招聘问题数学建模动态规划

招聘问题数学建模动态规划
A 招聘问题
某单位组成了一个五人专家小组，对101名应试者进行了招聘测试，各位专家对每位应聘者进行了打分（见附表），请你运用数学建模方法解决下列问题：（1）补齐表中缺失的数据，给出补缺的方法及理由。

（2）给出101名应聘者的录取顺序。

（3）五位专家中哪位专家打分比较严格，哪位专家打分比较宽松。

（4）你认为哪些应聘者应给予第二次应聘的机会。

（5）如果第二次应聘的专家小组只由其中的3位专家组成，你认为这个专家组应由哪3位专家组成。

注：*
摘要：本文主要采用统计学方法，结合EXCEL MATLAB
、等数学统计工具解决了招聘中所涉及的招聘测试、录取顺序以及第二次应聘机会分配等一系列问题。

关于问题一，如何补缺缺失数据，我们将各个专家对应聘者的评分视为随机
事件，算出各分数发生的概率，最后用其数学期望代替缺失的分数，得出结果为：
9号应聘者缺失的分数是77；25号应聘者缺失的分数是80；58号应聘者缺失的分数是80。

关于问题二，考虑到各个专家的打分方式有异，根据加权平均分给出了101位应聘者的录取顺序，结果详见表5.2.1。

关于问题三，利用统计学方法，通过比较每位专家评分的方差大小，得出各专家打分严格程度的差异，最后得出专家甲最严格，专家丙最宽松，其余三位专家的严格程度相差不大。

关于问题四，先将应聘者的加权平均分数从大到小排序，然后根据五位专家对同一应聘者所给分的方差从小到大排序，依据黄金分割理论选取两个排序中的前62位。

最后选取其中共有的39位应聘者参加第二次应聘，具体结果见表5.4.3。

关于问题五，我们考虑对参加第二次应聘的应聘者给予严格评价，所以参照五位专家的评分权重与严格程度，选出其中三位专家组成专家小组，选取结果为专家甲、专家乙以及专家丁。

关键词：招聘测试录取顺序统计学MATLAB第二次应聘
1.问题重述
某单位组成了一个五人专家小组，对101名应试者进行了招聘测试，各位专家对每位应聘者进行了打分（见附表），请你运用数学建模方法解决下列问题：
（1）补齐表中缺失的数据,给出补缺的方法及理由。

（2）给出101名应聘者的录取顺序。

（3）五位专家中哪位专家打分比较严格，哪位专家打分比较宽松。

（4）你认为哪些应聘者应给予第二次应聘的机会。

（5）如果第二次应聘的专家小组只由其中的3位专家组成，你认为这个专家组应由哪3位专家组成。

2.问题分析
此问题是关于五位专家对101位应聘者进行评价的问题。

根据问题要求首先我们采用数学的方法对该题进行分析，补全附表中缺失的三个由于专家有事外出而未给应聘者评价的分数。

再根据已补全的数据排列出应聘者的录取顺序。

然后确定哪位专家打分比较严格，哪位打分比较松，并给出可以给予第二次应聘机会的应聘者的序号。

最后给出第二次应聘的专家小组成员。

3.问题假设
1. 假设所有专家的评分都是客观、公平公正的。

2. 假设用人单位对每位专家打分的重视度相同。

3. 假设应聘者是否被录用只和专家对其所打的分有关和其他因素无关。

4.变量说明
1.E :专家甲对101位应聘者打分的数学期望。

2.F :专家乙对101位应聘者打分的数学期望。

3.G :专家丙对101位应聘者打分的数学期望。

4.0w ：五位专家对101位应聘者打分的平均值向量。

5.r ：五位专家打分的权重向量。

6.i x ：应聘者i x 的加权平均分。

7.j DX ：第j 位专家对101位应聘者打分的方差。

5.模型的建立与求解
5.1问题一
5.1.1问题分析
该问题要求我们根据已有的数据，利用数学知识分析并补全缺失的数据。

显然均值替换法，热卡填充法等都可以解决问题，但是综合分析一下，该问题属于统计类问题，所以我们最终选择应用统计学的方法，给出某位专家因有事外出而未给出的评分最合理的替代应为这个专家给所有应聘者打分的数学期望。

5.1.2模型建立
根据数学统计的方法，我们将一位专家的评分视为自变量x ，其发生的概率为()p x 。

由于样本空间够大，所以其发生的频率可近似视为其发生的概率。

即：
()(),1,2,,101;101i x i i n p x f x i N N
≈=
==L
而其数学期望为所有自变量的取值与其发生概率的乘积的和，即：(),1,2,,101i i EX x p x i ==∑L
由此算出的数学期望的值即为此专家所缺评的分数的替代。

