课件_人教版九年级上册24 垂径定理优秀精美PPT课件

OE=6cm,则AB= cm.
垂最直长于弦弦长的为直__径__的_几__个．基本（作图2：）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
6 m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.
6 m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂直于弦的直径的几个
基本作图： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
垂直于弦的直径的几个基本作图： ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OA2=AD2+OD2
最长弦长为_______．
OE=6cm,则AB= cm.
辅助线
两条辅助线： 连半径，作弦心距
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。
发现：圆是轴对称图形。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
1．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距 离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm， 则圆心O到AB的距离是（ ）
A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm
O
A
M
B
3．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为 5cm，则经过P点的最短弦长为________； 最长弦长为_______． 4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果 OE=OF，那么_______（只需写一个正确的 结论）
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
9
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
·O
弧：AC＝BC，AD＝BD 上述条件中的任意两个条件，就能推出其它三个.
OA2=AD2+OD2
⌒⌒⌒⌒
E
A
B
D
说理
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线
既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O
的对称轴。
A
所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD
两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，
⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就
DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
垂径定理 A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm
并且平分弦所对的两条弧
可以推出其它三个结论（“知二推三”）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB， 4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7. ③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
C
直线是它的对称轴 6 m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.
A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
（2） 线段： AE=BE 发现：圆是轴对称图形。
例题3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
∴AF =4 2cm
∴AB弦的长8 2cm
6.一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的 半径为 1 m，水面宽 AB 为 1.6 m．由于天气干燥， 水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.2 m，求 水面下降的高度 .
O.
A
B
C
D
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8 cm. ∴ AB=2AE=16cm.
共21张
12
例2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆
心O
到A解B的：距离OE为3AcmB ，求⊙O的半径．
A
E
1 2
A
B
1 2
8
4
学.科.网
A
E
B
在 Rt△ AO 中
O·
OA2 EOE2 AE2
OA OE2 AE2 32 42 5 cm
答：⊙O的半径为5 cm。
例题3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
O.
E AC
DB
课堂小结
内容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
AE和BE重合，AC、AD分别和BC、
BD重合。
因此 AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
C
.O
E
B
D
叠 合 法
发现：圆是轴对称图形。
任何一条直径所在直线都是它的对称轴
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
OA2=AD2+OD2 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。 4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7. 并且平分弦所对的两条弧 发现：圆是轴对称图形。
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
OE=6cm,则AB= cm.
6 m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.
DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
④平分弦的直径垂直于这条弦
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
2
2
A
D
B
OD=OC－CD=R－7.2
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
一
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
AEB
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
对的两条弧。 OA2=AD2+OD2
解析：连接OA，∵ OE⊥AB， 2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 6 m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.
推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 上述条件中的任意两个条件，就能推出其它三个.
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
并且平分弦所对的两条弧
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
M
Ｂ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
推论：
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
6 m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
即
R2=18.
6 m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
2．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ）
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
解得：R≈27．9（m）
OE=6cm,则AB= cm.
即
R2=18.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;
推 论 一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为 1 m，水面宽 AB 为 1.
如图，CD为圆O的直径，弦
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
最长弦长为_______．
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
即
R2=18.
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
即
R2=18.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
AC＝BC，AD＝BD
必平分此弦所对的弧
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 ︵A表B 示主桥拱，设AB 所A︵B在圆的圆心为O， 半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，
O中C点与，ACB是A︵相B 交的于中点点D，，C根D据就前是面拱的高结．论，D 是AB 的
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
C
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
问题探究
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
解证得明： ：R连≈结27O．A9、（OmB），则OA（＝O1B。）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
B E
A O
C
F
Hale Waihona Puke D5.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
解：∵CD=CE+DE=12cm ∴OC=6cm，OE=4cm
又∵∠OEF ∠CEB=30
D
∴OF= 1 OE=2cm 2
由勾股定理
A
F
E C
O B
AF 2 AO2 OE 2