广东省韶关市南雄中学高二数学期末试卷 文(含解析)

2015-2016学年广东省韶关市南雄中学高二（上）期末数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）
A．58 B．88 C．143 D．176
2．已知x＞1，则y=x的最小值为（）
A．1 B．2 C．2 D．3
3．若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）
A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线
C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线
4．函数y=x2cosx在x=1处的导数是（）
A．0 B．2cos1﹣sin1 C．cos1﹣sin1 D．1
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B
的大小为（）
A．30° B．60° C．30°或150°D．60°或120°
6．已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣5 B． C．5 D．
7．有下列四个命题：
①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题．
其中为真命题的是（）
A．①② B．②③ C．④D．①②③
8．若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为﹣8，则k=（）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
9．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）
A．B．C．D．
10．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）
A．8 B．6 C．4 D．
11．若曲线C上的点到椭圆+=1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 的标准方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
12．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡题号相应的横线上.）
13．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是．
14．若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=．
15．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距
8n mile．此船的航速是n mile/h．
16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+S n=1（n∈N*），则通项a n= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答要有文字说明或推理过程）
17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．
18．数数列{a n}是首项为1的等差数列，且公差不为零．a1，a2，a6成等比．
（1）求数列{a n}的公差及通项公式a n；
（2）若数列{b n}满足b1=a1，b2=a2，且b1+b2+…+b k=85，求正整数k的值．
19．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为﹣3，求a，b的值；
（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
20．如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）求V（x）的最大值．
21．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n+1=2S n+6，且a1=6．
（1）求a2的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设，证明：b1+b2+…+b n＜1．
22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）上的点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l 与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM||ON|的取值范围．
2015-2016学年广东省韶关市南雄中学高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）
A．58 B．88 C．143 D．176
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．
【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，
∴a1+a11=a4+a8=16，
∴S11==88，
故选B．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
2．已知x＞1，则y=x的最小值为（）
A．1 B．2 C．2 D．3
【考点】基本不等式．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】由于x＞1所以x﹣1＞0，将函数解析式上减去1再加上1，凑成两部分的乘积为定值，利用基本不等式求出函数的最小值．
【解答】解：∵x＞1，
∴=．
当且仅当，即x=2时取等号
故答案为 D
【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值需要满足的条件是：一正、二定、三相等．
3．若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）
A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线
C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线
【考点】双曲线的简单性质；全称命题；特称命题．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据三种圆锥曲线标准方程的特征，对A、B、C、D各项依次逐个加以判断，即可得到只有B项符合题意．
【解答】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
【点评】本题给出含有字母的二次曲线方程，求它能表示的曲线类型，着重考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的特点的知识，属于基础题．
4．函数y=x2cosx在x=1处的导数是（）
A．0 B．2cos1﹣sin1 C．cos1﹣sin1 D．1
【考点】导数的运算．
【专题】计算题；转化思想；导数的概念及应用．
【分析】利用求导法则求出函数的导函数，将x=1代入计算即可求出值．
【解答】解：∵y′=（x2cosx）′=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，
∴y′|x=1=2cos1﹣sin1．
故选：B．
【点评】此题考查了导数的运算，熟练掌握求导法则是解本题的关键．
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=，则B
的大小为（）
A．30° B．60° C．30°或150°D．60°或120°
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由正弦定理求得sinB=，再由大边对大角求得B的值．
【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得sinB=．∵b＜a，∴B＜A=45°，∴B=30°，
故选A．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．
6．已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣5 B． C．5 D．
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；压轴题；方程思想．
【分析】先由“log3a n+1=log3a n+1”探讨数列，得到数列是以3为公比的等比数列，再由
a2+a4+a6=a2（1+q2+q4），a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）得到a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）求解．
【解答】解：∵log3a n+1=log3a n+1
∴a n+1=3a n
∴数列{a n}是以3为公比的等比数列，
∴a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9
∴a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）=a2q3（1+q2+q4）=9×33=35
