
1112424
2424S
q q
E dS εεΦ=
Φ=⋅=
=⎰
总
5、下列说法正确的是（ A ）
A 、若高斯面上→
E 处处为0，则该面内必无净电荷（
0S
q E dS ε⋅==
⎰
内
，0q ⇒=内）
B 、若高斯面内无电荷，则高斯面上的→
E 必定处处为0（反例：处在均匀电场中的球面） C 、若高斯面上→
E 处处不为0，则高斯面内必有净电荷（反例：处在均匀电场中的球面） D 、若高斯面内有电荷，则高斯面上→
E 处处不为0（反例：两正的点电荷相距2R ，高斯面为
以一电荷为球心，以R 为半径的球面，则在两电荷连线和球面的交点处，场强为0）
二、填空题
1、一均匀带有电量为Q ，长为l 的直线，以直线中心为球心，R （R >l ）为半径作球面，则通过该
球面的电通量为
Q
ε，在带电直线的延长线上与球面的交点处的场强大小为
0422Q
l l R R πε⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭。

提示：第一空：该带电线完全被球面所包围，由高斯定理可知结果。

第二空：建立Or 坐标系，坐标轴位于带电线上，坐标原点位于带电线的中心，方向沿球面的半径向外。

在带电线上取微元dQ 。

22
00(/)4()4()dQ Q l dr
dE R r R r πεπε=
=--
/2
/2
2
/2
/2
00(/)4()422l l l l Q l dr
Q
E dE l l R r R R πεπε++--===
-⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭⎰
⎰
2、由一半径为R 、均匀带有电量Q 的球面，产生的电场空间，在距离球心r 处的电场强度为：当
r<R 时，E= 0 ，当r>R 时，E=
2
04Q r
πε。

提示：参考课件有关例题。

3、由一半径为R 的无限长均匀带电圆筒面产生的电场空间，与圆筒中心轴线相距为r 处的电场强
度大小为：当r<R 时，E= 0 当r>R 时，E=
r
02πελ
（已知圆筒面上带电线密度为λ）。

提示：参考课件有关例题。

4、由一半径为R ，电荷体密度为ρ的无限长均匀带电圆柱体产生的电场空间，当r<R 时，E=
2r
ρε，当r>R 时，E=r
R 02
2ερ。

提示：由高斯定理：
(2)S
q E dS E rh πε⋅==
⎰
内
200
22
000(),(),()222(),(),()22r
r h r R r R hr q E hr R
R h r R r R r hr
ρρπεπεπερρπεπε⎧⎧<<⎪⎪⎪⎪⇒===⎨⎨⎪⎪
>>⎪⎪⎩⎩内 省略了一些步骤，可参照课件学习！
5、一无限大均匀带电面密度为σ的平面上有一半径为R 的圆面型空缺，则在空缺的中垂线上与
圆面相距为d 处的电场强度大小为2
2
02d
R d
+εσ。

提示：均匀带电圆环在其轴线上的电场：223/2
04()
qx
E x R πε=
+ 把带电面划分成无数带电圆环，每一带电圆环的电场：
223/2223/2223/2
000()()(2)4()4()4()dq d dS d rdr d
dE d R d R d R σσππεπεπε⋅=
==+++
带电面的电场：223/20(2)4()R
rdr d E dE d R σππε∞
⋅==
=
+⎰⎰
或用补偿法，直接用无限大均匀带电面的场减均匀带电圆盘的场。

三、计算题
1、一对无限长的同轴直圆筒，半径分别是R 1和R 2（R 1<R 2）,筒面上都均匀带电，沿轴线单位长
度的电量分别为λ1和λ2，试求其空间的电场强度分布。

解：取一半径为r ，长度为L 的同轴圆筒面为高斯面，应用高斯定理，
(2)S
q
E d S E r L π
ε⋅==⎰
内
1011112120001212
22000,()20,(),(),()222(),(),()22r R rL r R q L E R r R R r R rL rL r L r R r R rL r
πελλπεπεπελλλλπεπε⎧⎧
<⎪⎪
<⎪⎪⎪⎪⇒==<<=<<⎨⎨⎪⎪
⎪⎪++>>⎪⎪
⎩⎩内
2、内外半径分别为R 1、R 2的均匀带电厚球壳，电荷体密度为ρ，求空间各处的电场强度。

解：取一半径为r 的同心球面为高斯面，应用高斯定理，
20
4S
q E dS E r πε⋅=⋅=
⎰
内
()()12
013333111212222
00033
332
12122022
00
,()40,()4433,(),()44344,()333,()4r R r r R r R r R q E R r R R r R r r r R R R R r R r r R r περππρπεπεερρππεπε⎧<⎪⎧⎪⎪
<⎪⎪⎛⎫
-⎪⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭==<<=<<⎨⎨⎪⎪
⎪⎪⎛⎫--⎪⎪ ⎪>⎝⎭⎪⎪>⎩⎪⎩
内
3、厚度为d 的无限大均匀带电平板，若电荷体密度为ρ，求空间各处的电场强度。

解：方法一： 参考课件有关例题。

由无限大均匀带电平面周围空间的电场
2E σ
ε=
可计算得出： ()()
2,02,02x d
x d E d x x d ρερε⎧-<<⎪
⎪=⎨
⎪<>⎪⎩或，方向均远离对称面。

提示：1）dx σρ=；
2）在板外，所有无限大带电面的电场同向；在板内，考察点两侧的无限大带电面的电场反向；
方法二：利用高斯定理。

为方便见，此次坐标原点定在板的对称面上。

x
00,2,22x d x E d d x ρερε⎧⎛⎫
<⎪ ⎪
⎝
⎭⎪=⎨⎛⎫
⎪> ⎪⎪⎝
⎭⎩，方向均远离对称面。

（ 提示：参考课件有关例题。

）。