浙江省重点中学协作体高三数学上学期第二次适应性测试

浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试
数学（理科）试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共50分）
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上． 参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式 24S R π= V Sh =
球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 33
4R V π= 棱台的体积公式
其中R 表示球的半径 )(3
12211S S S S h V ++=
棱锥的体积公式 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积， 1
3
V Sh = h 表示棱台的高
其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
【试卷综析】本分试卷是高三综合测试卷，着重于基础知识，基本技能和基本思想方法，同时也考查的逻辑思维能力和计算能力，空间想象能力以及运用所学的数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力，难度不大，以基础题为主，但又穿插有一定梯度和灵活性的题目，总体而言，此套题着重基础知识和技能的考查考核，通过这份试卷，能过起到查漏补缺， 薄弱环节，便于调整复习的作用，也能够让学生自己了解掌握基本知识和基本技能的情况，做到复习心中有数.
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【题文】1．已知{}|2,P x x k x N =<<∈，若集合P 中恰有3个元素，则（ ▲ ）。

A ．56x <<
B ．56x ≤<
C ．56x <≤
D ．56x ≤≤ 【知识点】集合的并集 A1
【答案】C 【解析】解析：因为P 中恰有3个元素，所以{}3,4,5P =，可得56k <≤，故选择C.
【思路点拨】先求得集合P ，即可得k 的范围.
【题文】2．设2
()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ▲ ）。

A ．(1,0)- B ．(0,1)
C ．(,0)-∞
D ．(,0)(1,)-∞+∞U 【知识点】函数的奇偶性 B4
【答案】A 【解析】解析：因为2
()lg()1f x a x
=+-是奇函数，所以
()()22lg lg 011f x f x a a x x ⎛⎫⎛⎫-+=+++= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，解得1a =-，即()1lg 1x f x x +⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，
由()1lg 01x f x x +⎛⎫
=< ⎪-⎝⎭
可得1011x x +<<-，解得10x -<<，故选择A. 【思路点拨】根据奇函数的定义可得()()22lg lg 011f x f x a a x x ⎛⎫⎛⎫
-+=+++= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
解得1a =-，由()1lg 01x f x x +⎛⎫
=< ⎪-⎝⎭
可得1011x x +<
<-，即可得x 的取值范围. 【题文】3．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm )如图所示，则该几何体的侧面积为
（ ▲ ）2
cm 。

A ．50
B ．60
C ．70
D ．80
【知识点】三视图 G2
【答案】D 【解析】解析：由三视图可得该几何体是底面为8的正四棱锥，且正四棱锥的斜高为5，所以侧面积为：
1
854802
⨯⨯⨯=，故选择D. 【思路点拨】根据三视图可得该几何体是底面为8的正四棱锥，且正四棱锥的斜高为5，即可求得其侧面积.
【题文】4．在空间给出下面四个命题(其中m 、n 为不同的两条直线,a 、b 为不同的两个平面)
①m ^a ,n //a Þm n ^ ②m //n ,n //a Þm //a
③m //n ,n b ^,m //a Þ
a b ^
④m n A =I ,m //a ,m //b ,n //a ,n //b Þa //b 其中正确的命题个数有（ ▲ ）。

A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5
【答案】C 【解析】解析：①由线面垂直及线面平行的性质，可知m ^a ,n //a Þm n ^，故①正确；②,m n n m m βαα⇒⊂P P P 或，故②错误③根据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若m n n β⊥P ，，则m β⊥，又
m ααβ⇒⊥P ，故③正确④由m n A =I ,.m ,n .n m αβαβP P P P 可得平面αβ，都与直线m n ，确定的平面平行，则可得αβP ，故④正确综上知，正确的有①③④，故选择C. 【思路点拨】根据线面垂直、线面平行的性质，可判断①；由,m n n m m βαα
⇒⊂P P P 或
俯视图
（第3题图）
可判断②；③根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断③；④由已知可得平面αβ，都与直m n ，确定的平面平行，则可得αβP ，可判断④.
【题文】5．已知()23()f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是1(,0)x b a b +<>，则,a b 之间的关系是（ ▲ ）。

