黑龙江牡丹江一中2018-2019学度高三上学期年末考试试(数学文)

U
B
A
黑龙江牡丹江一中2018-2019学度高三上学期年末考试
试（数学文）
【一】选择题：
1、设全集为{}
{}
06,101,2=-+∈=≤≤∈==x x R x B x N x A R U ,那么右图中阴影表示的集合为〔〕
A 、{}2
B 、{}3
C 、{}2,3-
D 、{}3,2-
2、βα,表示两个不同的平面，m 为α内一条直线，那么“βα⊥”是“β⊥m ”的〔〕 Ａ、充分不必要条件Ｂ、必要不充分条件Ｃ、充要条件Ｄ、既不充分也不必要条件
3、i R x ,∈是虚数单位，假设()()i i x i 3421-=+⋅-，那么x 的值等于〔〕 A 、6-B 、2-C 、2D 、6
4、假设等差数列{}n a 的公差0≠d ，且731,,a a a 成等比数列，那么
1
2
a a 等于〔〕 A 、2B 、
23C 、32D 、21 5、,31
)2sin(=+απ那么)2cos(απ+的值为〔〕
A 、97-
B 、32-
C 、92
D 、9
7
6、同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线3
π=x 对称；③在)3
,6(π
π-
上是
增函数。

”的一个函数是〔〕 A 、)62sin(
π+=x y B 、62cos(π-=x y C 、32cos(π+=x y D 、2sin(π-=x y 7、()⎩⎨⎧>≤-=-0
,0
,12x x x x f x ，假设()10>x f ，那么0x A 、()1,1-B 、()+∞-,1
C 、()()+∞⋃-∞-,01,
D 、()()+∞⋃-∞-,11,
8、4
4
1431,21log ,21(⎪⎭⎫
⎝⎛-==-=-c b a ，那么执行右边的程序
框图后输出的结果等于() A 、4
)
2
1(--B 、2
1log 4
1
俯视图侧视图
正视图
C 、4
31⎪⎭
⎫
⎝⎛-D 、其它值
9、假设双曲线()0122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ,线段21F F 被抛物线
bx y 22=的焦点分成7：5的两段，那么此双曲线的离心率为〔〕
A 、
89B 、9
10
C 、423
D 、310
10、设实数b a ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥-+≥+-32042012a b a b a ，那么2
24b a +的最大值是〔〕
A 、25
B 、50
C 、1
D 、
3
25 11、一个几何体的三视图如图，那么该几何体可能是〔〕
ABCD
12、假设对任意的R y R x ∈∈,有唯一确定点()y x f ,与之对应，那么称()y x f ,为关于y
x ,的二元函数，定义：同时满足以下性质的二元函数()y x f ,为关于实数y x ,的广义
“距离”。

〔1〕非负性：()0,≥y x f ； 〔2〕对称性：()y x f ,=()x y f ,；
〔3〕三角不等式：()()()y z f z x f y x f ,,,+≤对任意的实数z 均成立。

给出以下二元函数：①()()2
,y x y x f -=；②()y x y x f -=,；③()y x y x f -=
,；
④())sin(,y x y x f -=。

其中能成为关于实数y x ,的广义“距离”的函数编号是〔〕 A 、①②B 、①④C 、②③D 、②④ 【二】填空题：
13、06262
2=+--+y x y x 与直线01=+-y ax 相切，那么实数=a 。

14
、向量=+=⋅==x ,2),1,(),0,1(
15、过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，那么球的表面积为。

16、在ΔABC 中，c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边，且,,a b c 成等差数列。

那么B ∠的范
围是。

【三】解答题：
17、等比数列{}n a 的公比3=q ，前3项和3
133=
S . 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕假设函数()()πϕϕ<<>+=0,0)2sin(A x A x f 在6
π
=x 处取得最大值，且最
大值为3a ，求函数()x f 的解析式、 18、关于x 的二次函数()142
+-=bx ax x f ，
〔1〕设集合{},4,3,2,1,1-=P ,和{},3,2,1,1,2--=Q 分别从集合P 和Q 中随机取出一个数作为
a 和
b ，求函数()x f y =在区间[)+∞,1上是增函数的概率；
〔2〕设()b a ,是区域⎪⎩
⎪
⎨⎧>><-+0008y x y x 的随机点，求函数()x f y =在区间[)+∞,1上是增函数的概率。

