高中数学 2.42.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4

第二十一页，共33页。
跟踪 训练
∵π4≤θ≤π2， ∴当 θ＝π4时，csions θθ＝1，即D→E·D→C的最大值为 1. 答案：1 1
第二十二页，共33页。
题型2 判断(pànduàn)三角形形状
例2 已知△ABC 中，A→B＝A→C＝4，且A→B·C→A＝－8，试判断 △ABC 的形状．
第二章 平面向量 2．4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的物理(wùlǐ)背景
及其含义
第一页，共33页。
栏 目 链 接
第二页，共33页。
1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的
关系．
2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．
栏 目
链
3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角
目 链
接
(2)当 θ＝π 时，a 与 b___反__向_(_f_ǎ；n xiànɡ)
(3)当 θ＝π2时，a 与 b___垂_直__(_c_h，uíz记hí)__a_⊥__b___．
第五页，共33页。
基础
梳理
2．已知两个___非_零____向量 a 与 b，我们把数
量_|a_|_|b_|c_o_s_θ_叫做 a 与 b 的数量积(或内积)记作
第十三页，共33页。
自测 自评
1．已知|a|＝4，|b|＝2 且 a 与 b 的夹角为 60°，
则 a·b＝________.
栏 目 链 接
答案：4
第十四页，共33页。
自测 自评
2．已知 a·b＝12，且|a|＝3，|b|＝5，则 b 在 a 方向上的投
影为________．
栏 目 链 接
答案：4
＝－6e21＋e1·e2＋2e22＝－27，
a2＝(2e1＋e2)2＝4e21＋4e1·e2＋e22＝7， b2＝(2e2－3e1)2＝4e22－12e1·e2＋9e21＝7，
第三十页，共33页。
跟踪 训练
∴|a|＝ 7，|b|＝ 7，
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－72 7×
7＝－21.
解析：∵向量(a＋kb)与(a－kb)互相垂直， ∴(a＋kb)·(a－kb)＝0，
即 a2－k2b2＝9－16k2＝0.∴k＝±34. 点评：记住 a·b＝0⇔a⊥b.
第二十六页，共33页。
跟踪 训练
3．已知|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为π3，若向量 2a＋kb
与 a＋b 垂直，求 k 的值．
栏 目 链 接
第十八页，共33页。
题型1 求向量(xiàngliàng)的数量积及向量(xiàngliàng)的模
例1 已知|a|＝3，|b|＝4 且 a 与 b 的夹角为 θ＝120°，求：a·b，(a＋b)2，
|a－b|.
分析：根据向量的运算律求(a＋b)2，|a－b|，求模时转化 栏
目
为求向量的平方问题，即|a|2＝a2.
解析：∵|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为π3， ∴a·b＝|a||b|cosπ3＝2×1×21＝1.
∵向量 2a＋kb 与 a＋b 垂直，
∴(2a＋kb)·(a＋b)＝0. 又(2a＋kb)·(a＋b)＝2a2＋(k＋2)a·b＋kb2，
∴2×4＋k＋2＋k＝0，∴k＝－5.
第二十七页，共33页。
栏 目
数量积直接应用公式；要计算一个向量的模，一般先计算 链
接
该向量的平方．注意公式 a2＝|a|2，(a±b)2＝a2＋b2±2a·b 的 应用．
第二十页，共33页。
跟踪
训练
1．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 D→E·C→B的值为________；D→E·D→C的最大值为________．
接
度和垂直问题．
第三页，共33页。
栏 目 链 接
第四页，共33页。
基础
梳理
一、向量的数量(shùliàng)积的概念
1．已知非零向量 a 与 b，作O→A＝a，O→B＝b，则
_∠___A_O__B_＝__θ_(_0_≤__θ_≤___π_)_叫做 a 与 b 的夹角．
栏
练习：(1)当 θ＝0 时，a 与 b___同__向___；
3＝－21.
∴a 与 b 的夹角为 120°.
点评：注意单位向量 e1，e2 的模为 1.
第二十九页，共33页。
跟踪
训练
4．已知单位向量 e1，e2 的夹角为 60°，求向量 a＝2e1＋ e2 与 b＝2e2－3e1 的夹角．
解析：依题意有 e21＝1，e22＝1，e1·e2＝21，
a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)
分析：由A→B·C→A＝－8 而得出∠A＝60°，从而得出判断．
解析：A→B·C→A＝A→B·C→Acos(π－A) ＝4×4×(－cos A)，
∵A→B·C→A＝－8，∴cos A＝12.
第二十三页，共33页。
又∵A 为三角形的内角，∴A＝60°. 又A→B＝A→C＝4，∴△ABC 为正三角形． 点评： 向量的夹角必须共起点．所以向量A→B与
第十五页，共33页。
自测 自评
3．已知|a|＝6，e 是单位向量，它们之间夹角是 45°，则
a 在 e 方向上的投影________．
栏 目 链 接
答案：3 2
第十六页，共33页。
自测
自评
4．已知△ABC 中，a＝5，b＝8，C＝60°，则 B→C·C→A＝________.
答案：－20
第十七页，共33页。
题型4 求向量(xiàngliàng)的夹角
例4 已知单位向量e1，e2的夹角(jiā jiǎo)为60°，求向量a＝ e1＋e2与b＝e2－2e1的夹角(jiā jiǎo)．
分析：要求向量 a＝e1＋e2 与 b＝e2－2e1 的夹角， 即先求出这两向量的数量积及它们的模．
解析：依题意有 e21＝1，e22＝1，e1·e2＝21，a·b＝
对于⑤：若非零向量 a、b 垂直，有 a·b＝0.
对于⑥：由 a·b＝0 可知 a⊥b 可以都非零．
栏 目
链
对于⑦：若 a 与 c 共线，记 a＝λc.