A ．2a b ≥
B ．2a b <
C ．2b a ≤
D ．2
b
a >
【知识点】利用充分必要条件求参数 A2 【答案】A 【解析】解析：由()1f x a -<可得
22
22
a a x ---<<，由1x
b +<，可得11b x b --<<-，因为()1f x a -<的必要条件是1(,0)x b a b +<>，所以可得：
1(,0)x b a b +<>是()1f x a -<的必要条件，即1(,0)x b a b +<>⇐()1f x a -<，
可得2122212
a b a b a b --⎧
--≤⎪⎪⇒≥⎨-⎪-≥
⎪⎩，故选择A.
【思路点拨】根据已知可得1(,0)x b a b +<>是()1f x a -<的必要条件，即
1(,0)x b a b +<>⇐()1f x a -<，即()1f x a -<的解集为1(,0)x b a b +<>解集的
子集，列的关系式即可求解.
【题文】6．设,x y 满足约束条件0
4312
x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则231x y x +++取值范围是（ ▲ ）。

A ．[1,5]
B ．[2,6]
C ．[3,10]
D ．[3,11] 【知识点】线性规划 E5
【答案】D 【解析】解析：根据约束条件画出可行域，
∵目标函数为
()2123
111
y x y x x +++=+
++，令11y k x +=+，即为可行域的点到点()1,1--的斜率的范围问题，由图像可知：当直线l 过()0,4A 时，k 最大，此时目标函数最大为11，
当直线l 过()0,0B 时，k 最小，此时目标函数最小为3．故选择D.
【思路点拨】再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出当直线l 过
()0,4A 时，k 最大，此时目标函数最大为11，当直线l 过()0,0B 时，k 最小，此时目标
函数最小为3．
【题文】7．已知O 为ABC ∆的外心，=16AB uu u v
，AC uuu v
若=AO x AB y AC +uuu v uu u v uuu v ，且32x +
2525y =，则=OA uu v
（ ▲ ）。

A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
【知识点】向量的数量积 F3
【答案】B 【解析】解析：根据O 为ABC ∆的外心，以及向量数量积的集合意义可得
1.16161682AO AB =⨯⨯=⨯u u u r u u u r ，
同理可得1
.2
AO AC =⨯=u u u r u u u r 又因
为=AO x AB y AC +uuu v
uu u v
uuu v
，所以可得().=..16843225100AO AO xAB AO yAC AO x y x y +=⨯⨯+⨯=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，故选
择B.
【思路点拨】根据O 为ABC ∆的外心，以及向量数量积的集合意义可得2
1.2
AO AB AB =u u u r u u u r u u u r ，
同理可得21.2
AO AC AC =u u u r u u u r u u u r ，再利用.=..AO AO xAB AO y AC AO +uuu v uuu v uu u v uuu v uuu v uuu v
，代入即可求得.
【题文】8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线
右支上的任意一点，若2
12||||
PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是（ ▲ ）。

A ．()1+∞，
B ．(]1,2 C
．(
D ．(]1,3 【知识点】双曲线的性质 基本不等式 H6 E6
【答案】D 【解析】解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以122PF a PF =+，所
以
212||||PF
PF 2224448a PF a a a PF =++≥=，当且仅当
212,4PF a PF a ==，可得242a a c +≥解得3e ≤，又因为双曲线离心率大于1，故选择
D.
【思路点拨】因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以122PF a PF =+，所以
212||||PF PF 22
2222
4442.48a a PF a PF a a PF PF =++≥+=，解得212,4PF a PF a ==，再
利用1122PF F F PF 、
、之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【题文】9．若44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则||||x y -的最小值是（ ▲ ）。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
【知识点】对数函数以及最值问题 B7 【答案】C 【解析】解析：由题意可得：
．
由函数的图象的对称性知，只考虑0y ≥的情况即可，因为0x >，所以只须求x y -的最小值．
令x y u -=代入2244x y -=中，有2
23240y uy u -+-=（），0y R ∈∴≥Q V ，，解得
3u ≥
∴当
时， 3u =
C.
【思路点拨】由函数的图象的对称性知，只考虑0y ≥的情况即可，因为0x >，所以只须
求x y -的最小值．令x y u -=代入2
2
44x y -=中，有2
2
3240y uy u -+
-=（），0y R ∈∴≥Q V ，，求出u 的最小值，即为所求．
【题文】10．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理
数。

