数学人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案-百度文库

数学人教版七年级上册数学压轴题期末复习试卷及答案-百度文库
一、压轴题
1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．
①求t的值；
②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．
2．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON，然后提出如下问题：求出∠MON的度数．
特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON、OD、OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和
∠BOD相等．
（1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中∠MON的度数为°．图3中
∠MON的度数为°．
发现感悟
解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论：
小明：由于图1中∠AOC和∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．
小华：设∠BOD为x°，我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数，这样也能求出∠MON的度数．
（2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中∠MON的度数．
类比拓展
受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出
∠AOC、∠BOD的平分线OM、ON，他们认为也能求出∠MON的度数．
（3）你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出∠MON的度数；若不同意，请说明理由．
3．如图，在数轴上的A1，A2，A3，A4，……A20，这20个点所表示的数分别是a1，a2，
a3，a4，……a20．若A1A2＝A2A3＝……＝A19A20，且a3＝20，|a1﹣a4|＝12．
（1）线段A3A4的长度＝；a2＝；
（2）若|a1﹣x|＝a2+a4，求x的值；
（3）线段MN从O点出发向右运动，当线段MN与线段A1A20开始有重叠部分到完全没有重叠部分经历了9秒．若线段MN＝5，求线段MN的运动速度．
4．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒．
5．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点P 到A 点距离是到B 点距离的2倍，求点P 的对应的数；
（3）当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒2个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后．再立即以同样的速度返回，运动到终点A ，在点Q 开始运动后第几秒时，P 、Q 两点之间的距离为8？请说明理由．
6．如图1，线段AB 的长为a ．
（1）尺规作图：延长线段AB 到C ，使BC ＝2AB ；延长线段BA 到D ，使AD ＝AC ．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）
（2）在（1）的条件下，以线段AB 所在的直线画数轴，以点A 为原点，若点B 对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C ，D 两点，并直接写出C ，D 两点表示的有理数，若点M 是BC 的中点，点N 是AD 的中点，请求线段MN 的长．
（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D 处开始，在点C ，D 之间进行往返运动；乙从点N 开始，在N ，M 之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M 点第一次回到点N 时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．
7．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135︒，②120︒，③75︒，④25︒中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.
①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；
②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由.
8．如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．（1）设运动时间为t （t ＞0）秒，数轴上点B 表示的数是 ，点P 表示的数是 （用含t 的代数式表示）；（2）若点P 、Q 同时出发，求：①当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 相遇？②当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度？
9．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数.
（分析思路）
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．
如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)
（解决问题）
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.
S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:
_______ ____________ _______________ _______________
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数.
10．如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=22．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的代数式表示）；
(2)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?（列一元一次方程解应用题）
(3)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问秒时P、Q之间的距离恰好等于2（直接写出答案）
(4)思考在点P的运动过程中，若M为AP的中点，N为PB的中点.线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.
11．射线OA、OB、OC、OD、OE有公共端点O．
（1）若OA与OE在同一直线上（如图1），试写出图中小于平角的角；
（2）若∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），OB平分∠AOE，OD平分∠COE（如图2），求∠BOD的度数；
（3）如图3，若∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，射OC绕点O在∠AOD内部旋转（不与OA、OD重合）．探求：射线OC从OA转到OD的过程中，图中所有锐角的和的情况，并说明理由．
12．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ
AB
的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有
1
CD AB
2
，此时C点停止运动，
D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；②MN
AB
的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并
求值．
13．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。

已知：点C 在直线AB 上，AC a =，BC b =，且a
b ，点M 是AB 的中点，请按照
下面步骤探究线段MC 的长度。

（1）特值尝试
若10a =，6b =，且点C 在线段AB 上，求线段MC 的长度.
（2）周密思考：
若10a =，6b =，则线段MC 的长度只能是（1）中的结果吗？请说明理由.
（3）问题解决
类比（1）、（2）的解答思路，试探究线段MC 的长度（用含a 、b 的代数式表示）.
14．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，C 点表示数c ，b 是最小的正整数，且a 、c 满足|a+2|+（c-7）2=0．
（1）a=______，b=______，c=______；
（2）若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数______表示的点重合；
（3）点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ．则AB=______，AC=______，BC=______．（用含t 的代数式表示）.
（4）直接写出点B 为AC 中点时的t 的值.
