河北省沧州市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析

河北省沧州市2021届新高考数学仿真第三次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，
31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ） A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()()53
21log 3log log 55f f f ⎪<⎛
⎫ ⎝⎭< D ．()()23
51log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭< 【答案】D
【解析】
【分析】 利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项.
【详解】
因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=，
故35log 5log 30>>.
又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>.
因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，
所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<.
因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
-， 所以()()23
51log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭
<. 故选：D.
【点睛】 本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.
2．记集合(){}22,16A x y x y =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( )
A ．14π
B ．1π
C ．12π
D ．24ππ
- 【答案】C
【解析】
【分析】
据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M 落在区域2Ω内的概率，只要求A 、B 所表示区域的面积，然后代入概率公式21P Ω=
Ω区域的面积区域的面积
，计算即可得答案． 【详解】
根据题意可得集合22{(,)|16}A x y x y =+„所表示的区域即为如图所表示：
的圆及内部的平面区域，面积为16π，
集合{(,)|40B x y x y =+-„，0x …，0}y …表示的平面区域即为图中的Rt AOB ∆，14482
AOB S ∆=⨯⨯=， 根据几何概率的计算公式可得81162P ππ
=
=， 故选：C ．
【点睛】 本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．
3．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2
间的运动路程为（ ）m ．
A ．1
B ．43
C ．494
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612
()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】
由题中图像可得，
2,01()2,1311,363
t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩
由变速直线运动的路程公式，可得
613111326
21()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 6
1
3221
1231492(m)64t t t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭． 所以物体在
1s~6s 2间的运动路程是49m 4
． 故选：C
【点睛】 本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 4．已知集合{}{}3,*,2,*n M x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ）
A ．1194
B ．1695
C ．311
D ．1095
【答案】D
【解析】
【分析】
确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n 中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．
【详解】
35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n
有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)
c c c c ⨯++++=+++⨯+
⨯=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的
前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n 中的．
5．在复平面内，复数2i i z -=
（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C
【解析】
【分析】 化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限．
【详解】 解：复数222(2)(2)12i i i z i i i i i
--===--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限
故选：C ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．
6．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）
A
B ．
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果.
【详解】 因为3(21)ai b a i +=--，所以3,(21),b a a =⎧⎨--=⎩
， 解得3,31,b a =⎧⎨=⎩
则|3|13a bi i +=+==故选：A.
【点睛】
本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.
7．直线0(0)ax by ab ++=>与圆22
1x y +=的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相交或相切
【答案】D
【解析】
【分析】 由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．
【详解】
解：由题意，圆22
1x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，
∵圆心到直线的距离为d =
222a b ab +≥Q ，
1d ∴≤，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
8．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则
2133e e +的最小值为（ ） A
．6+
B
．6+ C ．8
D ．6 【答案】C
【解析】
【分析】 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简
2133
e e +，结合基本不等式即可求解. 【详解】 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a
=，2c e a ='，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122
m PF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
68≥+= 当且仅当73a c =
时，取等号. 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
9．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A ．若m αP 且n αP ，则m n P
B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βP
C ．若m α⊥且m βP ，则αβ⊥
D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n 【答案】C
【解析】
因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ．
10．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，
()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则()3log 2a f =
，b f ⎛=- ⎝，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．c b a >> 【答案】C
【解析】 ∵y=f （x+1）是偶函数，∴f （-x+1）=f （x+1），即函数f （x ）关于x=1对称．
∵当x≥1时，()112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为减函数，∵f （lo
g 32）=f （2-log 32）= f （923log ）
且12
-
=34，log 34＜923log ＜3，∴b ＞a ＞c ， 故选C 11．
2(1i i
+=- ) A ．132i + B ．32i + C ．32i - D ．132
i -+ 【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
()()()()22122313131112222
i i i i i i i i i i ++++++====+--+ 本题正确选项：A
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
12．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”
的( )条件.
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】
对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立.
故选：B
【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据流程图依次运行直到1S ≤-，结束循环，输出n ，得出结果.
【详解】 由题：211,1,1log 0,211
S n S n ===+==+， 2
2220log log ,3213
S n =+==+， 222232log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环， 输出4n =.
故答案为：4
【点睛】
此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.
14．已知圆柱的上下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____
【答案】54π
【解析】
【分析】
由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.
【详解】
解：因为轴截面是正方形，且面积是36，
所以圆柱的底面直径和高都是6
223654V r h πππ==⨯⨯=
故答案为：54π
【点睛】
考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.
15．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________. 【答案】
25 【解析】
【分析】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有2
5C 种方法,根据公式即可求得概率.
【详解】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有25
C 种方法,1425125C P C ⨯==. 故答案为:
25
. 【点睛】 本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.