故选A
【点评】本题主要考查等比数列的定义，通项及其性质，在等比数列中用“首项与公比”法是常用方法，往往考查到方程思想．
7．有下列四个命题：
①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题．
其中为真命题的是（）
A．①② B．②③ C．④D．①②③
【考点】四种命题．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据四种命题之间的关系进行判断即可．
【解答】解：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是：①“若x，y互为倒数，则xy=1”是真命题，故①正确；
②“面积相等的三角形全等”的否命题是：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，故②正确；
③若x2﹣2x+m=0有实数解，则△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，
∴若m≤1⇔则x2﹣2x+m=0有实数解”是真命题，
故“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题是：“若x2﹣2x+m=0没有有实数解，则m ＞1”是真命题，
故③正确；
④若A∩B=B，则A⊇B，故原命题错误，
∴若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题是错误，
故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查了四种命题之间的关系，考查基础知识的积累，是一道基础题．
8．若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为﹣8，则k=（）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，建立条件关系即可求出k的值．
【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，
∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，
则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，
由，解得，
即A（﹣2，2），同时A也在直线x+k=0时，
即﹣2+k=0，
解得k=2，
故选：C
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．
9．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）
A．B．C．D．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据a＜0，把不等式化为（x﹣）（x﹣1）≤0，求出解集即可．
【解答】解：不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0可化为
（ax﹣2）（x﹣1）≥0，
∵a＜0，
∴原不等式可化为
（x﹣）（x﹣1）≤0，
解得≤x≤1，
∴原不等式的解集为．
故选：A．
【点评】吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
10．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）
A．8 B．6 C．4 D．
【考点】构成空间几何体的基本元素．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图得出几何体是一个三棱柱，求出它的底面积与高，即得体积．
【解答】解：根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；
它的底面三角形的面积为S底面=×2×2=2，
棱柱高为h=2；
∴棱柱的体积为S棱柱=S底面•h=2×2=4；
故选：C．
【点评】本题考查了根据三视图求几何体的体积的问题，解题的关键是由三视图得出几何体是什么几何体，从而作答．
11．若曲线C上的点到椭圆+=1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 的标准方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的定义可得所求轨迹为焦点在x轴上的双曲线，求得a'=4，b'=3，可得双曲线方程．
【解答】解：椭圆+=1的a=13，b=12，c==5，
两个焦点为（﹣5，0），（5，0），
由曲线C上的点到椭圆+=1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，
由双曲线的定义可得所求轨迹为双曲线，
且双曲线的c'=5，a'=4，b'==3，
即有双曲线的方程为﹣=1．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程、性质，主要考查双曲线的定义和方程的求法，属于基础题．
12．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）
A．B．C．D．
【考点】类比推理．
【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】由已知得a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，求出S n后，利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可求得通项a n，最后利用裂项法，即可求和．
【解答】解：由已知得，
∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，
∴a n=4n﹣1，
∴，
∴
∴=+（）+…+（）=1﹣=．
故选C．
【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡题号相应的横线上.）
13．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12 ．
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题．
【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果．
【解答】解：∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，
∴这支田径队有女运动员98﹣56=42人，
用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，
∴每个个体被抽到的概率是=
∵田径队有女运动员42人，
∴女运动员要抽取42×=12人，
故答案为：12
【点评】本题主要考查了分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，属于基础题．
14．若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 2 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．
【解答】解：由y=xα+1，得y′=αxα﹣1．
所以y′|x=1=α，则曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：
y﹣2=α（x﹣1），即y=αx﹣α+2．
把（0，0）代入切线方程得，α=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．
15．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距
8n mile．此船的航速是32 n mile/h．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】由题意及图形在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，又已知三角形ABS中边BS=8，先求出边AB的长，再利用物理知识解出．
【解答】解：因为在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，且边BS=8，利用正弦定理可得：⇔⇒AB=16，
又因为从A到S匀速航行时间为半个小时，所以速度应为：（mile/h）．
故答案为：32．
【点评】此题考查了学生的物理知识速度=，还考查了正弦定理求解三角形及三角形外角等与不相邻的两内角和．
16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+S n=1（n∈N*），则通项a n= ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】根据数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，从而可求数列的通项．
【解答】解：∵a n+S n=1，∴n≥2时，a n﹣1+S n﹣1=1
两式相减可得：2a n=a n﹣1，∴（n≥2）
∵n=1时，a1+S1=1，∴a1=
∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列