若1a d =，2
1b d =，且222
123
123
a a a
b b b ++++是正整数，则q 等于（ ▲ ）。

A ．
12
B ．
13 C ．14 D ．18
【知识点】等差等比数列的性质 D2 D3
【答案】A 【解析】解析：根据题意可得222
23232,3,,a d a d b d q b d q ====，所以
222
123123a a a b b b ++++2222222249141d d d d d q d q q q
++==++++是正整数，q 是小于1的正有理数． 可令2141t q q =++是正整数，则有2
1410q q t
++-=，求根公式可得5613t q -+-+=，
对t 赋值，验证知，当8t =时，有1
2
q =，故选择A.
【思路点拨】由等差数列和等比数列的通项公式，将222
23232,3,,a d a d b d q b d q ====代
入所求的式子得2
14
1q q ++再由比值是正整数，通过验证的方法求解.
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．
2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
【题文】二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 【题文】11．阅读右侧程序框图,输出的结果i 的值为 ▲ 。

【知识点】流程图 L1
【答案】7【解析】解析：第一次循环得到：3
128,5S i =⨯==；第二次循环得到：
58822,7S i =⨯==；此时 100S >，故执行“是”输出7i =.故答案为7.
【思路点拨】根据循环体进行循环即可.
【题文】12．已知,(,1),(2,4),||4,k Z AB k AC AB ABC ∈==≤∆u u u r u u u r u u u r
若则 是直角三角形的
概率是 ▲ 。

【知识点】向量的坐标运算 古典概型 F2 K2
【答案】37
【解析】解析：因为2
415AB k =≤⇒≤u u u r ，又因为k Z ∈，所以
{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，在ABC V 中()2,3BC AC AB k =-=-u u u r u u u r u u u r
，若为直角三角形可得.0,.0,.0,AC AB AB BC AC BC ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2,3,1,8k k k k =-==-=，满足条件的有3个，所
以所求概率为
37.故答案为37. 【思路点拨】
根据2
415AB k =≤⇒≤u u u r 求得k 的集合为{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---共
有7个元素，根据直角三角形可得.0,.0,.0,AC AB AB BC AC BC ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
求得满足条件的k
有3个，即可得所求概率.
【题文】13．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲ 。

【知识点】三棱锥的内切球 G7
【答案】2π【解析】解析：将棱长均为2
的正方体，如图
（第11题图）
∵球与三棱锥各条棱都相切， ∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而2，半径2
2
r =，∴该球的表面积为22
2(
42
42S r πππ==⨯=．
故答案为2π. 【思路点拨】2的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条
棱都相切的球，2
，由此算出内切球半径，用公式即
可得到该球的表面积．
【题文】14．已知)2,0(,1010)4cos(π
θπθ∈=
+，则sin(2)3πθ-= ▲ 。

