2018版高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象学案新人教A版必修420170724

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.(重点)
2.正、余弦函数图象的简单应用.(难点)
3.正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 正弦曲线和余弦曲线
阅读教材P30～P32“思考”以上内容，完成下列问题.
1.可以利用单位圆中的正弦线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象.
2.y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.
3.正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( )
(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同.( )
(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称.( )
(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于原点成中心对称.( )
【解析】由正弦曲线的定义可知只有(3)错误.
【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√
教材整理2 正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图
阅读教材P32“思考”以下至例1以上内容，完成下列问题.
用五点法作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是_______. ①0，π2，π，3π2，2π；②0，π4，π2，3π
4，π；
③0，π，2π，3π，4π；④0，π6，π3，π2，2π3
.
【解析】 与作函数y ＝sin x 的图象所取的五点的横坐标一样，应是0，π2，π，3π
2，2π.
【答案】 ①
[小组合作型]
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
(1)下列叙述正确的是( )
①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围. A.0 B.1个 C.2个
D.3个
(2)对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；
③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同. 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个
D.3个
【精彩点拨】 分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可.
【自主解答】 (1)分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确.
(2)如图所示为y ＝cos x 的图象.
可知三项描述均正确. 【答案】 (1)D (2)D
1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线.
2.正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
[再练一题]
1.关于三角函数的图象，有下列说法： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos |x |的图象相同；
③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称. 其中正确的序号是________.
【解析】 对②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos |x |＝cos x ，故其图象相同； 对④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称；作图(略)可知①③均不正确. 【答案】 ②④
用“五点法”作三角函数的图象
用“五点法”作出下列函数的简图. (1)y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]；
(2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]. 【导学号：00680015】
【精彩点拨】 在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可. 【自主解答】 (1)列表：
在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，(π，1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象.
(2)列表：
描点连线，如图
1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点.
2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.
[再练一题]
2.用“五点法”作出下列函数的简图.
y＝－sin x(0≤x≤2π).
【解】列表如下：
正弦(余弦)函数图象的应用
写出不等式sin x ≥1
2
的解集.
【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出y ＝sin x 和y ＝1
2的
图
象，通过图象写出不等式的解集.
【自主解答】 在同一坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象以及直线y ＝1
2.
由函数的图象知，sin π6＝sin 56π＝1
2
.
∴当0≤x ≤2π时，sin x ≥12的解为π6≤x ≤5
6π，
∴不等式sin x ≥1
2
的解集为
⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .
1.用三角函数的图象解sin x >a (或cos x >a )的方法： (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象； (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值；
(3)选取一个合适周期写出sin x >a (或cos x >a )的解集，要尽量使解集为一个连续区间. 2.用三角函数线解sin x >a (或cos x >a )的方法：
(1)找出使sin x ＝a (或cos x ＝a )的两个x 值的终边所在位置. (2)根据变化趋势，确定不等式的解集.
[再练一题]
3.求函数y ＝2sin x ＋1的定义域.
【解】 要使y ＝2sin x ＋1有意义，则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－1
2.
结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：
知函数y ＝2sin x ＋1的定义域为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2k π－π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z
. [探究共研型]
与正弦、余弦函数图象有关的零点问题 探究1 方程sin x ＝x 的实根个数有多少个？
【提示】 在同一坐标系内分别作出y ＝sin x ，y ＝x 图象可知在x ∈[0,1]内，sin x <x 没有交点，当x >1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.
探究2 函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内有多少个零点？
【提示】 令f (x )＝0，所以x ＝cos x ，分别作出y ＝x ，y ＝cos x 的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f (x )在[0，＋∞)内只有一个零点.
判断方程x
4
－cos x ＝0根的个数.
【精彩点拨】 当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.
【自主解答】 设f (x )＝x
4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，
如图：
由图可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点，故方程x
4
－cos x ＝0有三个根.
1.求f (x )－A sin x ＝0(A ≠0)或f (x )－A cos x ＝0(A ≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y ＝－1与y ＝1之间，只需考虑－A ≤f (x )≤A 的x 的范围，在该范围内f (x )的图象与A sin x 或A cos x 的图象的交点的个数即方程根的个数.
2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解.
[再练一题]
4.方程x 2
－cos x ＝0的实数解的个数是__________.
【解析】 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2
的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解. 【答案】 2
1.以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A.在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B.关于x 轴对称
C.介于直线y ＝1和y ＝－1之间
D.与y 轴仅有一个交点
【解析】 观察y ＝sin x 的图象可知A ，C ，D 正确，且关于原点中心对称，故选B. 【答案】 B
2.用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( ) 【导学号：00680016】
A.0，π2，π，3π
2，2π
B.0，π4，π2，3π
4，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，π6，π3，π2，2π3
【解析】 令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，3π
4，π，故选B.
【答案】 B 3.点M ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )
A.0
B.1
C.－1
D.2
【解析】 由题意－m ＝sin π
2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.
【答案】 C
4.函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A.关于直线x ＝1对称 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称
D.关于y 轴对称
【解析】 作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(略)，易知它们关于x 轴对称，故选C.
【答案】 C
5.用“五点法”画出y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫7π2－x ，x ∈[0,2π]的简图.
【解】 由诱导公式得y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫7π2－x ＝－sin x ，
(1)列表：
(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，1，(2π，0). (3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来.。