∴a n=
故答案为：
【点评】本题考查数列的通项，考查学生的计算能力，确定数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列是关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答要有文字说明或推理过程）
17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）由正弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）由三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，即可确定出a+c的值．
【解答】解：（1）由正弦定理： =，得==，
∴sinB=，
又由B为锐角，得B=；
（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，
∴ac=3，
根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，
则a+c=4．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
18．数数列{a n}是首项为1的等差数列，且公差不为零．a1，a2，a6成等比．
（1）求数列{a n}的公差及通项公式a n；
（2）若数列{b n}满足b1=a1，b2=a2，且b1+b2+…+b k=85，求正整数k的值．
【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）设出等差数列的公差，由a1，a2，a6成等比求得公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）求出b1，利用b1+b2+…+b k=85得到含有k的表达式，由此求得k的值．
【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，
∵a1，a2，a6成等比数列，∴，
∴（1+d）2=1×（1+5d），则d2=3d，
∵d≠0，∴d=3，
∴a n=1+（n﹣1）×3=3n﹣2；
（2）b1=a1=3×1﹣2=1，公比q=，
故，
令，即4k=256，解得：k=4．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n 项和，是基础题．
19．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为﹣3，求a，b的值；
（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出原函数的导函数．
（1）由函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为﹣3得到方程组
，解方程组求得a，b的值；
（2）把曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线转化为函数f（x）有两个极值点，进一步转化为关于x的方程f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=0有两个不相等的实数根，然后尤其判别式大于0求得a的范围．
【解答】解：由f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R），得
f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）．
（1）由题意得，
解得：b=0，a=﹣3或1；
（2）∵曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=0有两个不相等的实数根，
∴△=4（1﹣a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，
∴a≠﹣．
∴a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，着重考查了数学转化思想方法，是中档题．
20．如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）求V（x）的最大值．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）由于FA⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，可得FA⊥平面ABCD．由于BC=2，BD⊥CD，CD=x，可得DB=（0＜x＜2）．∴S平行四边形ABCD=2S△BCD．即可得出V（x）
=．
（2）由基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，∴FA⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴FA⊥平面ABCD．
∵BC=2，BD⊥CD，CD=x，
∴DB=（0＜x＜2）．
∴S平行四边形ABCD=2S△BCD=2×=．
∴V（x）===．（0＜x＜2）．
（2）由基本不等式的性质可得：V（x）=，当且仅当，即x=时取等号．
∴V（x）的最大值是．
【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．已知数列{a n}的前n项和S n满足a n+1=2S n+6，且a1=6．
（1）求a2的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设，证明：b1+b2+…+b n＜1．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】（1）令n=1，由a1=S1，即可得到所求；
（2）将n换成n﹣1，两式相减，再结合等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求；（3）求出S n，可得b n，再由裂项相消求和，计算即可得证．
【解答】解：（1）当n=1时，a2=2S1+6=2a1+6=18，∴a2=18；
（2）由a n+1=2S n+6①，得a n=2S n﹣1+6（n≥2）②
①﹣②：得a n+1﹣a n=2S n﹣2S n﹣1，
即a n+1=3a n（n≥2），
又a1=6，a2=18，所以a2=3a1，
∴数列{a n}是以6为首项，公比为3的等比数列，
∴；
（3）证明：由（2）得：，
故，
∴
=．
【点评】本题考查数列的通项和求和，主要考查等比数列的通项和数列的求和方法：裂项求和，考查运算能力，属于中档题．
22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）上的点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l
与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM||ON|的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的定义进行求解；
（2）利用圆心到直线的距离，求出直线的斜率与截距的关系，再利用平面向量的数量积求证角为定值；
（3）利用三角换元进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C： =1（a＞b＞0）上的点到两焦点的距离和为，得2a=，即a=；
由短轴长为，得2b=，即b=
所以椭圆C方程：9x2+16y2=1
（Ⅱ）当直线MN⊥x轴时，因为直线MN与圆O：x2+y2=相切，
所以直线MN方程：x=或x=﹣，
当直线方程为x=，得两点分别为（，）和（，﹣），故•=0，
所以∠MON=；同理可证当x=﹣，∠MON=；
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与圆O：x2+y2=的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由直线MN与圆O相切得d==，即25b2=k2+1，①
联立y=kx+b与椭圆方程，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，
∴△＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，
•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=，②
由①②，得•=0，即∠MON=，
综上，∠MON=为定值．
（Ⅲ）不妨设∠XOM=θ，则∠XON=θ±，
由三角函数定义可知：M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ）
因为点M、N都在9x2+16y2=1上，
所以=9cos2θ+16sin2θ， =9sin2θ+16cos2θ
•=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）
=9×16+（9﹣16）2sin2θcos2θ
=9×16+（9﹣16）2sin22θ，
又sin22θ∈，故•∈，
∴|OM||ON|的取值范围是．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查角为定值的证明，考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。