【知识点】三角恒等变换 C7
433
-【解析】解析：由题意可得：21cos 2142cos cos 2sin 2421025πθππθθθ⎛
⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+==⇒+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，即4sin 25θ=，因为)2
,0(,1010)4cos(π
θπθ∈=+，
所以020,,422πππθθ⎛⎫<+<⇒∈ ⎪⎝⎭根据同角三角恒等基本关系可得3
cos 25
θ=，由正弦差角公式可得：
433sin 2sin 2cos cos 2sin 333πππθθθ-⎛
⎫-=-=
⎪⎝⎭
433-. 【思路点拨】将已知式子平方可得：4sin 25θ=，因为已知)2
,0(,1010)4cos(π
θπθ∈=+，
可得20,,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
根据同角三角恒等基本关系可得3cos 25θ=，利用正弦差角展开公式可
得.
【题文】15．已知ABC ∆中，BC CA CA AB •=•uu u r uu r uu r uu u r ，2BA BC +=uu r uu u r ，且2,33B ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则BC BA •uu u r uu r
的取值范围是 ▲ 。

【知识点】向量的数量积 F3
【答案】22,3⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】解析：因为BC CA CA AB •=•uu u r uu r uu r uu u r ，所以
()()()
..0CA BC AB BA BC BC BA -=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22BA BC =u u u r u u u r
可得AB BC =，因为2BA BC +=uu r uu u r 可得222.4BA BA BC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
，设AB BC a ==，所以有
222222cos 41cos a a B a B +=⇒=
+，因为 2,33B ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，可得11cos ,22B ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2
2cos 22.cos 22,1cos 1cos 3B BA BC a B B B ⎡⎤==
=-∈-⎢⎥++⎣⎦u u u r u u u r ，故答案为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【思路点拨】根据题意BC CA CA AB •=•uu u r uu r uu r uu u r
可得AB BC a ==，由2BA BC +=uu r uu u r 平方可得222.4BA BA BC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得221cos a B =
+，根据角B 的范围求得11cos ,22B ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，
而2
2cos 2.cos 21cos 1cos B BA BC a B B B
===-++u u u r u u u r 即可求得.
【题文】16．已知椭圆的中心在坐标原点O ,A ,C 分别是椭圆的上下顶点，B 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，直线AF 与BC 相交于点D 。

若椭圆的离心率为1
2
，则BDF ∠的正切值 ▲ 。

【知识点椭圆的几何性质 H5
【答案】12e =
，所以可得,2a c b ==，在BDF V 中，BDF DBF DFB π∠=-∠-∠，而,DBF CBO ∠=∠tan b
CBO a
∠=，而
DFB AFO
∠=∠，tan b
AFO c
∠=，所以()()()22tan tan tan 1b b b a c c a BDF DBF DFB DBF DFB b ac b ac
π++∠=-∠-∠=-∠+∠=
=--，
将,2a c b ==
代入可求得：tan BDF ∠=
故答案为【思路点拨】根据题意可得BDF DBF DFB π∠=-∠-∠，由图像可得,DBF CBO ∠=∠DFB AFO ∠=∠，进而可得
()()tan tan tan BDF DBF DFB DBF DFB π∠=-∠-∠=-∠+∠，利用椭圆的图像可得
tan b CBO a ∠=
，tan b
AFO c
∠=，代入整理即可. 【题文】17．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC ，AD kAC =（k 为常数，且10<<k ），l BD =为定长，则ABC ∆的面积最大值为 ▲ 。

【知识点】解三角形 C8
【答案】)
1(222k l -【解析】解析：
如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，
设(),,0A x y y > ，AB AC =Q ，AD kAC kAB ∴==，即
222AD k AB =，
222
22x l y k x y ∴-+=+（）（），整理得：()()
222
2222
2
22
2221221111k x lx l l l k l y x x k k k k --+-=
=-+-≤----，即max 21kl y k =-， BD l =Q ，
∴()()()2max max 2121ABC ABD l S S k k ==-V V .故答案为)
1(222
k l -. 【思路点拨】如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，设(),,0A x y y >根据题意得到AD kAC kAB ∴==，两边平方得到关系式，利用勾股定理化简后表示出2
y ，变形后利用二次函数的性质求出y 的最大值，进而确定出三角形ABD 面积的最大值，根据
AD kAC =即可得出三角形ABC 面积的最大值．
【题文】三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【题文】18．（本小题满分14分） 如图，已知单位圆上有四点
()()1,0,cos ,sin ,E A θθ()()cos2,sin 2,cos3,sin3,03B C πθθθθθ⎛
⎫<≤ ⎪⎝
⎭，分别设
OAC ABC ∆∆、的面积为12S S 和.
（1）用sin cos θθ，表示12S S 和； （2）求
12cos sin S S
θθ
+的最大值及取最大值时θ的值。

