高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 提高

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案
《函数》全章复习与巩固
编稿：审稿：
【学习目标】
1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；
2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；
5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；
6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：关于函数的概念
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原
f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()
合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
4．函数的定义域
函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：
（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范
围；
（3）已知[]()f
x ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．
5．函数的值域
由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：
（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；
（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值
域（注意0t ≥）；
（3）形如(0)ax b
y c cx d
+=
≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠
⎨⎬⎩
⎭
； （4）形如22
ax bx c
y mx nx p
++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式
函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．
求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．
要点二：函数的单调性
（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．
（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．
（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）
区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．
要点三：函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
要点四：图象的作法与平移
（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数
(0)y kx b k =+≠，其中y k x
∆=
∆． 2．二次函数
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2
(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．
对于二次函数2
2
24()()24b ac b f x ax bx c a x a a
-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭；对称轴为2b
x a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值2
44ac b a
-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭；对称轴为2b
x a =-；()f x 在
,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值2
44ac b a
-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）
（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；
（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
要点七：函数与方程
（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．
（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且
()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这
个0x 也就是方程()0f x =的根．
（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于
0．
（5）在实数范围内，二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．
①0∆>，方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】
类型一：映射
例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；
（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b 2－4a ≥0；（3）b 2=4a 【解析】
（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，
于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩
，
∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨
-=⎩①②
由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．
∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2
{4,1}M a a =--，2
{41,2}N b b =-+-，
:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N ，故222242420
411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩
⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0
的两根，故a+b=4．
类型二：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )
A ．12(||)(||)f x f x <
B ．21()()f x f x ->-
C ．12()()f x f x <-
D ．12()()f x f x -> 【答案】D
【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A ．(25)(11)(80)f f f -<<
B ．(80)(11)(25)f f f <<-
C ．(11)(80)(25)f f f <<-
D ．(25)(80)(11)f f f -<< （2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有
2121
()()
0f x f x x x -<-，则（ ）
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】（1）D （2）A
【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，
(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．
（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．
例3．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）
A ．－2
B ．－4
C ．－8
D ．不能确定 【答案】 B
【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且
12()()0f x f x ==，22
214(40)b ac x x b ac --=
->，2()f x x bx c =++的最大值是224444ac b b ac
a a --=-．依题意，当s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍240,4
b a
c a ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
中的每一
个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即
相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有224404b ac b ac
a
--=>-，
4a a -=-．又a ＜0，因此a=－4，选B 项．
举一反三：
【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B
【解析】 要使()g x 有意义，则22
10
x x x ≤≤⎧⎨
-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．
例4．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；
（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围． 【答案】（1）右图；（2）1
(,2)
[,)2
-∞-+∞． 【解析】 （1）由于25, 2
()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩
，则函数()y f x =的图象如图所示．
（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当1
2
a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1
(,2)[,)2
-∞-+∞．
举一反三：
【变式1】对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a b
a b
≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,
且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.
【答案】
13
16
-（,0） 【解析】由定义运算“*”可知 22
2
2112()0(21)(21)(1),21148()=11(1)(21)(1),211()024x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧--≤⎪⎧-----≤-⎪⎪=⎨⎨------⎪⎩⎪--+⎪⎩，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是
13
-（,0）. 【变式2】设函数21
(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x
=
=+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+> 【答案】B
【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0<a 时,要想满足条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B. 例5． 已知函数2
()a
f x x x
=+
（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．
【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．
【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a ≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）（－∞，16]．
【解析】 （1）当a=0时，2
()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22
()()()f x x x f x -=-==，
∴()f x 为偶函数．
当a ≠0时，2
()a
f x x x
=+
（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，
∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，
22
12121212121212
()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+
--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．
∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．
又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．
解法二：当a=0时，2
()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数a
x
在[2，+∞）上为增函数， ∴2
()a
f x x x
=+
在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．
【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1
()f x kx x
=-
，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【答案】（1）2 ()(),00,-∞+∞；
（2）单调递增 【解析】（1）
(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1
()2f x x x
∴=-，定义域为：()
(),00,-∞+∞．
（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则
121212
11()()22f x f x x x x x -=-
-+ =1212
1
()(2)x x x x -+
121212
1
,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<
所以函数1
(2)2f x x
=-
在()0,+∞上单调递增． 【变式2】函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121
(
)[()()]22
x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题: ①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x
在上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341
(
)[()()()()]44
x x x x f f x f x f x f x +++≤+++
其中真命题的序号是
（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
【答案】D
【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误
例6．请先阅读下列材料，然后回答问题． 对于问题“已知函数2
1
()32f x x x
=
+-，问函数()f x 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：
解：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4，当x=1时，u 有最大值，u max =4，显然u 没有最小值．∴当x=1时，()f x 有最小值
1
4
，没有最大值． （1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； （2）对于函数2
1
()(0)f x a ax bx c
=
>++，试研究其最值情况． 【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，()f x 有最大值
244a ac b -，此时2b
x a
=-，没有最小值．
【解析】（1）不正确．没有考虑到u 还可以小于0．
正确解答如下：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4≤4，
当0＜u ≤4时，
114u ≥，即1()4f x ≥；当u ＜0时，1
0u
<，即()0f x <． ∴()0f x <或1
()4
f x ≥，即()f x 既无最大值，也无最小值．
（2）对于函数21
()(0)f x a ax bx c
=>++，令u=ax2+bx+c （a ＞0）
． ①当Δ＞0时，u 有最小值，2min
404ac b u a
-=<，
当2404ac b u a -≤<时，2144a u ac b ≤-，即2
4()4a
f x ac b
≤-；当u ＞0时，即()0f x >． ∴()0f x >或2
4()4a
f x ac b ≤
-，即()f x 既无最大值，也无最小值．
②当Δ=0时，u 有最小值，2min 404ac b u a
-==，
此时，u ≥0，∴＜
1
0u
>，即()0f x >，()f x 既无最大值，也无最小值． ③当Δ＜0时，u 有最小值，2min
404ac b u a
-=>，
即2
404ac b u a
-≥
>． ∴21404a u ac b <
≤-，即2
40()4a
f x ac b <≤
-． ∴当2b x a =-时，()f x 有最大值2
44a
ac b
-，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值． 当Δ＜0时，()f x 有最大值
244a ac b -，此时2b
x a
=-
，没有最小值． 【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课
标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知函数y =M ，最小值为m ，则
m
M
的值为（ ）
A ．
14 B ．1
2
C D 【答案】 C
【解析】 函数的定义域为[－3，1]．
又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤
-+≤，∴4≤y 2≤8．
又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．
∴
2m M =．故选C 项． （2）设2, ||1(), ||1
x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 的值域
是（ ）
A ．（－∞，－1]∪[1，+∞）
B ．（－∞，－1]∪[0，+∞）
C ．[0，+∞）
D ．[1，+∞） 【答案】C
【解析】要使[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又()g x 是二次函数，定义域连续，故()g x 不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C 项． 【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．
类型三：函数的零点问题
例7．若函数2
()4f x x kx =-+在区间（1，6）内有零点，求k 的取值范围． 【答案】204,
3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】 二次函数在区间（1x ，2x ）上有零点，分以下四种情况：
【解析】
（1）(1)(6)0f f ⋅<，解得20
53
k <<
，如图1 （2）0(1)0(6)0162f f k ∆>⎧⎪>⎪⎪
⎨>⎪
⎪<<⎪⎩，解得45k <<，如图2
（3）0162
k
