2020新课标高考数学二轮练典型习题：第二部分专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形

[A 组　夯基保分专练]
一、选择题
1．已知sin(α＋)＝，<α<，则cos 2α的值为( )
π
435π
43π
4A ．－
B ．－7
257225
C ．－
D ．－2425
1225
解析：选C.因为sin(α＋)＝，<α<，<α＋<π，所以cos(α＋)<0，可得cos(α＋)π
435π
43π
4π
2π
4π
4π
4＝－，所以sin
α＝sin[(α＋)－]＝sin(α＋)cos
－cos(α＋)sin
＝，cos
4
5π
4π
4π
4π
4π
4π
472
102α＝1－2sin 2α＝1－＝－，故选C.
49
2524
252．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin
B ＝4c sin
C ，cos A ＝－，则＝( )
1
4b
c A ．6B ．5C ．4
D ．3
解析：选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝
＝＝－，得＝6.故选A.
b 2＋
c 2－a 22bc
－3c 2
2bc 1
4b
c 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin
A ＝a sin C ，则sin
B 为( )
1
2
A ．
B ．74
34
C ．
D ．73
13
解析：选A.由b sin B －a sin A ＝a sin C ，1
2且c ＝2a ，得b ＝a ，
2因为cos B ＝
＝
＝，a 2＋c 2－b 22ac
a 2＋4a 2－2a 2
4a 2
34
所以sin B ＝
＝.
1－
(34)2
7
44．(一题多解)在△ABC 中，已知AB ＝，AC ＝，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等25于( )
A ．1
B ．2
C ．
D ．2
3
解析：选A.法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝，cos ∠BAC ＝－.由余3
101
10弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×××
＝9，所以
52(－
1
10)
BC ＝3，所以S △ABC ＝AB ·AC ·sin ∠BAC ＝×××＝，所以BC 边上的高h ＝121
2253
103
2＝＝1，故选A.
2S △ABC BC
2×32
3
法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边1
10上的高小于，故选A.
25.如图，在△ABC 中，∠C ＝，BC ＝4，点D 在边AC 上，π
3AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝2，则cos A 等于( )
2A ．B ．223
24
C ．
D ．64
63解析：选C.依题意得，BD ＝AD ＝＝，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD DE
sin A 22sin A 中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cos
BC
sin ∠BDC BD
sin C 4
sin 2A 22
sin A 2
342
3sin A 4
2sin A cos A 42
3sin A A ＝.
646．(多选)下列命题中，正确的是( )
A ．在△ABC 中，若A >
B ，则sin A >sin B
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式sin A >cos B 恒成立
C ．在△ABC 中，若a cos A －b cos B ＝0，则△ABC 必是等腰直角三角形
D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形
解析：选ABD.对于A ，在△ABC 中，由正弦定理可得＝，所以sin
A >sin a sin A b
sin B B ⇔a >b ⇔A >B ，故A 正确；对于B ，在锐角三角形ABC 中，A ，B ∈，且A ＋B >，则>
(0，π
2)π
2π
2A >－B >0，所以sin A >sin ＝cos B ，故B 正确；对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos
π
2(π
2
－B )B ，利用正弦定理可得sin 2A ＝sin 2B ，得到2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，故A ＝B 或A ＝－B ，即π
2△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对于D ，在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以ac ＝a 2＋c 2－ac ，即(a －c )2＝0，解得a ＝c .又B ＝60°，所以△ABC 必是等边三角形，故D 正确．故选ABD.
二、填空题
7．(2019·济南联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan
α＝________．
解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tan tan （α＋2β）－tan β
1＋tan （α＋2β）tan β2－（－3）
1＋2×（－3）α＝tan(α＋β－β)＝＝.
－1－（－3）
1＋（－1）×（－3）1
2答案：－1　1
2
8．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．
解析：由＝，得＝，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
4
sin A c
sin C 4
sin A c
sin 2A 所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝＝
＝，所
16－b 2
64－16b （4－b ）（4＋b ）
16（4－b ）4＋b
16以c 2＝64cos 2A ＝64×＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以4<c <2.
