2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第2章《2.2第2课时基本不等式的应用》(含答案详解)

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第2章《2.2第2课时基本不等式的应用》(含答案详解)
1、第2课时基本不等式的应用学习目标核心素养1.娴熟把握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培育数学建模素养.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )A. B．4
C. D．5C [∵a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝＝＋≥＋2＝
2、.故y＝＋的最小值为.]9n2．若x0，则x＋的最小值是________．2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2，∴xy≤100.]利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x，求y＝4x－2＋的最大值；(2)已知0x，求y＝x(1－2x)的最大值．[思路点拨] (1)看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．[解] (1)∵x，∴5－4x0，
3、∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x ＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(2)∵0x，∴1－2x0，∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.9n∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，
ymax＝.利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对比已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，转变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.1．(1)已知
4、x0，求函数y＝的最小值；(2)已知0x，求函数y＝x(1－3x)的最大值．[解] (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝即x ＝2时等号成立．故y＝(x0)的最小值为9.(2)法一：∵0x，∴1－3x0.∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝.当且仅当3x＝1－3x，即x ＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取得最大值.法二：∵0x，∴－x0.9n∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取得最大值.利用基本不等式求条件最值【例2】
5、已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．[解] ∵x ＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．[解] ∵x，y∈R＋，∴＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝时取等号，9n结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.1．此题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是常常使用的方
法，要学会观看、学会变形．
6、2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型．2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．[解] 法一：＋＝·1＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当即时等号成立．∴＋的最小值为3＋2.法二：＋＝＋＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即时，等号成立，∴＋的最小值为3＋2.利用基本不等式解决实际问题9n【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎
7、笼面积最大？[解] 设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即Smax＝，当且仅当2x ＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x0，∴0y6，S＝xy＝y＝y(6－y)．∵0y6，∴6－y0.∴S≤2＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．1．在应
8、用基本不等式解决实际问题时，应留意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；9n(4)正确写出答案．2．对
于函数y＝x＋(k0)，可以证明0＜x≤及－≤x＜0上均为减函数，在x≥及x≤－上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±时，可用基本不等式，不包含±时，可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习)．3．某单位用2160万元购得一块空地，打算在该地块上建筑一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算
9、，假如将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋＝560＋48.当x＋取最小值时，y有最小值．∵x0，∴x＋≥2＝30.当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．利用基本不等式求最值，要留意使用的条件“一正二定三相等”，三个
10、条件缺一不行，解题时，有时为了到达使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、9n裂项、转化、分别常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是常常使用的工具，但若对自变量有限制，肯定要留意等号能否取到.1．思索辨析(1)两个正数的积为定值，肯定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )(2)若a0，b0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x1时，函数y＝x＋≥2，所以
函数y的最小值是2.( )[提示] (1)由a＋b≥2可知正确．(2)由ab≤2＝4可知正确．(3)不是常数，故错误．
11、[答案] (1)√(2)√(3)×2．若实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )A．1 B．2 C．2 D．4A [由基本不等式得，ab≤2＝1.]3．已知0x1，则x(3－3x)取最大值时x的值为( )A.B.C.D.A [∵0x1，∴1－x0，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝，9n当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]4．已知x0，求y＝的最大值．[解] y＝＝.∵x0，∴x＋≥2＝2，∴y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．9。