15．（阅读理解）
若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离的2倍，我们就称点C 是（A ，B ）的优点．
例如，如图①，点A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是（A ，B ）的优点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是（A ，B ）的优点，但点D 是（B ，A ）的优点． （知识运用）
如图②，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为﹣2，点N 所表示的数为4．
（1）数 所表示的点是（M ，N ）的优点；
（2）如图③，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为﹣20，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A 停止．当t 为何值时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点？
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一、压轴题
1．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC平分∠POQ；
（3）t＝70
3
秒．
【解析】
【分析】
（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t 值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；
（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；（3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解．
【详解】
（1）①∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,
∵OP平分∠BOC，
∴∠COP＝1
2
∠BOC＝75°,
∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,
∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°, t＝15÷3＝5；
②是，理由如下：
∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，
∴OQ平分∠AOC；
（2）∵OC平分∠POQ，
∴∠COQ＝1
2
∠POQ＝45°．
设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，
由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，解得：t＝5，
当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，
解得：t＝65，
∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；（3）设经过t秒后OC平分∠POB，∵OC平分∠POB，
∴∠BOC＝1
2
∠BOP，
∵∠AOQ+∠BOP＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣3t，
又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，
∴180﹣30﹣6t＝1
2
（90﹣3t），
解得t＝70 3
．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键.
2．（1）135，135；（2）∠MON＝135°；（3）同意，∠MON＝（90°﹣1
2
x°）+x°+
（45°﹣1
2
x°）＝135°.
【解析】【分析】
（1）由题意可得，∠MON＝1
2
×90°+90°，∠MON＝
1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD+∠COD，即可
得出答案；
（2）根据“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线”可求出∠MOC+∠NOD，又∠MON ＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD，即可得出答案；
（3）设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，进而求出∠MOC和∠BON，又∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON，即可得出答案.
【详解】
解：（1）图2中∠MON＝1
2
×90°+90°＝135°；图3中∠MON＝
1 2∠AOC+
1
2
∠BOD+∠COD＝
1
2
（∠AOC+∠BOD）+90°＝
1
2
90°+90°＝135°；
故答案为：135，135；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC+∠NOD＝1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD＝
1
2
（∠AOC+∠BOD）＝45°，
∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝45°+90°＝135°；（3）同意，
设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC＝1
2
∠AOC＝
1
2
（180°﹣x°）＝90°﹣
1
2
x°，
∠BON＝1
2
∠BOD＝
1
2
（90°﹣x°）＝45°﹣
1
2
x°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON＝（90°﹣1
2
x°）+x°+（45°﹣
1
2
x°）＝135°．
【点睛】
本题考查的是对角度关系及运算的灵活运用和掌握，此类问题的练习有利于学生更好的对角进行理解.
3．（1）4，16；（2）x＝﹣28或x＝52；（3）线段MN的运动速度为9单位长度/秒．【解析】
【分析】
（1）由A1A2＝A2A3＝……＝A19A20结合|a1﹣a4|＝12可求出A3A4的值，再由a3＝20可求出a2＝16；
（2）由（1）可得出a1＝12，a2＝16，a4＝24，结合|a1﹣x|＝a2+a4可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由（1）可得出A1A20＝19A3A4＝76，设线段MN的运动速度为v单位/秒，根据路程＝速度×时间（类似火车过桥问题），即可得出关于v的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵A1A2＝A2A3＝……＝A19A20，|a1﹣a4|＝12，
∴3A3A4＝12，
∴A3A4＝4．
又∵a3＝20，
∴a2＝a3﹣4＝16．
故答案为：4；16．
（2）由（1）可得：a1＝12，a2＝16，a4＝24，
∴a2+a4＝40．
又∵|a1﹣x|＝a2+a4，
∴|12﹣x|＝40，
∴12﹣x＝40或12﹣x＝﹣40，
解得：x＝﹣28或x＝52．
（3）根据题意可得：A1A20＝19A3A4＝76．
设线段MN的运动速度为v单位/秒，
依题意，得：9v＝76+5，
解得：v ＝9．
答：线段MN 的运动速度为9单位长度/秒．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离以及规律性：图形的变化类，解题的关键是：（1）由相邻线段长度相等求出线段A 3A 4的长度及a 2的值；（2）由（1）的结论，找出关于x 的含绝对值符号的一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