【知识点】诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质 C3 C6
【答案】（1）()121sin 2,sin 1cos 2S S θθθ=
=-；（2
θ的值为3π.
【解析】解析：（1）根据三角函数的定义，知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠=
所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=，所以()111
11sin 3sin 222
S θθθ=⋅⋅⋅-=. 又因为12S S =+四边形OABC 的面积＝11
11sin 11sin sin 22
θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，
所以()21
sin sin 2sin 1cos 2
S θθθθ=-=-. （7分）
（2）由（1）知(
)12sin 1cos sin cos sin cos 11cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛
⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭. 因为03π
θ<≤
，所以4412
π
π
π
θ-
<-
≤
，所以sin()sin 412ππθ<-≤ 所以12cos sin S S θθ+
θ的值为3π. （14分）
【思路点拨】根据三角函数的定义得xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=，可得1S ，根据12S S =+四边形OABC 的面积，求得2S ；由（1
）得1
21cos sin 4S S πθθθ⎛⎫+-+ ⎪⎝
⎭，根据已知角的范围求得结果. 【题文】19．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
cos cos C
A =。

（1）求角A 的值； （2）若角6
B π
=
，BC
边上的中线AM =，求ABC ∆的面积。

【知识点】三角变换、正弦定理、余弦定理 C7 C8 【答案】（1）6
A π
=
；（2
【解析】解析：（1
）因为(2)cos cos b A C -=，
由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =， （2分）
y
即2sin cos cos cos B A A C C A
()A C =+ ． （2分） 因为B A C π＝－－，所以()sinB sin A C =+，
所以2sin cos B A B =．
因为0()B π∈，，所以0sinB ≠，
所以cos A =
，因为0A π<<，所以6A π=． （3分） （2）由（1）知π6
A B ==，所以AC BC =，23C π=． （1分） 设AC x =，则12
MC x =，又
AM = 在AMC V 中，由余弦定理
得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=
即222()2cos120,22
x x x x +-⋅⋅=o 解得 2.?x ＝ （4分）
故212sin 23
ABC S x π∆== （2分）
【思路点拨】由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C -=，
化简可得2sin cos B A B =，即可得
cos A =得6A π=；设AC x =，则12MC x =，在AMC V 中，由余弦定理解得 2.?x ＝再由面积公式求得三角形面积.
【题文】20．（本小题满分15分） 如图，在几何体SABCD 中， AD ⊥平面SCD ，BC ⊥
平面SCD ，2,1AD DC BC ===，又2SD =，
0120SDC ∠=。

（1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；
（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值。

【知识点】空间平行、垂直，以及线面成角等知识 G4 G5 G11
【答案】（1
（2
【解析】解析：过点D 作DC 的垂线交SC 于E ,以D 为原点,分别以,,DC DE DA 为,,x y z 轴建立空间上角坐标系
S A
B
C D
（第20题图）
00120,30SDC SDE ∠=∴∠=Q ,又2SD =,则点S 到y 轴的距离为1,到x 轴的距离
则有(0,0,0)D
,(1S -,(0,0,2)A ,(2,0,0)C ,(2,0,1)B 。

（4分） （1）设平面SAB 的法向量为(,,)n x y z =r ，
(2,01),(2)AB AS =-=--u u u r u u u r Q ．
则有2020
x z x z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩
，取x =
n =r
，又(3,SC =u u u r ， 设SC 与平面SAB 所成角为θ
，则sin cos ,20SC n θ=<>==u u u r r ， 故SC 与平面SAB
所成角的正弦值为20。