16．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN =_________． 【答案】
32 【解析】
【分析】 由题意可得1(,0)2F ，又由于M 为FN 的中点，且点N 在y 轴上，所以可得点M 的横坐标，代入抛物线方程中可求点M 的纵坐标，从而可求出点N 的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.
【详解】
解：因为F 是抛物线2:2C y x =的焦点，所以1
(,0)2
F ， 设点M 的坐标为00(,)x y ，
因为M 为FN 的中点，而点N 的横坐标为0，
所以014x =，所以2011242y =⨯=，解得022
y =±， 所以点N 的坐标为(0,2)±
所以13242FN =+
=， 故答案为：
32 【点睛】
此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[]0,20、(]20,40、(]40,60、(]60,80、(]80,100分组，绘成频率分布直方图如图：
（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[]0,20和(]20,40内的人数；
（2）从所抽取的20人中得分落在组[]0,40的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望.
【答案】（1）所抽取的20人中得分落在组[]0,20和(]20,40内的人数分别为2人、3人；（2）分布列见解析， 1.2EX =.
【解析】
【分析】
（1）将20分别乘以区间[]0,20、(]
20,40对应的矩形面积可得出结果；
（2）由题可知，随机变量X 的可能取值为0、1、2，利用超几何分布概率公式计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，并由此计算出随机变量X 的数学期望值. 【详解】
（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]
0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人），得分落在组
(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）.
因此，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]
20,40的人数有3人； （2）由题意可知，随机变量X 的所有可能取值为0、1、2，
()33351010C P X C ===，()1223356
110C C P X C ===，()21
233
53210
C C P X C ===， 所以，随机变量X 的分布列为：
所以，随机变量X 的期望为012 1.2101010
EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查利用频率分布直方图计算频数，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属于基础题.
18．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率； （2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： ①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
【答案】（1）29
140
；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【解析】 【分析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40
a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a =时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分
布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出． 【详解】
解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单， 记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，
则()3
3035029
140
C P A C ==．
（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则
当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=； 当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=． 所以X 的分布列为
13111
()228234240247254238.6510
5510
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为 380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元， 因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘． 【点睛】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，1142AB AA A B BC AC =====，，，点F 为棱AB 的中点，点E 为线段11A C 上的动点.
（1）求证：EF BC ⊥；
（2）若直线1B E 与平面11A FC 所成角为60︒，求二面角11E BB A --的正切值. 【答案】（1）见解析；（2）2
3
【解析】 【分析】
（1）可证BC ⊥面1A EF ，从而可得EF BC ⊥.
（2）可证点E 为线段11A C 的三等分点，再过E 作11EG A B ⊥于G ，过G 作1GH BB ⊥，垂足为H ，则
EHG ∠为二面角11E BB A --的平面角，利用解直角三角形的方法可求tan EHG ∠.也可以建立如图所示
的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求tan EHG ∠. 【详解】
证明：（1）因为11,AB AA A B F ==为AB 中点，所以1A F AB ⊥.
因为平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B Ç平面ABC AB =，1A F ⊂平面11AA B B ， 所以1A F ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，故1A F BC ⊥，
又因为222BC AC AB +=，所以BC AC ⊥，则111,⊥⊥BC AC BC A E ， 又1111=⋂AC A E A ，故BC ⊥面1A EF ，又EF ⊂面1A EF ，所以BC EF ⊥. （2）由（1）可得：11
B C ⊥面111,A FC B E 在面11A FC 内的射影为11A C ，
则11B EC ∠为直线1B E 与平面11A FC 所成的角，即1160B EC ∠=︒. 因为BC AC ⊥，所以1111112B C AC B C ⊥=，，所以1233EC =，所以13
3
A E =， 即点E 为线段11A C 的三等分点.
解法一：过E 作11EG A B ⊥于G ，则EG ⊥平面1A B ，
所以1EG BB ⊥，过G 作1GH BB ⊥，垂足为H ， 则EHG ∠为二面角11E BB A --的平面角, 因为23EG =
，12AG =，3
23GH =⨯=，
则在Rt EHG ∆中，有
23
23tan 33
EG EHG GH ∠===
， 所以二面角11E BB A --的平面角的正切值为
2
3
. 解法二：以点F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()110,2,0,(0,0,23),0,2,0,(0,4,23),(3,1
,0)-A A B B C ， 设点()000,,E x y z ，由1112233==u u u u r u u u r u u u r A E AC AC 得：(
)
000
2
(,,23)3,3,03x y z -=，
即0233x =，02y =，023z =，点23,2,23E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝， 平面11AA B B 的一个法向量()1,0,0m =u r
，
又23,0,23⎛⎫= ⎪ ⎪⎝u u u r BE ，11(0,2,23)==u u u r u u u r BB AA ，
设平面1EBB 的一个法向量为(,,)n x y z =r
，
则23
2302230x y y z ⎧+=⎪
⎨⎪+=⎩
，令3x =，则平面1EBB 的一个法向量为(3,3,1)=-r n . 设二面角11E BB A --的平面角为θ，则cos 13
m n m n θ⋅==v v v v ，
即2tan 3θ=
，所以二面角11E BB A --的正切值为2
3
.