5.1.3模型求解
按上述方法，代入数据后得出专家甲的评分分布表（表5.1.1）与其散点图（图1.1.1）：
表5.1.1 专家甲对应聘者评分的统计表
再将表5.1.1中数据代入期望公式即可求出第一位专家对101位应聘者打分的数学期望:
EX=76.55≈77，同样的方法我们可依次求出第二位专家对应聘者1
打分的数学期望：
EX=79.83≈80，第三位专家对应聘者打分的数学期望：
2
EX=80.09≈80，由此我们即可确定9号应聘者缺失的分数是77，25号应聘者3
缺失的分数是80,58号应聘者缺失的分数是80。

5.2问题二
5.2.1问题分析
该问题要求我们根据已补全的数据对应聘者按分数的高低进行排序。

可以将五位专家对各个应聘者的评分相加得总分，然后求其平均分再根据所得平均分的高低进行排序；也可以考虑到有些专家可能因为主观原因对应聘者打得分偏高或者偏低，因此可以选用对每位应聘者采取去除最高分和最低分之后再对其求平均分的方法，这样相对直接求平均分更具有公平性。

但是考虑每位专家的评分标准、方式不同，所以我们选择先根据所有数据算出五个专家各个评分的权重，然后将应聘者的分数加权平均后排序，即得录取顺序。

5.2.2模型建立
首先根据算出五个专家所打分的平均值向量012345[,,,,]w b b b b b =，其计算公
式为：
,1,2,,5;1,2,,101;101ij
i
j x
b j i N N
===∑L L
归一化后得五个专家打分的权重向量112345[,,,,]w c c c c c =，其计算公式为：
,1,2,,5j
j j
b c j b
=
=∑L
应聘者i x 的加权平均分为：
1
,5m
ij
j
j i x c
x m m
==
=∑
而后根据由此得到的分数排序。

5.2.3模型求解
(1)在EXCEL 中根据各位专家对每位应聘者的打分计算出每位专家评分的平均值向量0w
0[76.55446,79.86139,80.08911,79.26733,79,9802]w =
(2)据此用MATLAB 软件计算每个专家对应聘者评分的权重向量为
[0.1934,0.2018,0.2024,0.2003,0.2021]r =
(3)将上述数据代入公式后得应聘者的录取顺序为下表（表5.2.1）：
5.3问题三
5.3.1问题分析
该问题要求我们对五位专家给各个应聘者的所有评分进行分析比较，给出哪位专家的打分比较严格，哪位专家打分比较宽松。

易知，对于不同的应聘者，打分严格的专家对优劣比较分明，于是打出的分数也会波动比较大；反之，打分宽松的专家则给予应聘者的分数波动较小。

而波动程度大小的比较可以通过分别统计高、低分段的人数来观察出，高、低分段人数都多的则打分严格，只有高分段或低分段人数多或者高、低分段人数都较少的则打分宽松。

但考虑到这样做的误差可能比较大。

所以又采取计算其样本方差，通过其值比较大小来验证上面所得结论（方差越大，波动程度越大）。

5.3.2模型建立
（1）由于所有的评分都处于[50,100]之内，所以，我们可以取[50,60]为低分段，[90,100]为高分段。

（2）设X 是一个随机变量，若2[()]E X EX -存在，则称2[()]E X EX -为X 的方差，记为()DX Var X 或。

即2[()]DX E X EX =-称为方差，即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。

（方差越大，离散程度越大；反之则越小) 若X 的取值比较集中，则方差DX 较小；若X 的取值比较分散，则方差DX 较大。

因此，DX 是刻画X 取值分散程度的一个量，它是衡量X 取值分散程度的一个尺度。

换而言之，方差就是和中心偏离的程度。

用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差，记作DX 。

在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。

方差的值的计算公式：
1
(),1,2,,101;1,2,,5;101j ij j i
DX x x i j N N =
-===∑L L
其中：
,101ij
i
j x
x N N
=
=∑
5.3.3模型求解
根据上面的图3.1~图3.5得出各专家给出的评分的高、低分段的分布表如下表（表5.3.1）：
由表5.3.1得出打分最严格的是专家甲，最宽松的是专家丙，专家乙、专家丁、专家戊打分方式相对专家甲、专家丙而言较为居中。