（5分） （2）设平面SAD 的法向量为(,,)m x y z =u r ，
(0,02),(2)AD AS =-=--u u u r u u u r Q ，
则有2020z x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩
，取x =
,0)m =u r 。

cos ,n m n m n m ∴<>===⨯r u r r u r g r u r ， 故平面SAD 与平面SAB
所成的锐二面角的余弦值是5
. （5分） 【思路点拨】过点D 作DC 的垂线交SC 于E ,以D 为原点,分别以,,DC DE DA 为,,x y z
轴建立空间上角坐标系，求得点坐标，进而得到平面SAB 的法向量，利用线面角公式求得；求得平面SAD 的法向量，以及（1）中平面SAB 的法向量，利用二面角公式求得.
【题文】21．（本小题满分15分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2
P 。

过它的两个焦点1F ，2F 分别作直线1l 与2l ，1l 交椭圆于A B 、两点，2l 交椭圆于C D 、两点，且12l l ⊥．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形ACBD 的面积S 的取值范围。

【知识点】椭圆的标准方程 直线与椭圆的位置关系 H5 H8
（第21题图）
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）288[,6]49S ∈. 【解析】解析：（1）由122
c a c a =⇒=，所以22224,3a c b c ==， （2分） 将点P 的坐标代入椭圆方程得21c =， （2分）
故所求椭圆方程为22
143
x y += （1分） （2）当1l 与2l 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形
的面积为6S =， （2分）
若1l 与2l 的斜率都存在，设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为1k
-． ∴直线1l 的方程为(+1y k x =），
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1)143
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得，2222(43)84120k x k x k +++-= （1）
∴2122843k x x k +=-+， 212241243
k x x k -⋅=+， （1分）
∴12||x x -=
∴212212(1)|||43
k AB x x k +=-=+（2） （1分） 注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用1k
-代替（2）中的k ， 得 2212(1)||34
k CD k +=+， （2分） ∴22
22172(1)||||2(43)(34)
k S AB CD k k +=⋅=+⋅+，令2(0,)k t =∈+∞， ∴22272(1)6(122512)6(43)(34)122512
t t t t S t t t t +++-==+⋅+++， 66288661249491225t t
=-≥-=++ ∴288[,6)49
S ∈， 综上可知，四边形ACBD 面积的288[,6]49
S ∈. （3分） 【思路点拨】根据离心率求得22224,3a c b c ==，设出椭圆的方程将已知点代入即可求得；
当1l 与2l 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，求得四边形面积，若1l 与2
l 的斜率都存在，设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为1k -，写出直线方程与椭圆方程联立，求得
弦长,AB CD ，四边形面积为1
2AB CD ⨯然后求其范围即可.
【题文】22．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且
Λ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中,A B 为常数。

（1）证明：数列{}n a 为等差数列；
（2）证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立。

【知识点】等差数列的概念与求和公式、不等式 D2 E1
【答案】（1）略；（2）略.
解：由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知
⎩⎨⎧+=-+=--B A S S B A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=
+48
228B A B A
解得8,20-=-=B A . （4分）
（1） 820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ①
所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ②
②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③
所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n 因为 n n n S S a -=++11
所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n
因为 0)25(≠+n
所以 02123=+-+++n n n a a a
所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n
又 51223=-=-a a a a
所以数列}{n a 为等差数列 （5分）
（2） 由（1）可知，45)1(51-=-+=n n a n ，
要证 15>-n m mn a a a
只要证 n m n m mn a a a a a 215++>，
因为 45-=mn a mn ，
16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，
故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为
372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m
所以命题得证 （5分）
【思路点拨】根据已知求得123,S ,S S 的值，结合
Λ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n 可求得8,20-=-=B A ，即
820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ，然后利用等差中项，证明数列{an}为等差数列；要证 15>-n m mn a a a 移项平方可得n m n m mn a a a a a 215++>，即
16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，利用不等式m n a a ≤+证得.。