∆=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得4k =，如图3 （4）(1)07122f k =⎧⎪⎨<<⎪⎩或(6)07622
f k
=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得5k =，如图4或5 综上所述k 的取值范围是204,
3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
． 【总结升华】二次函数2
()f x ax bx c =++（不妨设0a >）在有限的开区间12(,)x x 内有零点的
条件是：（1）12()()0f x f x ⋅<（2）1212
0()0
()02f x f x b x x a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩
（3）1202b x x a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩（4）112
1()022f x x x b x a =⎧⎪
⎨+<-<⎪⎩或212
2
()0
2
2f x x x b x a =⎧⎪
⎨+<-<⎪⎩ 举一反三：
【变式1】试讨论函数2
()2||1()f x x x a a R =---∈的零点个数． 【解析】
由2
()2||10f x x x a =---=得22||1x x a -=+，令2
2
2,0,
()()12,0,
x x x g x h x a x x x ⎧-≥⎪==+⎨+<⎪⎩ (),()g x h x 的图象如图所示，
(2)(0)(2)0,(1)(1)1g g g g g -===-==-．
当11,a +<-即2a <-时，()g x 与()h x 无公共点．
当11a +=-或10a +>，即2a =-或1a >-时，()g x 与()h x 有两个交点． 当110,a -<+<即21a -<<-时，()g x 与()h x 有四个交点． 当10a +=，即1a =-时，()g x 与()h x 有三个交点． 所以，当2a <-时，函数()f x 无零点． 当2a =-或1a >-时，函数()f x 有两个零点． 当21a -<<-时，函数()f x 有四个零点． 当1a =-时，函数()f x 有三个零点．
【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．
类型四：函数的综合问题
例8．（1）已知函数2
()21f x ax ax =++在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a 的值； （2）已知函数2
()22f x x ax =-+，x ∈[－1，1]，求函数()f x 的最小值．
【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a ＞0，a ＜0三种情况分析； 第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定． 【答案】（1）－3或3
8
；（2）略 【解析】
（1）2
()(1)1f x a x a =++-．
①当a=0时，函数()f x 在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；
②当a＞0时，函数()
f x在区间[－1，2]上是增函数，最大值为(2)814
f a
=+=，
3
8
a=；
③当a＜0时，函数()
f x在区间[―1，2]上是减函数，最大值为(1)14
f a
-=-=，a=―3．综上，a的值为－3或
3
8
．
（2）222
()22()2
f x x ax x a a
=-+=-+-，对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：
当a≥1时，函数()
f x在区间[―1，1]上是减函数，最小值为(1)32
f a
=-；
当―1＜a＜1时，函数()
f x在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为2
()2
f a a
=-；
当a≤―1时，函数()
f x在区间[―1，1]上是增函数，最小值为(1)32
f a
-=+．【总结升华】求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．
举一反三：
【变式1】设函数2
()22
f x x x
=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数()
f x的最小值．
【答案】
2
2
22,1
()1,01
1,0
t t t
f x t
t t
⎧-+>
⎪
=≤≤
⎨
⎪+<
⎩
【解析】二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．
22
()22(1)1
f x x x x
=-+=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数()
f x在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为
2(1)1f t t +=+；
当1≤t+1≤2，即0≤t ≤1时，如上图②，最小值为(1)1f =；
当t ＞1时，如上图③，函数()f x 在区间[t ，t+1]上为增函数，所以最小值为2
()22f t t t =-+．
综上有2222,1()1,011,0t t t f x t t t ⎧-+>⎪
=≤≤⎨⎪+<⎩
【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．
例9．设a 为实数，函数2
()2()||f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值；
（3）设函数()()h x f x =，x ∈（a ，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式()1h x ≥的解集．
【答案】（1）（―∞，－1]；（2）222, 0
()2, 03
a a g a a a ⎧-≥⎪
=⎨<⎪⎩；（3）略．
【解析】（1）因为(0)||1f a a =--≥，所以－a ＞0，即a ＜0． 由a 2≥1知a ≤―1．因此a 的取值范围为（―∞，－1]． （2）记()f x 的最小值为()g a ，我们有
2
222223(), ()2()||33
()2, a a x x a f x x x a x a x a a x a ⎧-+
>⎪=+--=⎨⎪+-≤⎩
①② （i ）当a ≥0时，2
()2f a a -=-，由①②知2
()2f x a ≥-，此时2
()2g a a =-．
（ii ）当a ＜0时，22()3
3a
f a =
．若x ＞a ，则由①知22
()3
f x a ≥；若x ≤a ，则x+a ≤2a ＜0，由②知2
22()23f x a a ≥>．此时22()3
g a a =．
综上得222, 0()2, 03
a a g a a a ⎧-≥⎪
=⎨<⎪⎩．
（3）（i
）当2
(,[,)22
a ∈-∞-
+∞时，解集为（a ，+
∞）； （ii ）当22
a ⎡⎫
∈-⎪⎢⎪⎣⎭时，解集为3a ⎡⎫++∞⎪
⎢⎪⎢⎣
⎭； （iii ）当2a
⎛⎫
∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，解集为3,33a a a ⎛⎡⎫
+-+∞ ⎪⎢
⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣⎭
． 类型五：函数的实际应用
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】
例10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）
()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度x 与车流速度v 之间的函数关系，然后再转化
为求函数的最大值问题。

求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。

【答案】（Ⅰ）60,020,()1(200),202003
x v x x x ≤≤⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当020()60x v x ≤≤=时，；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设
再由已知得12000,32060,2003a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=
⎪⎩
解得
故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003
x v x x x ≤≤⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003
x x f x x x x ≤≤⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩
当020()x f x ≤≤时，为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；
当20200x ≤≤时，21110000
()(200)(100)333
f x x x x =
-=--+
所以，当100x =时，()f x 在区间[20，200]上取得最大值10000
3
综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值
10000
33333
≈． 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 举一反三：
【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值． 【答案】4
【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，
则 80001
50022y n c n =+⨯⨯+ 800016
500500()n c n c n n
=++=++
2
4000c
=++，
=
，即n=4时，y 取得最小值且y min =4000+c ． 所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．
【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16
y x x
=+在（0，+∞）上的单调性求最值．。