【点睛】
线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为
2
π
得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 20．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且11
2
a =
，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，221111
2()
2n n n n n n T T b T b b --+--=
-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n n
n n n
b a
c b b +=
+，求数列{}n c 的前n 项和n P .
【答案】（1）1
2n n
a =，n
b n =（2）11(1)2n n P n =-+⋅ 【解析】 【分析】
（1）112(2)n n S a n -=-…
，所112n n S a +=-，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由()2211111
22(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=
-=-+…，整理得
()()()
11111111
22(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，得到11(2)n n n n b b b b n +--=-…
，即可求解通项公式；
（2）由（1）可知，21(2)12(1)111
2(1)22(1)2
n n n n n n n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，
即可求得数列{}n c 的前n 项和n P . 【详解】
（1）因为112(2)n n S a n -=-…
，所112n n S a +=-，两式相减，整理得11
(2)2
n n a a n -=…，当2n =时，1121122S a a ==
=-，解得2111
42
a a ==， 所以数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，即1
2n n a =，
因为()2211111
22(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=
-=-+…，
整理得
()()()11111111
22(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，
又因为0n b >，所以0n T >，所以
11
21(2)n
n n b n b b +-=+…，即11(2)n n n n b b b b n +--=-…，因为121,2b b ==，
所以数列{}n b 是以首项和公差均为1的等差数列，所以n b n =； （2）由（1）可知，21(2)12(1)111
2(1)22(1)2n n n n n
n n n c n n n n n n -++-=
⋅=⋅=-++⋅+⋅，
211111112222322(1)2n n n P n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即11(1)2n n P n =-+⋅. 【点睛】
此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.
21．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(2,0)C -的直线l 交抛物线于,A B 两点，坐标原点为O ，
12OA OB ⋅=u u u r u u u r
.
（1）求抛物线的方程；
（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程. 【答案】（1）2
4y x =；（2
）20x ++=
或20x -+= 【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y 1＋y 2，y 1y 2，12x x ，代入到12OA OB ⋅=u u u r u u u r
中解出P 的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出AB 的长，联立解出m 的值，从而得到直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝1．（*）
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则22
12
122
44y y x x p ==． 因为12OA OB ⋅=u u u r u u u r
，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，
得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y 2－4my ＋2＝1． y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝2． …6分
设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x m ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ①
又12AB y y =-= ② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，
解得m 2＝3，m =
所以，直线l 的方程为20x +=，或20x +=． …12分 考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.
22．对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍． 【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析． 【解析】 【分析】
（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意. 【详解】
（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2． （2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<， 则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，
考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=， 若d c c -=，则考虑,b c ，
2c b c c d <+<=Q ，c b S ∴-∈，则c b b -=，
{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；
若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，
{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．
（3）记1009n =，则21S n =+，
首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=， 分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，
而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，
2
n M x ∴=
， 对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈， 特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，
由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=， 以此类推：()1i x im i n =≤≤，
22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，
故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍． 【点睛】
本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.
23．（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ： 24y x =于点P ，点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ， PF ， x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ， 2l 分别与y 轴相交于点
A ，
B .当线段AB 的长度最小时，求s 的值.
【答案】 (1) 2=1y x - ()0y ≠．(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）设(),M m n 根据题意得到
n =，化简得到轨迹方程；（2）设
()
21,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，33151
232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-+=++>，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值. 解析：
（1）因为抛物线C 的方程为2
4y x =，所以F 的坐标为()1,0，
设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P (
)
2
,2n n ，则直线PF 的方程为
2121
y x n n -=-，即()()
2
2110n x y n ---=，
n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，
所以E 的方程为2
=1y x - ()0y ≠．
（2）设()
2
1,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，
由（1
）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，
由y '=
，所以121AQ t
y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以11
22t y t
=
-，3223y t t =+， 所以3
3151232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-
+=++>． 令()3
51222f t t t t =++，0t >，则()422
22
5112516222t t f t t t t
'+-=+-=， 由(
)0f t '>得t >
()
0f t '<得0t <<
所以()f t 在区间⎛
⎝
单调递减，在⎫⎪+∞
⎪⎭
单调递增， 所以当t
=
()
f t 取得极小值也是最小值，
即AB 取得最小值， 此时21s t =+=． 点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如0NA NB ⋅=u u u r u u u r
，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.。