19、(本小题总分值12分)在几何体ABCDE 中，⊥=∠DC BAC ,2
π
平面ABC ，⊥EB 平
面ABC ，1,2====CD BE AC AB .
〔1〕设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：//l 平面BCDE ；
〔2〕设F 是BC 的中点，求证：平面⊥AFD 平面AFE ； 〔3〕求几何体ABCDE 的体积、
20、〔本小题总分值12分〕椭圆M 的对称轴为坐标轴,且抛物线y x 242
-=的焦点是椭圆
M 的一个焦点,又点()
2,1A 在椭圆M 上.
〔1〕求椭圆M 的方程;
〔2〕直线l 的方向向量为()
2,1,假设直线l 与椭圆M 交于C B ,两点,求ABC ∆面积的最大值. 21、〔本小题总分值12分〕
R a ∈，函数()()x e x x g x x
a
x f x +⋅-=-+=
)1(ln ,1ln ，〔其中e 为自然对数的底数〕、 〔1〕判断函数()x f 在],0(e 上的单调性；
〔2〕是否存在实数),0(0+∞∈x ，使曲线()x g y =在点0x x =处的切线与y 轴垂直?假设存在，求出0x 的值；假设不存在，请说明理由、
【四】选考题(请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，那么按所作的第一题
计分，作答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑) 22、〔本小题总分值10分〕选修14-：几何证明选讲
如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于D ,AC DE ⊥,交AC 延长线于点E ,OE 交AD 于F , 〔1〕求证：DE 是圆O 的切线；
〔2〕假设
53=AB AC ,求
DF
AF
的值。

