广西桂林市、贺州市2022届高三上学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案

2022年高考桂林市、贺州市联合调研考试 数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合{}
2log 1M x x =<，集合{}
210N x x =-≤，则M
N =（ ）
A ．{}
12x x ≤< B ．{}12x x -≤< C ．{}11x x -<≤ D ．{}
01x x <≤
2．已知复数21i
z i
+=
-（i 为虚数单位），那么z 的共轭复数为（ ） A ．3322i + B ．1322i - C ．1322i + D ．3322
i -
3．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：
由表中数据得线性回归方程ˆ2y
x a =-+，猜测当气温为4-℃时，用电量度数为（ ） A ．68 B ．67 C ．65 D ．64 4．()4
23a b c +-的开放式中2
abc 的系数为（ ）
A ．208
B ．216
C ．217
D ．218 5．执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A ．101
B ．120
C ．121
D ．103
6．设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假如()()3a b c b c a bc +++-=，且
sin 2sin cos A B C =，那么ABC ∆的外接圆面积与内切圆面积的比值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．2
D ．1
7．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，呈现了一种相互转化，相对统一的形式美.依据太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被
3sin
4
y x π
=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点
取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
136 B ．118 C ．112 D ．1
8
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．3243+
B ．36
C ．324347+．3247+9．已知各项都为正数的等比数列{}n a ，满足3122a a a =+，若存在两项,m n a a ，14m n a a a =，则14
m n
+的最小值为（ ） A ．2 B ．
32 C ．1
3
D ．1 10．已知圆()2
21:24C x y +-=，抛物线()2
2:20C y px p =>，1C 与2C 相交于,A B 两点，且85
AB =
，则抛物线2C 的方程为（ ）
A ．2
85y x =
B ．2165y x =
C ．2325y x =
D ．2645
y x = 11．已知函数()g x 满足()12g x g x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，当[]1,3x ∈时，()ln g x x =.若函数()()f x g x mx =-在区间
1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭ B ．3ln 3,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1,ln 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
12．已知G 点为ABC ∆的重心，设ABC ∆的内角,,A B C 的对边为,,a b c 且满足向量BG CG ⊥，若
tan sin a A b C λ=⋅，则实数λ=（ ） A ．2 B ．3 C ．23 D ．1
2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最小值为 ．
14．假如将函数()()()sin 30f x x ϕπϕ=+-<<的图象向左平移12
π个单位所得到的图象关于原点对称，
那么ϕ= ．
15．已知12,F F 分别是双曲线22
143
x y -=的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于B A 、两点，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为 ．
16．把长AB 和宽AD 分别为23和2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成B AC D --的二面角
()0θθπ<<，下列正确的命题序号是 ．
①四周体ABCD 外接球的体积随θ的转变而转变； ②BD 的长度随θ的增大而增大； ③当2π
θ=
时，BD 长度最长； ④当23
π
θ=时，BD 长度等于13.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知等比数列{}n a 中，22a =，234,1,a a a +成等差数列；数列{}n b 中的前n 项和为n S ，2
n S n n =+.
（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）求数列14n n n a b b +⎧⎫
+
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和. 18．近年来我国电子商务行业迎来进展的新机遇，2021年双11全天交易额达到1682亿元，为规范和评估该行业的状况，相关管理部门制定出针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行评价，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
（1）完成关于商品和服务评价的22⨯列联表，推断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X ：
①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列； ②求X 的数学期望和方差. 附：临界值表：
2
K 的观测值：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++（其中n a b c d =+++） 关于商品和服务评价的22⨯列联表：
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的等边三角形，平面1A CD 交AB 于点D ，且1BC ∥平面1A CD .
（1）求证：CD AB ⊥；
（2）若四边形11CBB C 是正方形，且15A D ，求直线1
A D 与平面11CB
B
C 所成角的正弦值.
20．已知点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，且椭圆的离心率为12.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若M 为椭圆C 的右顶点，点,A B 是椭圆C 上不同的两点（均异于M ）且满足直线MA 与MB 斜率之
积为1
4
.试推断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.
21．已知函数()()1
2ln f x x a x a x
=-+∈R .
（1）争辩()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个极值12,x x ，其中[)2,x e ∈+∞，求()()12f x f x -的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线22
1:1C x y +=，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线():2cos sin 6l ϑθθ-=.
（1）将曲线1C 上的全部点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3倍、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 23．选修4-5：不等式选讲
设函数()2,f x x x a x =++-∈R ；
（1）若0a <，且()2log 2f x >对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0a >，且关于x 的不等式()3
2
f x x <
有解，求实数a 的取值范围.
2022年高考桂林市、贺州市联合调研考试 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题
1-5:DBABC 6-10:ADCBC 11、12：AD
二、填空题
13．-4 14．4
π-
15．2
23a 16．②④
三、解答题
17．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ； 由于234,1,a a a +成等差数列，故
()24321a a a +=+，
即432a a =，故2q =； 由于2
11a a q
=
=，即12n n a -=. 由于2
n S n n =+，故当1n =时，112b S ==.
