【学考优化指导】2022-2021学年高一数学人教A版必修2练习：4.2.3 直线与圆的方程的应用

4.2.3 直线与圆的方程的应用
A 组
1.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M ,N 两点,若|MN|≥2√3,则k 的取值范围是( ) A.[-3
4,0]
B.(-∞,-34]∪[0,+∞)
C.[-√33,√33]
D.[-2
3,0]
解析:圆心的坐标为(3,2),且圆与x 轴相切.
当|MN|=2√3时,弦心距最大, √1+k 2
≤1,
解得k ∈[-3
4,0]. 答案:A
2.直线√3x+y-2√3=0截圆x 2+y 2=4得到的劣弧所对的圆心角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:∵圆心到直线的距离为d=
2√3
2
=√3,圆的半径为2,
∴劣弧所对的圆心角为60°.
答案:C
3.已知圆O :x 2+y 2=4与圆C :x 2+y 2-6x+6y+14=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0 C.x-y+3=0 D.x-y-3=0
解析:圆x 2+y 2=4的圆心是O (0,0),圆x 2+y 2-6x+6y+14=0的圆心是C (3,-3),所以直线l 是OC 的垂直平分线.又直线OC 的斜率k OC =-1,所以直线l 的斜率k=1,OC 的中点坐标是(3
2,-3
2),所以直线l 的方程是y+3
2=x-3
2,即x-y-3=0.
答案:D
4.已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( )
A.10√6
B.20√6
C.30√6
D.40√6
解析:圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.依据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,故最短弦的长为2√52-12=4√6,所以四边形ABCD 的面积为
1
2
|AC||BD|=1
2×10×4√6=20√6. 答案:B
5.圆x 2+y 2=4上与直线l :4x-3y+12=0距离最小的点的坐标是( ) A.(85,6
5) B.(85,-6
5) C.(-85,65)
D.(-8
5,-6
5)
解析:圆的圆心(0,0),过圆心与直线4x-3
y+12=0垂直的直线方程为3x+4y=0.
3x+4y=0与x 2+y 2=4联立可得x 2=64
25,所以它与x 2+y 2=4的交点坐标是(-85,6
5),(8
5,-6
5).又圆上一点与直线4x-3y+12=0的距离最小,所以所求的点的坐标为(-85,6
5). 答案:C
6xOy 中,已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是 . 解析:由题意知,圆心(0,0)到直线的距离小于1,即
√122+(-5)
<1,|c|<13,-13<c<13.
答案:(-13,13)
7.若☉O :x 2+y 2=5与☉O 1:(x-m )2+y 2=20(m ∈R )相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线相互垂直,则线段AB 的长度是 .
解析:两圆圆心分别为O (0,0),O 1(m ,0),
且√5<|m|<3√5.
又易知OA ⊥O 1A ,∴m 2=(√5)2+(2√5)2=25,
∴m=±5,∴|AB|=2×
√5×2√5
5
=4. 答案:4
8.(2022湖北襄阳枣阳二中高三期中)已知点P (x ,y )在圆x 2+y 2-6x-6y+14=0上. (1)求y
x 的最大值和最小值;
(2)求x 2+y 2+2x+3的最大值与最小值.
解:(1)圆x 2+y 2-6x-6y+14=0即为(x-3)2+(y-3)2=4,
可得圆心为C (3,3),半径为r=2.
设k=y
x ,即kx-y=0, 则圆心到直线的距离d ≤r , 即√
1+k 2
≤2,
平方得5k 2-18k+5≤0, 解得
9-2√145
≤k ≤
9+2√14
5. 故y
x 的最大值是
9+2√14
5
,最小值为
9-2√145
.
(2)x 2+y 2+2x+3=(x+1)2+y 2+2表示点(x ,y )与A (-1,0)的距离的平方加上2. 连接AC ,交圆C 于B ,延长AC ,交圆于D , 可得AB 为最短,且为|AC|-r=√16+9-2=3; AD 为最长,且为|AC|+r=5+2=7,
则x 2+y 2+2x+3的最大值为72+2=51, x 2+y 2+2x+3的最小值为32+2=11.
9
,A ,B 两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A 地是B 地的两倍,若A ,B 两地相距10千米,顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点? 解:以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系,如图所示.
设A (-5,0),则B (5,0).
