巧求椭圆方程

求椭圆方程常用六种方法
湖南 高明生
巧求椭圆方程关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用， 常用的有以下六种方法。

类型一：根据椭圆的定义求椭圆的方程
例1、如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长
轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．求椭圆的方程；
解：设椭圆的方程为22
221x y a b +=(a>0,b>0),半焦距为c,则
|MA 1|=2
a a c
-,|A 1F 1|=a-c 由题意,得2
2222()24a c a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴a=2,b=3,c=1.
故椭圆的方程为22
143
x y += 类型二：用待定系数法求椭圆的方程
例2 、从椭圆122
22=+b
y a x ,(a>b>0)上一点M 向x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F 1，A 、
B 分别是椭圆长、短轴的端点，AB ∥OM 设Q 是椭圆上任意一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与
椭圆交于另一点P ，若⊿F 2PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程
解：∵b=c,a=2c ，可设椭圆方程为1222
22=+c
y c x
∵PQ ⊥AB,∴k PQ =-
21==
b
a
k AB
，则PQ 的方程为y=2(x-c)， 代入椭圆方程整理得5x 2
-8cx+2c 2
=0， 根据弦长公式，得c PQ 5
2
6＝
,
又点F 1到PQ 的距离d=
3
6
2c ， ∴==
∆d PQ S PQ F 2
1
12534c ,由,2532053422==c c ，得 故所求椭圆方程为
25
5022=+y x 类型三：转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求椭圆的方程
例3、 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作
垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹（若M 分 PP ˊ之比为2
1
，求点M 的轨迹）
解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为
),(y x ，则P 的坐标为2,(y x
因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 4)2(2
2
=+y x ，即 14
22
=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是14
22
=+y x （2）当M 分 PP ˊ之比为
21时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为2
3
,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 4)2
3(2
2
=+y x ，即 1169422=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是116
942
2=+y x 类型四：利用坐标法求椭圆的方程
例4、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)2F 为一
个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km ，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，设地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程 (精确到
1km)．
解：建立如图所示直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上， 则 c a -＝|OA|－|O 2F |＝|2F A|＝6371＋439＝6810
c a +＝|OB|＋|O 2F |＝|2F B|＝6371＋2384＝8755
解得a ＝7782.5，c ＝972.5
772287556810))((22≈⨯=-+=-=c a c a c a b .
卫星运行的轨道方程为17722
77832
2
22=+y x 类型五：交轨法求椭圆的方程
例5、中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐
标为
2
1
，求椭圆的方程 解：设椭圆的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，
由F 1（0，50）得 502
2=-b a
把直线方程23-=x y 代入椭圆方程整理得：
0)4(12)9(222222=-+-+a b x b x b a
设弦的两个端点为),(),,(2211y x B y x A ，则由根与系数的关系得：
2
22
21912b
a b x x +=+， 又AB 的中点横坐标为2
1
，2196222221=+=+∴b a b x x 223b a =∴，与方程5022=-b a 联立可解出25,7522==b a
故所求椭圆的方程为：
125
752
2=+y x 类型六：椭圆系法求椭圆的方程
例6、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点
Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=
210
，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2
=1（m >0，n >0）， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组
y =x +1， mx 2+ny 2=1.
消去y ，整理得（m +n ）x 2
+2nx +n －1=0. Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0，∴
n
m n +-)1(2－n m n
-2+1=0. ∴m +n =2. ①
由弦长公式得2·
2
)()(4n m mn n m +-+=（210）2
，将m +n =2代入，得m ·n =43. ②
m =21， m =2
3
， n =23 n =21
. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或2
3x 2+22
y =1.
解①②得 或。