4＋b
16210答案：(4，2)
2109．(一题多解)(2019·合肥市第一次质检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成
等比数列，cos(A －C )－cos B ＝，延长BC 至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为
1
2________．
解析：法一：由题意知b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ①，又由已知，得
cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝，可得cos A cos C ＝　②，②－①，得－sin 2B ＝－cos B ，所以1
2141
4cos 2B ＋cos B －＝0，解得cos B ＝或cos B ＝－(舍去)，所以B ＝60°，再由题得cos(A －C )3
41
23
2＝1，则A －C ＝0，即A ＝C ，则a ＝c ，所以△ABC 为正三角形，则∠ACD ＝120°，
AC ＝b ，CD ＝2－b ，故S △ACD ＝×b ×(2－b )×≤＝，当且仅当b ＝2－b ，
1
23
234
(
b ＋2－b
2
)2
3
4即b ＝1时取等号．故填.
3
4法二：由题意知b 2＝ac ，且cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝，即cos A cos C ＋sin A sin C ＋cos
1
2A cos C －sin A sin C ＝，即cos A cos C ＝，由余弦定理得
·
＝，整理
1
21
4b 2＋c 2－a 22bc
b 2＋a 2－
c 22ab
1
4得b 4－(a 2－c 2)2＝b 4，所以a 2－c 2＝0，即a ＝c ，又b 2＝ac ，所以a ＝b ＝c ，即△ABC 为正三
角形，所以S △ACD ＝S △ABD －S △ABC ＝×2×c ×－c 2＝－(c －1)2＋≤，当c ＝1时取
1
23
23
43
43
43
4等号，故填.
3
4答案：3
4三、解答题
10．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .
(1)求角B ；
(2)若b ＝2，tan C ＝，求△ABC 的面积．73
2解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos
B ，所以由余弦定理，得2ac cos
B ＝ab cos
A ＋a 2cos
B ，
又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ，由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，
又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝.
1
2因为B ∈(0，π)，所以B ＝.
π
3
(2)由tan C ＝，C ∈(0，π)，得sin C ＝，cos C ＝，
3221727
7所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝×＋×＝.
322771
2217321
14由正弦定理＝，得a ＝＝
＝6，a
sin A b
sin B b sin A
sin B 27×
32114
32所以△ABC 的面积为ab sin C ＝×6×2×＝6.
1
21
2721
7311．(2019·武汉模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，cos B ＝.
255(1)求sin C 的值；
(2)若角A 的平分线AD 的长为，求b 的值．
5解：(1)由cos B ＝及0<B <π，得sin B ＝，
25
55
5又A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2××＝，
552554
5cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝.
3
5故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝×＋×＝.
4
5
2553
555115
25(2)由题意得，∠ADC ＝B ＋∠BAC ＝∠BAC (如图)，所以sin ∠ADC ＝.1
24
5在△ADC 中，＝，
AD
sin C AC
sin ∠ADC 即＝，AC ＝，
5115
25AC 4
520
11故b ＝.
201112．(2019·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知
b ＋
c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C .
(1)求cos B 的值；(2)求sin
的值．
(
2B ＋
π
6)
解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin b
sin B c
sin C C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝a ，c ＝a .由余弦定理可得
4
32
3cos B ＝
＝
＝－.a 2＋c 2－b 2
2ac
a 2＋49a 2－169
a 2
2·a ·23
a
14(2)由(1)可得sin B ＝＝，
1－cos2B 15
4从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－，
15
87
8故sin
＝sin 2B cos ＋cos 2B sin ＝－×－×＝－
.
(
2B ＋
π
6)
π6π615832781235＋716
[B 组　大题增分专练]
1．(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )．
(1)求角C ；
(2)若c ＝，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．
733
2解：(1)由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .
所以cos C ＝
＝，又C ∈(0，π)，所以C ＝.
a 2＋
b 2－
c 22ab
1
2π
3(2)由(1)知a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，
又S ＝ab sin C ＝ab ＝，1
23
433
2所以ab ＝6，
所以(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋.
72．(一题多解
)(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC
的中点，cos ∠BAM ＝，
57
14cos ∠AMC ＝－.27
7(1)求∠B 的大小；
(2)若AM ＝，求△AMC 的面积．
21解：(1)由cos ∠BAM ＝，
57
14得sin ∠BAM ＝，
21
14由cos ∠AMC ＝－，得sin ∠AMC ＝.27
721
7又∠AMC ＝∠BAM ＋∠B ，所以cos ∠B ＝cos(∠AMC －∠BAM )＝cos ∠AMC cos ∠BAM ＋sin ∠AMC sin ∠BAM
＝－×＋×277571421
721
14
＝－，
12又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝.
2π
3(2)法一：由(1)知∠B ＝，
2π
3在△ABM 中，由正弦定理＝，
AM
sin ∠B BM
sin ∠BAM 得BM ＝
＝
＝.AM sin ∠BAM
sin ∠B
21×
211432
3因为M 是边BC 的中点，所以MC ＝.
3故S △AMC ＝AM ·MC ·sin ∠AMC ＝×××＝.
1
21
221321733
2法二：由(1)知∠B ＝，
2π
3在△ABM 中，由正弦定理＝，
AM
sin ∠B BM
sin ∠BAM
得BM ＝
＝
＝.
AM sin ∠BAM
sin ∠B
21×
211432
3因为M 是边BC 的中点，所以S △AMC ＝S △ABM ，
所以S △AMC ＝S △ABM ＝AM ·BM ·sin ∠BMA ＝×××＝.
1
21
221321733
23．(2019·昆明市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝b .
3(1)求角A ；
(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．
解：(1)由2(c －a cos B )＝b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝sin B ，33所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin B ，即2cos A sin B ＝sin B ，
33因为sin B ≠0，所以cos A ＝，又0<A <π，所以A ＝.3
2π
6(2)因为a ＝2，由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，
所以S △ABC ＝bc sin A ＝bc ，
1
21
4所以S △ABC ＝4sin B sin C ，因为C ＝π－(A ＋B )＝－B ，所以sin C ＝sin ，
5π
6(
5π
6
－B
)所以S △ABC
＝4sin B sin (5π
6－B )＝4sin B ，
(1
2cos B ＋32sin B )即S △ABC ＝2sin B cos B ＋2sin 2B 3＝sin 2B －cos 2B ＋33
＝2sin
＋.
(
2B －
π
3)
3因为0<B <，所以－<2B －<，
5π
6π
3π34π
3所以－<sin
≤1，
3
2(
2B －
π
3)
所以0<S △ABC ≤2＋.
3即△ABC 面积的取值范围为(0，2＋]．
34．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝c .
2
3
(1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝，求角C 的正弦值；
3
5(2)若C ＝，M ＝
，求M 的值．
π
4a 2＋b 2＋1
3
c 2
ab
解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，
因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝，
3
5所以sin A ＝，tan A ＝，454
3所以AD ＝，BD ＝AB －AD ＝，c
2c
2所以BC ＝＝＝，
CD 2＋BD 2(23
c )2
＋
(c
2)2
5c
6由正弦定理得sin ∠ACB ＝＝
＝.AB sin A
BC c ×
455c 6
2425(2)因为S △ABC ＝c ×c ＝ab sin ∠ACB ＝ab ，
1
22
31
22
4所以c 2＝ab ，
32
4又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝ab ，2所以a 2＋b 2＝ab ＋c 2，
2所以a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋c 2＝ab ＋×ab ＝2ab ，
1
324
324332
42所以M ＝＝＝2.
a 2＋
b 2＋1
3
c 2
ab
22ab ab 2。