在坐标平面内任取一点P (x ,y ),设从A 地运货到P 地的运费为2a 元/千米,则从B 地运货到P 地的运费为a 元/千米.
若P 地居民选择在A 地购买此商品,
则2a √(x +5)2+y 2<a √(x -5)2+y 2, 整理得(x +
253
)2+y 2
<(203)2
.
即点P 在圆C :(x +
253
)2+y 2
=(203)2
的内部.
也就是说,圆C 内的居民应在A 地购物. 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物. 圆C 上的居民可任凭选择A ,B 两地之一购物.
B 组
1.已知点A (-1,1)和圆C :(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( ) A .6√2-2 B .8 C .4√6
D .10
解析:易知点A 关于x 轴对称点A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为√(5+1)2+(7+1)2=10.故所求最短路程为10-2=8. 答案:B
2.若圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l :ax+by=0的距离为2√2,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[π
12,π
4] B.[π12,5π
12] C.[π6,π3]
D.[0,π
2]
解析:圆x 2+y 2-4x-4y-10=0可整理为(x-2)2+(y-2)2=(3√2)2,
∴圆心坐标为(2,2),半径为3√2,要求圆上至少有三个不同的点到直线l :ax+by=0的距离为2√2,则圆心到直线l 的距离应小于等于√2,
√a 2+b 2≤√2,
∴(a b )2
+4(a
b )+1≤0,
∴-2-√3≤a
b ≤-2+√3.∵k=-a
b , ∴2-√3≤k ≤2+√3,
直线l 的倾斜角的取值范围是[π
12,5π12
].
答案:B
3.已知x+y+1=0,则√(x +2)2+(y +3)2的最小值是 .
解析:√(x +2)2+(y +3)2表示点(x ,y )与点(-2,-3)之间的距离,又点(x ,y )在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d=
√2
=2√2.
答案:2√2
4.已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于A ,B 两点,则△AOB (O 为坐标原点)的面积为 .
解析:圆心坐标(2,-3),半径r=3,圆心到直线x-2y-3=0的距离d=√5,弦长|AB|=2√r 2-d 2=4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h=√5,所以△AOB 的面积为S=1
2×4×
√
5
=6√5
5
. 答案:
6√5
5
5.已知圆C :x 2+y 2+2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l :x-y+2=0的对称点都在圆C 上,则a= .
解析:由题意可知,直线x-y+2=0过圆心(-1,-a
2
),所以-1-(-a
2
)+2=0,a=-2.
答案:-2
6.某公园有A ,B 两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 √2 km 和2√2 km,且A ,B 景点间相距2 km(A 在B 的右侧),今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处?
解:所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何学问可知,该点应是过A ,B 两点的圆与小路所在的直线相切时
的切点.以小路所在直线为x 轴,点B 在y 轴上建立空间直角坐标系(如图),
则B (0,2√2),A (√2,√2).
设过A ,B 两点,且与x 轴相切的圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=b 2(b>0),由于圆心在AB 中垂线上,且
中垂线方程是x-y+√2=0,所以{a -b =-√2,a 2+(2√2-b )2=b 2,所以{a =0,b =√2,或{a =4√2,
b =5
√2.
由实际意义知{
a =4√2,
b =5√2
应舍去,
所以圆的方程为x 2+(y-√2)2=2,与x 轴的切点即原点,所以观景点应设在B 景点在小路的射影处.
7Rt △ABO 中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P 为它的内切圆C 上任一点,求点P 到顶点A ,B ,O 的距离的平方和的最大值和最小值. 解:
如图所示,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ,则A (8,0),B (0,6),内切圆C 的半径r=1
2
×6×81
2
×(6+8+10)
=2.
∴圆心坐标为(2,2).
∴内切圆C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
设P (x ,y )为圆C 上任一点,点P 到顶点A ,B ,O 的距离的平方和为d ,则d=|PA|2+|PB|2+|PO|2 =(x-8)2+y 2+x 2+(y-6)2+x 2+y 2 =3x 2+3y 2-16x-12y+100 =3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76.
∵点P (x ,y )在圆上,∴(x-2)2+(y-2)2=4. ∴d=3×4-4x+76=88-4x.
∵点P (x ,y )是圆C 上的任意点,∴x ∈[0,4]. ∴当x=0时,d max =88;当x=4时,d min =72.。