但是在理论上这样的结论说服力不够，所以再将数据代入方差的值的计算方程，得出结果如下表（表5.3.1）：
由表5.3.2中数据看出，专家甲给出的评分的方差最大，专家丙给出的评分的方差最小，而专家乙、专家丁和专家戊给出的评分的方差则居前两者之间。

所以得出结论如下：专家甲打分比较严格，专家丙打分比较宽松。

5.4问题四
5.4.1问题分析
该问题要求根据已知的数据和前几问的结果，确定哪些应聘者应该给予第二次应聘的机会。

显然这是关于招聘时选取哪些应聘者参加复试的问题，可以将应聘者的分数加权平均并按从大到小排序，再根据对应聘者五个专家所给分的方差从小到大排序，然后根据黄金分割
理论选取两个排序中的前62位中共有的应聘者参加第二次应聘。

5.4.2模型建立
(1)将问题二求得的各专家打分的权重
[0.1934,0.2018,0.2024,0.2003,0.2021]r =
代入公式
,1,2,,101;1,2,,5;5ij j
j
i x r
x i j M M
=
===∑L L
可以求得各应聘者的分数加权平均后的分数。

(2)根据公式
2
1(),5i ij i j
DX x x M M =
-=∑ 可以求得五位专家给各个应聘者的评分的方差。

5.4.3模型求解
（1）各应聘者加权平均后的排名在问题二中已经给出，详见表5.2.1。

（2）将所有数据代入方差求值公式后得出应聘者对应方差值的排序为下表（表5.4.1）：
（3）表5.2.1和表5.4.1两排序的前62名，如下表（表5.4.2）：
（4）根据表5.4.2两排序里前62名共有的人，即给予第二次应聘的机会的应聘者的序号，见下表（表5.4.3）：
从表5.4.3中可以看出一共选取39位应聘者参加第二次应聘。

5.5问题五
5.5.1问题分析
此问题要求从题中所给的五位专家中选出三位专家组成专家小组给参加第二次应聘的应聘者评分。

由于第二次招聘应是要选取真正符合招聘要求的应聘者，所以组成评价小组的专家必须是打分比较严格的，所以首先将专家甲选入专家小组，而专家丙则不予以考虑。

然后比较其余三位专家的打分的权重，例：若某两位专家打分的权重相同或非常接近的话则可视为打出的分数是同一种效果，所以只需选其中一个就可以达到所需的评分效果。

而选取原则是根据其打分的严格程度，由前面的问题三已经得出各个专家的严格程度，而其依据是各专家打出的分数的方差，方差越大，评分越严格，所以选取打出分数的方差大的一个。

5.5.2问题解答
由于专家甲已经选入专家小组，专家丙已经予以排除，所以只需在余下的专家乙、专家丁、专家戊里选取两人。

而由问题中已经算出各个专家打分的权重：
r
[0.1934,0.2018,0.2024,0.2003,0.2021]
可以得出专家乙和专家戊两人打分权重接近，而专家丁的打分权重和专家乙、戊差别较大，所以先选取专家丁进入专家小组，再通过比较专家乙和专家戊两人打分的方差，由问题三已算出的各专家打分的方差可知专家乙打分的方差（130.5806）大于专家戊打分的方差（118.7596），所以选取专家乙进入专家小组。

最后，选取专家甲、专家乙、专家丁三位专家组成专家小组给参加第二次应聘的应聘者评分。

6.模型的优缺点
优点：
（1）在问题一中，摒弃了传统的平均值代替法，采用数学期望代替，提高了模型的可靠性，使结果更有说服力。

（2）在问题二中，较一般的采用总分排名多考虑了各个专家评分
方式不同，采用加权平均，减少了由于主观人为因素对录取结果的影响。

（3）在问题五中，将题所给的数据横向纵向比较的结果都予以考虑，得出的结果显然比只考虑单因素所得结果要好。

缺点：
（1）在问题三中，由于打分严格程度的概念定义不明确，所以构建的模型可能会与本来意图有所差异。

（2）在问题四中，由于题目要求中未给出要录取的人数，所以只有采取黄金分割，这样得出的结果可能与实际情况误差较大。

7.参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊。

数学模型。

北京：高等教育出版社，2003。

[2]Frank R.Giordano ,Maurice D.Weir,William P.Fox（著），叶其孝，姜启源（译）。

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北京：机械工业出版社，2005。

[3]司守奎，孙玺菁。

数学建模算法与应用。

北京：国防工业出版社，2011。

[4]周品，赵新芬。

数学建模与仿真。

北京：国防工业出版社，2009。

[5]徐建华。

现代地理学中的数学方法。

北京：高等教育出版社，2004。