4．（1）35°；（2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，理由详见解析；（3）4．
【解析】
【分析】
（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE 和∠BOF 的度数，然后根据∠AOE ﹣∠BOF 求解；
（2）首先由题意得∠BOC ＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC ＝∠AOB+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可；
（3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°，故3314202t t +=+
，解方程即可求出t 的值． 【详解】
解：（1）∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ， ∴11AOE AOC 11022︒∠=∠=⨯＝55°，11AOF BOD 402022
︒︒∠=∠=⨯=， ∴∠AOE ﹣∠BOF ＝55°﹣20°＝35°；
（2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值
由题意∠BOC ＝3t°，
则∠AOC ＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°＝40°+3t°，
∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，
()11AOE AOC 1103t =22︒︒∴∠=
∠=⨯+3552t ︒︒+ ∴()
113BOF BOD 403t 20t 222︒︒︒︒∠=∠=+=+， ∴33AOE BOF 55t 20t 3522︒︒︒︒︒⎛
⎫⎛⎫∠-∠=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，定值为35°；
（3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°， ∴3314202t t +=+
， 解得4t =．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
5．(1) a=-24，b=-10，c=10；(2) 点P的对应的数是-44
3
或4；(3) 当Q点开始运动后第6、
21秒时，P、Q两点之间的距离为8，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24=0，b+10=0，c-10=0，解可得a、b、c的值；
（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；
（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P 点在Q点右侧时，根据两点间的距离是8，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）∵|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0，
∴a+24=0，b+10=0，c-10=0，
解得：a=-24，b=-10，c=10；
（2）-10-（-24）=14，
①点P在AB之间，AP=14×
2
21
=
28
3
，
-24+28
3
=-
44
3
，
点P的对应的数是-44
3
；
②点P在AB的延长线上，AP=14×2=28，
-24+28=4，
点P的对应的数是4；
（3）∵AB=14，BC=20，AC=34，
∴t P=20÷1=20（s），即点P运动时间0≤t≤20，
点Q到点C的时间t1=34÷2=17（s），点C回到终点A时间t2=68÷2=34（s），当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，2t+8=14+t，解得t=6；
当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，2t-8=14+t，解得t=22＞17（舍去）；
当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+8+2t-34=34，t=46
3
＜17（舍去）；
当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t-8+2t-34=34，解得t=62
3
＞20（舍去），
当点P到达终点C时，点Q到达点D，点Q继续行驶（t-20）s后与点P的距离为8，此时2（t-20）+（2×20-34）=8，
解得t=21；
综上所述：当Q点开始运动后第6、21秒时，P、Q两点之间的距离为8．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．
6．（1）详见解析；（2）35；（3）﹣5、15、112
3
、﹣7
6
7
．
【解析】
【分析】
（1）根据尺规作图的方法按要求做出即可；
（2）根据中点的定义及线段长度的计算求出；
（3）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间，然后计算出位置．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）根据（1）所作图的条件，如果以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，则有
点C对应的数为30，点D对应的数为﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35
（3）设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t，则
t＝2235
22
MN⨯
=＝35（秒）
那么甲在总的时间t内所运动的长度为
s＝5t＝5×35＝175
可见，在乙运动的时间内，甲在C，D之间运动的情况为
175÷60＝2……55，也就是说甲在C，D之间运动一个来回还多出55长度单位．①设甲乙第一次相遇时的时间为t1，有
5t1＝2t1+15，t1＝5（秒）
而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5
这时甲和乙所对应的有理数为﹣5．
②设甲乙第二次相遇时的时间经过的时间t2，有
5t2+2t2＝25+30+5+10，t2＝10（秒）
此时甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置15×2﹣15＝15
这时甲和乙所对应的有理数为15．
③设甲乙第三次相遇时的时间经过的时间t3，有
5t3﹣2t3＝20，t3＝20
3
（秒）
此时甲的位置：30﹣（5×20
3
﹣15）＝11
2
3
，乙的位置：20﹣（2×
20
3
﹣5）＝11
2
3
这时甲和乙所对应的有理数为112 3
④从时间和甲运行的轨迹来看，他们可能第四次相遇．设第四次相遇时经过的时间为t4，有
5t 4﹣1123﹣30﹣15+2t 4＝1123，t 4＝91621（秒） 此时甲的位置：5×9
1621﹣45﹣1123＝﹣767，乙的位置：1123﹣2×91621＝﹣767 这时甲和乙所对应的有理数为﹣7
67． 四次相遇所用时间为：5+10+
203+91621＝3137（秒），剩余运行时间为：35﹣3137＝347
（秒） 当时间为35秒时，乙回到N 点停止，甲在剩余的时间运行距离为5×3
47＝5257⨯＝1767
． 位置在﹣7
67+1767＝10，无法再和乙相遇，故所有相遇点对应的有理数为﹣5、15、1123、﹣767
．
【点睛】
本题考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键．
7．（1）④；（2）①15α=︒；②当105α=，125α=时，存在2BOC AOD ∠=∠.
