§4.6条件数学期望

y
1
x
O
1
PX
1 3
Y
1
2
=FX
Y
1
3
1 2
13
fX Y
x
1 2
dx
1/ 3 0
3 2
x dx
4. 9
依定义，有
E
X
Y
1
2
xf X Y
x
1
2
dx
1 0
x
3 2
x dx
5 ,
12
E
X2
Y
1
2
x2
fX Y
x
1
2
dx
1 0
x2
3 2
x dx
1 ,
2
E Y 2 X xi E Y X xi
为在X=xi条件下Y的条件方差，记作 D Y X xi ，即
2
D Y X xi E Y 2 X xi E Y X xi .
【注】若在X=xi条件下，Y取有限个值，则E(Y X=xi)存在。
例1 设二维随机变量(X, Y)的概率分布为
3 7
4, 7
12
1
P Y 2 X 1 P{ X 1,Y 2} P{ X 1}
6 7
2, 7
12
在X=1条件下，Y的条件概率分布为
Y
012
P{Y=yj|X=1} 1/7 4/7 2/7
依定义，E Y X 1 0 1 1 4 2 2 8 , 7 7 77
E Y 2 X 1 02 1 12 4 22 2 12 ,
2
E X2 Y yj E X Y yj
为在Y=yj条件下X的条件方差，记作D X Y yj ，即
2
D X Y yj E X2 Y yj E X Y yj .
【注】若在Y=yj条件下，X取有限个值，则E(XY=yj)存在。
给定xiR，有P{X=xi}>0，若 y j P Y y j X xi 绝对 j
Y X
0
12
0 1/6 1/12 1/6 1 1/12 1/3 1/6
求条件数学期望E(Y|X=1)及条件方差D(Y|X=1)。
【解】显然P{X=1}=7/12>0，依条件概率的定义，有
1
P Y
0
X
1
P{ X 1,Y P{ X 1}
0}
12 7
1, 7
12 1
P Y
1
X
1
P{ X 1,Y 1} P{ X 1}
收敛，则称级数和为在X=xi条件下Y的条件数学期望， 记作E(Y|X=xi)，即
E Y X xi y j P Y yj X xi . j
若级数 y j P Y y j X xi 发散，则称在X=xi条件下 j
Y的条件数学期望不存在。
如果条件数学期望E Y 2 X xi 也存在，则称
1
)
2
2 2 1 2
因此
Y
~
N
2
2 1
(x
1 ),
2 2
1 2
.
其中， E
Y
Xx
2
2 1
(
x
1
),
D
Y
Xx
2 2
1 2
.
【提纲挈领】 10 理解条件数学期望和条件方差的定义(*)。
若积分 y fY X y x dy 发散，则称在X=x条件下Y的条
件数学期望不存在。
如果条件数学期望 E Y 2 X x也存在，则称
E Y 2 X x E Y X x2
为在X=x条件下Y的条件方差，记作 D Y X x，即
DY
X x E Y 2
X x
E Y
X
x
2
.
【注】若在X=x条件下，Y的取值区间有限，则E(Y X=x) 存在。
E X Y y x fX Y x y dx.
若积分 x fX Y x y dx 发散，则称在Y=y条件下X的条
件数学期望不存在。
如果条件数学期望 E X 2 Y y 也存在，则称
E X 2 Y y E X Y y2
为在Y=y条件下X的条件方差，记作 D X Y y，即
收敛，则称级数和为在Y=yj条件下X的条件数学期望， 记作E(X|Y=yj)，即
E X Y yj xi P X xi Y y j . i
若级数 xi P X xi Y yj 发散，则称在Y=yj条件下 i
X的条件数学期望不存在。
如果条件数学期望 E X 2 Y yj 也存在，则称
D X Y y E X 2 Y y E X Y y 2。
【注】若在Y=y条件下，X的取值区间有限，则E(XY=y) 存在。
给定xR，有fX(x)>0，若 y fY X y x dy绝对收敛，则
称积分值为在X=x条件下Y的条件数学期望，记作
E(Y|X=x)，即
E Y X x y fY X y x dy.
4
D
X
Y
1 2
E
X2
Y
1 2
E
X
Y
1 2
2
1 4
5 12
2
11 144
.
设二维随机变量(X, Y)~N(1, 2, 12, 22, )，则
由§3.5例3知，在X=x(-<x<+)的条件下，
fY X y x
1
ห้องสมุดไป่ตู้
e ， y . 2
2 2
1 1 2
y
2
2 1
(
x
3 2
y,
0 y 1,
0,
其他.
在Y=y(0<y<1)条件下，
fX Y
xy
f (x, y) fY ( y)
f (x, 3
y) y
2
3 2
x
y
y
,
2
0,
0 x 1, 其他，
特别地，在Y=1/2条件下，
依定理，有
fX Y
x
1 2
3 2
x, 0,
0 x 1, 其他，
y
例2 设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为
1
f
( x,
y)
2
x 0,
y,
0 x 1, 0 y 1,
其他.
O
x 1
求
fX Y x
y,
P
X
1Y 3
1 2
,
E
X
Y
1 2
,
D
X
Y
1 2
.
【解】如图所示，依定理，有
fY ( y)
f
( x,
y)dx
1 0
(2
x
y)dx
§4.6 条件数学期望(*)
一 条件数学期望和条件方差的定义
一 条件数学期望和条件方差的定义
定义4.8 设二维离散型随机变量(X ,Y)的概率分布为
pi j=P{X= xi ,Y= yj}, i , j=1, 2, ...
给定yjR，有P{Y=yj}>0，若 xi P X xi Y y j 绝对 i
7
7
77
DY
X 1 E
Y2
X 1
E Y
X 1
2
12 7
8 7
2
20 49
.
定义4.9 设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为
f(x, y)，
给定yR，有fY(y)>0，若 x fX Y x y dx绝对收敛，则
称积分值为在Y=y条件下X的条件数学期望，记作
E(X|Y=y)，即