第一次摸拟试数学文科试题答案

银川一中2020届高三第一次模拟数学(文科)答案
一．选择题：
二．填空题： ；；15.2； 16.12或12
三．解答题：
17.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题意得：1326a a a +=+ 所以2
8886q q +=+，即2
4410q q -+=
则1
2
q =-----6分
所以1
4182
2n n
n a --⎛⎫
=⨯= ⎪
⎝⎭
.
（2）()
()732142
12
2
2
n n
n n n T a a
a -++++-===------9分
当3n =或4时，n T 取得最大值，且()max 64n T
=.-----12分 18.
（1）证明：因为,AB AC D =是BC 的中点，所以AD BC ⊥，
在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，所以1AD B B ⊥, 因为1BC B B B ⋂=，所以AD ⊥平面11
B BC
C ，因为1B F ⊂平面11B BCC ，所以
1AD B F ⊥.-------3分
在矩形11B BCC 中，因为1111,2C F
CD B C CF =
===，
所以11Rt DCF FC B ∆≅∆，所以11CFD C B F ∠=∠，所以0
190B FD ∠=,
（或通过计算11FD
B F B D =
=，得到1B FD ∆为直角三角形） 所以1B F FD ⊥，因为AD FD D ⋂=
，所以1B F ⊥
平面ADF --------6分 （
2）解：因为AD ⊥平面1
B DF ，AD =因为D 是B
C 的中点，所以1C
D =，在1Rt B BD ∆中，11,3BD CD BB ===, 所以1B D =
=
因为1FD B D ⊥，所以1Rt CDF BB D ∆~∆， 所以
11DF CD B D BB =，所以133
DF ==，
所以1
111332
B ADF ADF V S AD -∆=⨯=⨯=
分 19. 解析：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：
分
635.6934.55
15713)13412(202
2
<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K
所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………8分
(2)样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株. 设事件A :抽取的3株中恰有1株存活
记存活的植株为a ,死亡的植株分别为1234,,,b b b b
则选取的3株有以下情况：12{,,}a b b ，13{,,}a b b ，14{,,}a b b ，23{,,}a b b ，24{,,}a b b ，
34{,,}a b b ，123{,,}b b b ，124{,,}b b b ，134{,,}b b b ，234{,,}b b b
共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种 所以63
()105
P A =
=（其他方法酌情给分.）………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线. ∵2p =，∴抛物线方程为： 2
4y x =--------3分
（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()
24{
1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.
()
24224416160k k k ∆=+-=+>.
因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以()121212
244
2,2x x y y k x x k k
+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2
221,k k ⎛
⎫
+
⎪⎝⎭.由题知,直线2l 的斜率为1k
-，同理可得点Q 的坐标为()2
12,2k k +-. -------------5分
当1k ≠±时，有2
2
2112k k
+
≠+，此时直线PQ 的斜率2
22222
1112PQ k
k k k k k k
+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()
22
2121k
y k x k k
+=
---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；
当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E .---------8分
（Ⅲ）可求得2EF =.所以FPQ ∆面积1
212242S FE k
k k k ⎛⎫⎛⎫
=+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 当且仅当1k =±时，“= ”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为分
21．解：已知函数()f x 的定义域为()
()
0,11,+∞
． （Ⅰ）因为()f x 在()1,+∞上为减函数，故()()
2
ln 1
0ln x f x a x -'=-≤在()1,+∞上恒成立，即
当()1,x ∈+∞时，()max 0f x '≤． 又()()
222
ln 1
11111
(
)()ln ln ln 24
ln x f x a a a x x x x -'=
-=-+-=--+-， 故当11
ln 2
x =，即2x e =时，()max 14f x a '=-．
所以
104a -≤，于是14a ≥，故的最小值为1
4
． ………………………5分 （Ⅱ）命题“若存在212,[,]x x e e ∈使()()12f x f x a '≤+成立”等价于“当2
[,]x e e ∈时，有
min max ()()f x f x a '≤+” ．
由（Ⅰ）知，当2
[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=
-，所以max 1()4
f x a '+=． 故问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有()min 1
4
f x ≤” ①当14
a ≥
时，由（Ⅱ）知，()f x 在2
,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()()22
2min
124e f x f e ae ==-≤，故211
24a e
≥-．……………8分
②当14
a <
，2
[,]x e e ∈时，()1ln ln 4x x f x ax x x x =->-，由（Ⅰ）知，函数
1()ln 4
x x x x ϕ=-在2[,]e e 上是减函数，2222
min ()()244e e e x e ϕϕ==-=，所以
()2min 144e f x >>，与1
4
a <矛盾，不合题意．
综上，得实数的取值范围211
[,)24e
-+∞． …………………12分
22、解析：
（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y α
αα
=+⎧⎨
=⎩为参数）可化为普通方程:22(1)1x y -+=，………2分
由cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，………3分
曲线2C 的极坐标方程为2
2
(1sin )2ρθ+=．………5分
（Ⅱ）射线(0)6
π
θρ=≥与曲线1C
的交点的极径为12cos
6
π
ρ==………6分
射线(0)6
π
θρ=
≥与曲线2C 的交点的极径满足22
2(1sin )26
π
ρ+=，解
得
2ρ=
，………8分
所以12AB ρρ=-=
．………10分 23、解析：23(2)(3)5x x x x --+≤--+=， ………2分 若不等式231x x m --+≥+有解，则满足15m +≤，………3分 解得64m -≤≤.∴4M =. ………5分 （2）由（1）知正数,,a b c 满足24a b c ++=， ∴
11111[())]()4a b b c a b b c a b b c +=++++++++………7分 1)22(41)2(41=++⋅+++≥++++++=
c
b b a b a
c b c b b a b a c b ………9分 （当且仅当,2a c a b =+=时，取等号.）………10分。