【解析】
【分析】
（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；
（2）①根据已知条件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，根据角平分线的定义得到∠EOB=12∠EOD=12
×120°=60°，于是得到结论； ②当OA 在OD 的左侧时，当OA 在OD 的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵135°=90°+45°，120°=90°+30°，75°=30°+45°，
∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出；
故选④；
（2）①因为COD 60∠=，
所以EOD 180COD 18060120∠∠=-=-=.
因为OB 平分EOD ∠， 所以11EOB EOD 1206022
∠∠==⨯=. 因为AOB 45∠=，
所以αEOB AOB 604515∠∠=-=-=.
②当OA 在OD 左侧时，则AOD 120α∠=-，BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=，
所以()135α2120α-=-.
解得α105=.
当OA 在OD 右侧时，则AOD α120∠=-，BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=，
所以()135α2α120
-=-.
解得α125=.
综合知，当α105=，α125=时，存在BOC 2AOD ∠∠=.
【点睛】
本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键．
8．（1）﹣4，6﹣5t ；（2）①当点P 运动5秒时，点P 与点Q 相遇；②当点P 运动1或9秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可先标出点A ，然后根据B 在A 的左侧和它们之间的距离确定点B ，由点P 从点A 出发向左以每秒5个单位长度匀速运动，表示出点P 即可；
（2）①由于点P 和Q 都是向左运动，故当P 追上Q 时相遇，根据P 比Q 多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t 的值即可得出答案；
②要分两种情况计算：第一种是点P 追上点Q 之前，第二种是点P 追上点Q 之后.
【详解】
解：（1）∵数轴上点A 表示的数为6，
∴OA ＝6，
则OB ＝AB ﹣OA ＝4，
点B 在原点左边，
∴数轴上点B 所表示的数为﹣4；
点P 运动t 秒的长度为5t ，
∵动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P 所表示的数为：6﹣5t ，
故答案为﹣4，6﹣5t ；
（2）①点P 运动t 秒时追上点Q ，
根据题意得5t ＝10+3t ，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+3a﹣5a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+3a+8＝5a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点睛】
在数轴上找出点的位置并标出，结合数轴求追赶和相遇问题是本题的考点，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解.
9．（1）3456;45678
S S
=+++=++++ ;(2) 方法不唯一，见解析；（3）方法不唯一，见解析
【解析】
【分析】
先找出前几项的钢管数，在推出第n项的钢管数.
【详解】
（1）3456;45678
S S
=+++=++++
（2）方法不唯一，例如：
12
S=+1233
S=+++123444
S=+++++12345555
S=+++++++（3）方法不唯一，例如：
()()
12 (2)
S n n n n
=++++++
()()
()()
=.....12.....
1
11
2
n n n n
n n n n
+++++++
=+++
()
3
1
2
n n
=+
【点睛】
此题主要考察代数式的规律探索及求和，需要仔细分析找到规律.
10．（1）－14，8－4t（2）点P运动11秒时追上点Q（3）
10
3
或4（4）线段MN的长度不发生变化，都等于11
【解析】
【分析】
（1）根据AB长度即可求得BO长度，根据t即可求得AP长度，即可解题；
（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC-BC=AB，列出方程求解即可；
（3）分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可；
(4)分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．
【详解】
（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，
∴点B表示的数是8-22=-14，
∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8-4t．
故答案为-14，8-4t；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC=5x，BC=3x，
∵AC-BC=AB，
∴4x-2x=22，
解得：x=11，
∴点P运动11秒时追上点Q；
(3) ①点P、Q相遇之前，4t+2+2t =22，t=10
3
，
②点P、Q相遇之后，4t+2t -2=22，t=4，
故答案为10
3
或4
（4）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP=1
2
AP+
1
2
BP=
1
2
（AP+BP）=1
2
AB=
1
2
×22=11
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP﹣NP=1
2
AP﹣
1
2
BP=
1
2
（AP﹣BP）=1
2
AB=11
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
11．（1）图1中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，
∠COD，∠DOE；（2）∠BOD＝54°；（3）
∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE＝412°．理由见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据角的定义即可解决；
（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=1
2∠AOC+1
2
∠COE，进而求出即可；
（3）将图中所有锐角求和即可求得所有锐角的和与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系，即可解题．
【详解】
（1）如图1中小于平角的角
∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，∠COD，∠DOE．
（2）如图2，
∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），
∴∠BOD＝1
2
∠AOD﹣
1
2
∠COE+
1
2
∠COE＝
1
2
×108°＝54°；
（3）如图3，
∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，
图中所有锐角和为
∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE ＝4∠AOB+4∠DOE＝6∠BOC+6∠COD
＝4（∠AOE﹣∠BOD）+6∠BOD
＝412°．
【点睛】
本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系是解题的关键，
12．（1）点P在线段AB上的1
3
处；（2）
1
3
；（3）②MN
AB
的值不变.