23、〔本小题总分值10分〕选修44-：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为4cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩〔θ为参数〕，以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-〔0ρ>〕
、 〔1〕化曲线1C 、2C 的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；
〔2〕设曲线1C 与x 轴的一个交点的坐标为()()00,>m m P 通过点P 作曲线2C 的切线
l ，求切线l 的方程、
24、〔本小题总分值10分〕选修54-：不等式选讲
函数()|21||23|.f x x x =++- 〔1〕求不等式6)(≤x f 的解集；
〔2〕假设关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.
牡一中2017-2018学年度上学期期末考试高三数学文科试题答案
【一】选择题：ABCDBDDDACAAD 【二】填空题：13、552±14、1015、964π16、⎥⎦
⎤
⎝⎛3,0π 【三】解答题：
17、〔1〕由3=q ，3133=S 得a 11－331－3＝133，解得3
1
1=a
因此2
1333
1--=⨯=n n n a
〔2〕由〔1〕可知2
3-=n n a ，因此33=a .
因为函数()x f 的最大值为3，因此3=A ； 因为当6
π=
x 时()x f 取得最大值，
因此1)6
2sin(=+⨯
ϕπ
又πϕ<<0，故6
π
ϕ=
.
因此函数()x f 的解析式为())6
2sin(3π
+
=x x f
18、〔1〕设函数()x f y =在区间[)+∞,1上是增函数的事件为A 所有差不多事件共有25种〔列举略〕
事件A 满足0>a 且b a 2≥，共含12个差不多事件，因此()25
12
=
A P 〔2〕因为()⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧>><-+=Ω0008,b a b a b a ，()⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥>=b a a b a A 20,
求得⎪⎭⎫ ⎝⎛38,316A 31= 19、〔1〕∵CD ⊥平面∴CD ∥BE .∵CD ⊄平面ABE ，
BE ⊂平面ABE ，∴CD ∥平面ABE .
又l ＝平面ACD ∩平面ABE ，∴CD ∥l . 又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ， ∴l ∥平面BCDE .
(2)在△DFE 中，FD ＝3，FE ＝6，DE ＝3. ∴FD ⊥FE .
∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AF ，
又BC ⊥AF ，CD ∩BC ＝C ，∴AF ⊥平面BCDE ， ∴AF ⊥FD ，∵EF ∩AF ＝F ， ∴FD ⊥平面AFE .
又FD ⊂平面AFD ，∴平面AFD ⊥平面AFE . (3)∵DC ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，∴DC ∥BE
∵AB ＝AC ＝2，且∠BAC ＝π
2
∴BC ＝2 2
∴S BEDC ＝1
2(DC ＋BE )×BC ＝3 2 由(2)知AF ⊥平面BCED
∴V E －BCDE ＝13S BEDC AF ＝1
3×32×2＝2.
20、解:(1)由抛物线的焦点为()
2,0-,故设椭圆方程为12
2
2
22=-+a x a y . 将点()
2,1A 代入方程得
12
1222=-+a a ,整理得
42540a a -+=,
H
O
F
E
D
C
B
A
解得42=a 或12
=a (舍).
故所求椭圆方程为12
42
2=+x y . 〔2〕设直线BC 的方程为m x y +=
2,设()()2211,,,y x C y x B
代入椭圆方程并化简得0422422=-++m mx x ,
由0)4(1682
2
>--=∆m m ,可得82
<m .
由4
4,2222121-=-=+m x x m x x , 故2216332
21m x x BC -=
-=
，又点A 到BC 的距离为3m d =,
故22)
216(22
414)216(2
1
2222=-+⋅≤-==∆m m m m d BC S ABC
,
当且仅当2±=m 时取等号(满足式) 因此ABC ∆面积的最大值为2. 21、
〔2〕解：∵()()ln 1x
g x x e x =-+，),0(+∞∈x ，
()()()()ln 1ln 11x x g x x e x e '''=-+-+()1ln 11ln 11x
x x e x e x e x x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪
⎝⎭
，
由〔1〕易知，当1a =时，1
()ln 1f x x x
=+-在),0(+∞上的最小值：0)1()(min ==f x f ，即),0(0+∞∈x 时，001
ln 10x x
+-≥、
又00x e >，∴
00001()ln 1110
x g x x e x ⎛⎫
'=+-+≥> ⎪⎝⎭
、
曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解、
而
()00
g x '>，即方程0
()0g x '=无实数解、故不存在.
【四】选考题：
22.〔本小题总分值10分〕选修4—1：几何证明选讲 证明：〔Ⅰ〕连接OD ，可得
DAC OAD ODA ∠=∠=∠
OD ∥AE ----------------------------------------3分
又DE OD DE AE ⊥⇒
⊥
∴DE 是⊙O 的切线.-----------------------------5分
〔Ⅱ〕过D 作AB DH ⊥于H ，那么有CAB DOH ∠=∠
5
3
cos cos ==
∠=∠∴AB AC CAB DOH .------------------6分 设x OD 5=，那么x DH x OH x AB 4,3,10===
2280,8x AD x AH ==∴--------------------------8分
由ADE ∆∽ADB ∆可得x AE AB AE AD 102
⋅=⋅=
x AE 8=∴
又AEF ∆∽ODF ∆，
8
5
==DO AE DF AF --------------10分 23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
〔1〕曲线1C ：
22
1164
x y +=；曲线2C ：22(1)(2)5x y -++=；……3分 曲线1C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线2C 为圆心为(1,2)-
2分
〔2〕曲线1C ：22
1164
x y +
=与x 轴的交点坐标为(4,0)-和(4,0)，因为0m >，因此点P 的坐标为(4,0)，……2分显然切线l 的斜率存在，设为k ，那么切线l 的方程为
(4)y k x =-，由曲线2C 为圆心为(1,2)-
=
解得32k ±=
，因此切线l
的方程为3(4)2
y x ±=
-……3分 24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲
解：〔1〕原不等式等价于
313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨
⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6
x x x ⎧<-
⎪⎨⎪-+--≤⎩----------3分
解得2
1
12321,223-<≤-≤≤-≤<x x x 或或，
即不等式的解集为{}21≤≤-x x ………5分
〔2〕()()432123212=--+≥-++x x x x ………..8分 因此41>-a ，3-<∴a 或5>a ……….10分
牡一中2017-2018学年度上学期期末考试高三数学文科试题细目
表。