【2019年整理】定积分在几何学上的应用副本
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些几何方面的问题。 2. 定积分几何学上的应用
（1）平面图形面积（直角坐标系）
（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体）
2019/4/19
12
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
解: （方法1） 利用直角坐标方程
y
则
o
b
x
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 2 b 2 1 3 a 2 2 a x x 3 0 a
2019/4/19
ax
(利用对称性)
11
内容小结
1. 掌握定积分的元素法，并会应用元素法来解决一
其中面积 A 的元素为 d A ( y) ( y) d y ．
例 1 求直线 y x 与 y x 2 所围成图形的面积.
解题步骤：
y
（1）画出函数的图形， 并求出交点。 （2）求出微元素
d A [ x x2 ]d x
yx
dA
2
1
yx
（3）把微元素累加起来，取极限 得图形的面积——定积分。
上连续, 则对应于小区间 的体积元素为
因此所求立体体积为
A( x)
a
2019/4/19
x
b
x
9
特别地, 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
y
oa
当考虑连续曲线段
x
y
x
y f ( x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
c
2019/4/19
x ( y)
o
x
10
例4
计算由椭圆
【教育类精品资料】
2019/4/19
1
第六章
§6.4 定积分的应用
（ Applications of Definite Integral）
一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、思考与练习
2019/4/19
2
一、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
b
其中面积 A 的元素为 d A f ( x) g ( x) d x ． 类似地，若函数 ( y ) 、 ( y ) 在 [c, d ] 上连续，且
y d 所围成的平面图形的面积为 A c ( y ) ( y ) d y
d
2019/4/19 5
( y) ( y) ， 则由曲线 x ( y) 、 x ( y ) 及直线 y c 、
2019/4/19
O
x
1
x
x dx
6Байду номын сангаас
例 2 求抛物线 y 2 2 x 与直线 x y 4 所围成的图 形的面积.
解题步骤：
（1）画出函数的图形，并求出交点。
（2）求出微元素。
（3）把微元素累加起来，取极限得图形的面积—— 定积分。
2019/4/19
7
例3 求椭圆
所围图形的面积 .
2) U 关于区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
2019/4/19
定积分定义
3
2. 如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式
解: 利用对称性 , 有 利用椭圆的参数方程
y
b
o x xdx a x
应用定积分换元法得
4 a b 1 ab
2 2
2019/4/19
4ab 2 sin 2 t dt
0
当 a = b 时得圆面积公式
8
2. 平行截面面积为已知的立体的体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
这种分析方法称为元素法 (或微元法) 元素的几何形状常取为: 条、带、段、 环、片、壳 等
2019/4/19 4
定积分在几何学上的应用
1. 平面图形的面积
若函数 f ( x) 、 g ( x) 在 [a, b] 上连续， 且 f ( x) g ( x) ，
则由曲线 y f ( x) 、 y g ( x) 及直线 x a 、 x b 所围 成的平面图形的面积为 A a f ( x) g ( x) d x
（1）平面图形面积（直角坐标系）
（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体）
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所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
解: （方法1） 利用直角坐标方程
y
则
o
b
x
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 2 b 2 1 3 a 2 2 a x x 3 0 a
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ax
(利用对称性)
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内容小结
1. 掌握定积分的元素法，并会应用元素法来解决一
其中面积 A 的元素为 d A ( y) ( y) d y ．
例 1 求直线 y x 与 y x 2 所围成图形的面积.
解题步骤：
y
（1）画出函数的图形， 并求出交点。 （2）求出微元素
d A [ x x2 ]d x
yx
dA
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1
yx
（3）把微元素累加起来，取极限 得图形的面积——定积分。
上连续, 则对应于小区间 的体积元素为
因此所求立体体积为
A( x)
a
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x
b
x
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特别地, 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
y
oa
当考虑连续曲线段
x
y
x
y f ( x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
c
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x ( y)
o
x
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例4
计算由椭圆
【教育类精品资料】
2019/4/19
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第六章
§6.4 定积分的应用
（ Applications of Definite Integral）
一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、思考与练习
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一、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
b
其中面积 A 的元素为 d A f ( x) g ( x) d x ． 类似地，若函数 ( y ) 、 ( y ) 在 [c, d ] 上连续，且
y d 所围成的平面图形的面积为 A c ( y ) ( y ) d y
d
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( y) ( y) ， 则由曲线 x ( y) 、 x ( y ) 及直线 y c 、
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O
x
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x
x dx
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例 2 求抛物线 y 2 2 x 与直线 x y 4 所围成的图 形的面积.
解题步骤：
（1）画出函数的图形，并求出交点。
（2）求出微元素。
（3）把微元素累加起来，取极限得图形的面积—— 定积分。
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例3 求椭圆
所围图形的面积 .
2) U 关于区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
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定积分定义
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2. 如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式
解: 利用对称性 , 有 利用椭圆的参数方程
y
b
o x xdx a x
应用定积分换元法得
4 a b 1 ab
2 2
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4ab 2 sin 2 t dt
0
当 a = b 时得圆面积公式
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2. 平行截面面积为已知的立体的体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
这种分析方法称为元素法 (或微元法) 元素的几何形状常取为: 条、带、段、 环、片、壳 等
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定积分在几何学上的应用
1. 平面图形的面积
若函数 f ( x) 、 g ( x) 在 [a, b] 上连续， 且 f ( x) g ( x) ，
则由曲线 y f ( x) 、 y g ( x) 及直线 x a 、 x b 所围 成的平面图形的面积为 A a f ( x) g ( x) d x