当2n ≥时，()()2
2
1112n n n b S S n n n n n -=-=+----=；
综上所述2n b n =. （2）知
()14111
11
n n b b n n n n +==-++； 11411
21
n n n n a b b n n -++
=+-+ 故数列14n n n a b b +⎧⎫
+
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为 ()1121111
11112122233
11
n n
n n n ⨯-⎛⎫+-+-++
+-=- ⎪
-++⎝⎭. 18．解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表如下：
()2
2
2008010407011.11110.8281505012080
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
（2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为2
5
，且X 的取值可以是0,1,2,3.
其中()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2
132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭ ()2
1
232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3
33238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. X 的分布列为：
②23,5X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()26355E X =⨯=，
()2218
315525
D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭
19．解：（1）证：连结1AC ，设1AC 与1A C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为1AC 中点，
∵1BC ∥平面1A CD ，DE =平面1A CD 平面1ABC
∴1DE BC ∥， ∴D 为AB 的中点. 又∵ABC ∆为正三角形， ∴CD AB ⊥.
（2）∵222
115AD A A A D +==，∴1A A AD ⊥.
又1B B BC ⊥，11B B A A ∥ ∴1A A BC ⊥. 又AD
BC B =，∴1A A ⊥平面ABC
设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ，以O 为原点，
OB 所在直线为x 轴，1OO 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.
则(10,3A ，132D ⎛ ⎝⎭
， ∴113,2,2A D ⎛=-
⎝
⎭. 平面11CBB C 的一个法向量()0,0,1n =，
11115
cos ,10
A D n A D n A D n
⋅=
=
⋅. 所以直线1A D 与平面11CBB C 所成角的正弦值为1510
. 20．解：（1）可知离心率1
2
c e a =
=，故有2c a =， 22
2
2
2
2
344
a a
b a
c a =-=-=
又有点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆2222:1x y C a b +=上，代入得221914a b +=，
解得2a =，3b =
故椭圆C 的方程为22143
x y +=. （2）由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为
()0y kx m k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立2214
3y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222
3484120k x kmx m +++-=.
∴122
834km
x x k
-+=+，212241234m x x k -=+. ∵直线MA 与MB 斜率之积为
14
.
而点()2,0M ，∴
12121
224
y y x x ⋅=--. ∴()()()()1212422kx m kx m x x ++=--.
化简得()
()()2
2
12124142440k x x km x x m -++++-=，
∴(
)
()2
2
222
412841424403434m km
k km m k k
---⋅
++⋅+-=++， 化简得2
2
280m km k --=，解得4m k =或2m k =-， 当4m k =时，直线AB 的方程为()4y k x =+，过定点()4,0-.
4m k =代入判别式大于零中，解得()11
022
k k -<<≠.
当2m k =-时，直线AB 的方程为()2y k x =-，过定点()2,0，不符合题意. 故直线AB 过定点()4,0-. 21．解：（1）由题意得()2
22
12211a x ax f x x x x ++'=+
+=，其中0x >， 令()2
21m x x ax =++，()
241a ∆=-，
①当1a >时，令()0m x =
，得10x a =-<
，20x a =-<，
所以()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增；
②当11a -≤≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增；
③当1a <-时，令()0f x '=
，得10x a =-+>
，20x a =->，且12x x >
可知当(0,x a ∈-时，()0f x '>，
()f x
在(0,a -单调递增；
当(x a a ∈--时，()0f x '<，
()f x
在(a a --单调递减；
当()
x a ∈-+∞时，()0f x '>，
()f x
在()
a -+∞单调递增；
综上所述，当1a ≥-时，()f x 在()0,+∞单调递增；
当1a <-，()f x
在(0,a -
和()
a -+∞单调递增，
在(a a --单调递减；
（2）由（1）知()()22
21
0x ax f x x x ++'=>，
由题意知12,x x 是2
210x ax ++=的两根， ∴121x x ⋅=，122x x a +=-， 可得211x x =
，11
1
2a x x =-- ∵[)2,x e ∈+∞，∴110,x e
⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
()()()12111f x f x f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11111112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令()112ln F x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫=-
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则有()()()22
211ln 121ln x x x F x x x x +-⎛⎫⎛⎫
'=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
时，()0F x '<，()F x 在10,e
⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递减，
()F x 的最小值为
1114
2F e e e e e e
⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x -的最小值为4e .
22．解：（1）由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y --=.
曲线2C 的直角坐标方程为：22
134
x y +=，
∴曲线2C
的参数方程为2sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.
（2）设点P
的坐标
)
,2sin θθ，则点P 到直线l 的距离为：
d =
=
， ∴当sin 13πθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，56πθ=时，点3,12P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
此时max d =
=. 23．解：（1）()222f x x x a x x a a =++-≥+-+=+， ∵()2log 2f x >对任意x ∈R 恒成立， ∴24a +>，解得6a <-或2a >， ∵0a <，∴实数a 的取值范围是(),6-∞-.
（2）当0a >时，()2f x x x a =++-22,2
2,222,x a x a x a x a x a --+<-⎧⎪
=+-≤≤⎨⎪+->⎩
，
若关于x 的不等式()3
2
f x x <有解， 则函数()f x 的图象与直线3
2
y x =有两个交点，
∴3
22
a a +<，解得4a >.
∴实数a 的取值范围是()4,+∞.。