接
则 a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，
∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a .
若 a 与 c 不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.
栏
目
角的范围 0°≤α<90° α＝90° 90°<α≤180°
链 接
a·b 的符号
第八页，共33页。
思考 应用
解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运
算的结果是一个向量．影响数量积大小的因素有向量各
自的长度和它们之间的夹角.
栏
目
链
接
角的范围 0°≤α<90° α＝90° 90°<α≤180°
这三公式可解决长度、角度、垂直等问题.
第三十三页，共33页。
所以△ABC 为等腰三角形．
第二十五页，共33页。
题型3 向量(xiàngliàng)的垂直问题
例3 已知|a|＝3，|b|＝4 且 a 与 b 不共线．k 为何值时，
向量(a＋kb)与(a－kb)互相垂直？
分析：根据向量(a＋kb)与(a－kb)互相垂直的条件列出关于 k 的关
系式，求关于 k 的方程．
第十一页，共33页。
思考 应用
2．判断正误，并简要说明理由．
①a·0＝0；②0·a＝0；③0－A→B＝B→A；④|a·b|＝|a||b|；⑤
若 a≠0，则对任一非零 b 有 a·b≠0；⑥a·b＝0，则 a 与 b 中
至少有一个为 0；⑦对任意向量 a，b，c 都有(a·b)c＝a(b·c)；
栏 目
C→A的夹角为(π－A).
第二十四页，共33页。
跟踪
训练
2 ． 已 知 O 为 △ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 满 足 O→B－O→C·O→B＋O→C－2O→A＝0，试判断△ABC 的形状．
解析：由O→B－O→C·O→B＋O→C－2O→A＝0 得 C→B·A→B＋A→C＝0， 即C→B·2A→D＝0(D 为 BC 边的中点)， 所以C→B⊥A→D.
(e1＋e2)·(－2e1＋e2)＝－2e21－e1·e2＋e22＝－32，
第二十八页，共33页。
a2＝(e1＋e2)2＝e21＋2e1·e2＋e22＝3，
b2＝(－2e1＋e2)2＝4e21－4e1·e2＋e22＝3，
∴|a|＝ 3，|b|＝ 3，
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－32 3×
a·b 的符号
正
零
负
第九页，共33页。
基础
梳理
二、平面向量数量(shùliàng)积的性质
1．设 a 与 b 均为非空向量：
(1)a⊥b⇔__a_·b_＝__0__.
(2)当 a 与 b 同向时，a·b＝___|a_|_|b_|____，当 a 与 b 反向时，
栏 目 链
a·b＝_－___|_a_||_b_|__，特别地 a·a＝___|_a_|_2____或|a|＝___a_·_a___.
分析：向量的多项式运算与代数式的多项式运算法则是一 致的．
解析：设∠DEA＝θ，则D→E与C→B的夹角为π2－θ，D→E与D→C 的夹角为 θ，D→E·C→B＝|D→E|·|C→B|·cosπ2－θ＝sin1 θ·sin θ＝1，
D→E·D→C＝|D→E|·|D→C|·cos
θ＝csions
θ θ.
链
⑧a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.
接
解析：上述 8 个命题中只有①③⑧正确． 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有 0·a＝0.
对于②：应有 0·a＝0.
第十二页，共33页。
思考
应用
对于④：由数量积定义有|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|≤|a||b|，这里
θ 是 a 与 b 的夹角，只有 θ＝0 或 θ＝π 时，才有|a·b|＝|a||b|.
链 接
解析：a·b＝|a||b|cos 120°＝－6.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13，
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37，
∴|a－b|＝ 37.
第十九页，共33页。
点评：向量数量积公式和性质是解决向量数量积和模 的问题的重要工具．知道向量的模和夹角．计算两向量的
不是向量；当 θ 为锐角时投影为正值；当 θ 为钝角
栏
目
时投影为负值；当 θ 为直角时投影为 0；当 θ＝0
链 接
时投影为|b|；当 θ＝π 时投影为－|b|.
4．零向量与任意向量的数量积为____0____．
第七页，共33页。
思考 应用
1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不 同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.
3．向量的数量积满足下列运算律： 已知向量 a，b，c 与实数 λ， (1)a·b＝___b_·_a___(___交__换_(_j_iā律oh)u．àn)
(2)(λa)·b＝__λ_(a_·_b_)__ ＝ a_·_(λ_b_)__ (___结__合_(_j_ié律hé))．
(3)(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c _(___分_配____律)．
栏
___a_·b____，即 a·b＝_|a_|_|b_|_co_s_θ_，其中 θ 是 a 与 b
目 链 接
的夹角，_|_a_|c_o_s_θ__叫做向量 a 在 b 方向上的
___投_影__(_tó_u．yǐng)
第六页，共33页。
基础
梳理
3．“投影”的概念：作图定义：|a|cos θ 叫
做向量 a 在 b 方向上的投影．投影也是一个数量，
∴a 与 b 的夹角为 120°.
第三十一页，共33页。
第三十二页，共33页。
1．两向量的数量积是一个数，而不是向量． 2．向量的数量积不满足结合律．
3．计算长度|a|＝ a·a，|a±b|＝ (a±b)2＝ a2±2a·b＋b2； 求向量夹角 cos θ＝|aa|·|bb|；证明垂直 a·b＝0⇔a⊥b，数量积
接
Hale Waihona Puke a·b(3)cos θ＝__|_a_||_b_| __.
(4)|a·b|≤__|_a_|_|b_|__.
第十页，共33页。
基础 梳理
2．a·b 的几何意义：数_量__(_sh_ù_l_ià_n_g_)_积_a_·_b_等__于_a_的__长__度__与_b_在__a__ ___方_向__上__的__投_影__c_o_s_θ_的__乘__积________.