2019-2020年高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算习题 理 新人教A版(I)

2019-2020年高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数
的概念及运算习题 理 新人教A 版(I)
一、填空题
1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________.
解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e
2.设y ＝x 2e x
，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x
＋x 2e x
＝()2x ＋x 2
e x
.
答案 (2x ＋x 2)e x
3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________.
解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x
，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则
f ′(1)＝－1.
答案 －1
4.(xx·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2
在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.
解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2
上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1
5.(xx·湛江调研)曲线y ＝e －2x
＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的
面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e
－2x
)|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e
－2x
＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－
2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，故围成的三角形的
面积为12×1×23＝13.
答案 13
6.(xx·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x
x
，则f ′(2)＝________.
解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2
，∴f ′(2)＝1－ln 2
4. 答案
1－ln 24
7.(xx·南师附中调研)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.
解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－1
3
，∵g ′(x )＝f (x )＋
xf ′(x )，
∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 0
8.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2
＋b x
(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______.
解析 y ＝ax 2
＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b
2＝－5，4a －b 4＝－72，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧a ＝－1，
b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 答案 －3 二、解答题
9.已知曲线y ＝x 3
＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；
(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3
＋x －2，得y ′＝3x 2
＋1， 由已知令3x 2
＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.
又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.
∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l 的方程为y ＋4＝－1
4(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.
10.已知直线l 1为曲线y ＝x 2
＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.
(1)求直线l 2的方程；
(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积.
解 (1)y ′＝2x ＋1，f ′(1)＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设直线l 2过曲线y ＝x 2
＋x －2上的点B (b ，b 2
＋b －2)，则直线l 2的方程为y －(b 2
＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )， 即y ＝(2b ＋1)x －b 2
－2.
因为l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，b ＝－2
3.
所以直线l 2的方程为y ＝－13x －22
9.
(2)解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝3x －3，
y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
6，y ＝－52.
又直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－223，0，
S ＝1
2
×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
1＋223
＝
12512
. (建议用时：20分钟)
11.(xx·陕西卷)设曲线y ＝e x
在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x
(x ＞0)上点P 处的切线垂直，
则P 的坐标为________.
解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0
＝1，设P (m ，n )，y ＝1x
(x >0)
的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1
x
(x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝
－1
m
2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，
1).
答案 (1，1)
12.若函数f (x )＝12x 2
－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.
解析 ∵f (x )＝12x 2
－ax ＋ln x ，
∴f ′(x )＝x －a ＋1
x
(x ＞0).
∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，
即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1
x
≥2(当且仅当x ＝1时取等号).
答案 [2，＋∞)
13.(xx·苏、锡、常、镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ln x ，x ≥1，1e （x ＋2）（x －a ），x ＜1(a 为常数，e 为
自然对数的底数)的图象在点A (e ，1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数
a 的取值范围是________.
解析 函数f (x )在A (e ，1)处的切线方程为y ＝1e x .故问题等价于直线y ＝1e x 与函数y ＝1
e (x
＋2)·(x －a )在(－∞，1)上有2个公共点，即方程1e x ＝1
e
(x ＋2)(x －a )在(－∞，1)上有2
个不等实根.整理得a ＝x 2＋x x ＋2(x ＜1，x ≠－2).令g (x )＝x 2＋x
x ＋2(x ＜1，x ≠－2)，g ′(x )＝
x 2＋4x ＋2（x ＋2）2，令g ′(x )＝x 2＋4x ＋2
（x ＋2）2＝0，
得x 1＝－2－2，x 2＝－2＋2，并且函数在(－∞，x 1)及(x 2，1)上单调递增，在(x 1，－2)及(－2，x 2)上单调递减，又g (x 1)＝－3－22；g (x 2)
＝－3＋2
2；g (1)＝2
3
，结合函数图象知a 的取值范围为(－∞，－3－
22)∪⎝
⎛⎭⎪⎫－3＋22，23 答案 (－∞，－3－22)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋22，23
14.已知函数f (x )＝x 3
－4x 2
＋5x －4.
(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程. 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，
∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.
(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点
P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2
0－8x 0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，
∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.。