【解析】
【分析】
（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在
线段AB上的1
3
处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝1
2
AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB
表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝
1
12
AB．
【详解】
解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的1
3
处；
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，
∴PQ=1
3 AB，
∴
1
3 PQ AB
（3）②MN
AB
的值不变.理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=1
2 AB，
4
∴PM=CM-CP=1
4
AB-5，
∵PD=2
3
AB-10，
∴PN=12
23
（AB-10）=
1
3
AB-5，
∴MN=PN-PM=
1
12
AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以
1
1
12
12
AB
MN
AB AB
==.
【点睛】
本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
13．（1）2（2）8或2；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据线段之间的和差关系求解即可；
（2）由于B点的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论；
（3）由（1）（2）可知MC=1
2
(a+b)或
1
2
(a-b）.
【详解】
解：解：（1）∵AC=10，BC=6，∴AB=AC+BC=16，
∵点M是AB的中点，
∴AM=1
2
AB
∴MC=AC-AM=10-8=2．
（2）线段MC的长度不只是（1）中的结果，
由于点B的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况：
①当B点在线段AC上时，
∵AC=10，BC=6，
∴AB=AC-BC=4，
∵点M是AB的中点，
2
∴MC=AC-AM=10-2=8．
②当B点在线段AC的延长线上，
此时MC=AC-AM=10-8=2．
（3）由（1）（2）可知MC=AC-AM=AC-1
2
AB 因为当B点在线段AC的上，AB=AC-BC，
故MC=AC-1
2
(AC-BC)=
1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(a+b)
当B点在线段AC的延长线上，AB=AC+BC，
故MC=AC-1
2
（AC+BC）=1
2
AC-
1
2
BC=
1
2
(a-b）
【点睛】
主要考察两点之间的距离，但是要注意题目中的点不确定性，需要分情况讨论. 14．（1）-2；1；7；（2）4；（3）3+3t；9+5t；6+2t；（4）3.
【解析】
【分析】
（1）利用|a+2|+（c﹣7）2＝0，得a+2＝0，c﹣7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；
（2）先求出对称点，即可得出结果；
（3）分别写出点A、B、C表示的数为，用含t的代数式表示出AB、AC、BC即可；（4）由点B为AC中点，得到AB=BC，列方程，求解即可．
【详解】
（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，∴a+2＝0，c﹣7＝0，解得：a＝﹣2，c＝7．
∵b是最小的正整数，∴b＝1．
故答案为﹣2，1，7．
（2）（7+2）÷2＝4.5，对称点为7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4．
故答案为4．
（3）点A表示的数为：－2－t，点B表示的数为：1+2t，点C表示的数为：7+4t，则
AB＝t+2t+3＝3t+3，AC＝t+4t+9＝5t+9，BC＝2t+6．
故答案为3t+3，5t+9，2t+6．
（4）∵点B为AC中点，∴AB=BC，∴3t+3=2t+6，解得：t=3．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
15．（1）2或10；（2）当t为5秒、10秒或7.5秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点．
【解析】
【分析】
（1）设所求数为x，根据优点的定义分优点在M、N之间和优点在点N右边，列出方程解方程即可；（2）根据优点的定义可知分三种情况：①P为（A，B）的优点；②P为（B，A）的优点；③B为（A，P）的优点．设点P表示的数为x，根据优点的定义列出方程，进而得出t的值．
【详解】
解：（1）设所求数为x，
当优点在M、N之间时，由题意得x﹣（﹣2）=2（4﹣x），解得x=2；
当优点在点N右边时，由题意得x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10；
故答案为：2或10；
（2）设点P表示的数为x，则PA=x+20，PB=40﹣x，AB=40﹣（﹣20）=60，
分三种情况：
①P为（A，B）的优点．
由题意，得PA=2PB，即x﹣（﹣20）=2（40﹣x），
解得x=20，
∴t=（40﹣20）÷4=5（秒）；
②P为（B，A）的优点．
由题意，得PB=2PA，即40﹣x=2（x+20），
解得x=0，
∴t=（40﹣0）÷4=10（秒）；
③B为（A，P）的优点．
由题意，得AB=2PA，即60=2（x+20）
解得x=10，
此时，点P为AB的中点，即A也为（B，P）的优点，
∴t=30÷4=7.5（秒）；
综上可知，当t为5秒、10秒或7.5秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点．【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解优点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．。