广东省梅州市梅林中学高二数学文下学期期末试题含解析

广东省梅州市梅林中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列中，已知，使得的最大正整数为
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
2. 设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：d==．
故选：B．
3. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，则异面直线A1B、EC的夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】取A1B1中点F，则BF∥EC，∠A1BF是异面直线A1B、EC的夹角，由此能求出异面直线A1B、EC 的夹角的余弦值．
【解答】解：取A1B1中点F，则BF∥EC，
∴∠A1BF是异面直线A1B、EC的夹角，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A1F=1，A1B=，BF=，∴cos∠A1BF===．
故选：A．
4. 椭圆上的两点A、B关于直线对称，则弦AB的中点坐标为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
5. 设数列的前n项和为，令，称为数列，，…，的“理
想数”. 已知数列，，…，的“理想数”为2012，那么数列2，，，…，
的“理想数”为（）
A 、2010 B、 2011 C、 2012 D 、2014参考答案：
A
略
6. 设集合A和B都是坐标平面上的点集，映射把集合A中的元素
映射成集合B中的元素，则在映射下，象的原象是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
7. 若，则复数=（）
A. B． C． D． 5参考答案：
C
8. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,,则B．若,,,则C．若,,,则D．若,,,则
参考答案：
D
9. 已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是（）
A． B．4 C． D．5
参考答案：
C
10. 如图所示程序框图，若判断框内为“”，则输出S=（）A. 2 B. 6 C. 10 D. 34
参考答案：
D
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】因为“”，根据程序框图，第一次执行循环体后，；第二次执行循环体后，；第三次执行循环体后，；此时程序停止，输出．故选：D.
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线与椭圆有相同的焦点；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．
其中真命题的序号为 _________．
参考答案：
②③④ 略
12. 若方程表示椭圆，则的范围为_____________.
参考答案：
略
13. 如图，以正六边形的一条对角线的两个端点F1、F2为焦点，过 其余四个顶点作椭圆，则该椭圆的离心率为____________．
参考答案：
e ＝＝－1 略
14. 已知直线的方程为，则与
垂直的直线的倾斜角为
参考答案：
15. 有两排座位，前排11个座位，后排12
个座位。

现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个
座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有多少种不同安排方法？__________
（用数字作答）.
参考答案：
346
略
16. 点
是椭圆
上的一点,
是焦点, 且
, 则△
的面积
是 .
参考答案：
17. 若以曲线y ＝f(x)任意一点M(x ，y)为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点N(x 1，y 1)，以点N 为切点作切线l 1，且l∥l 1，则称曲线y ＝f(x)具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为 ．(写出所有满足条件的函数的编号)
①y ＝x 3－x ②y ＝x ＋ ③y ＝sin x ④y ＝(x －2)2＋ln x
参考答案：
②③
由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x 值，总存在x 1(x 1≠x)使得f′(x 1)＝f′(x)．对于①，由f′(x 1)＝f′(x)可得x ＝x 2，但当x ＝0时不符合题意，故不具有可平行性；对于②，由f′(x 1)＝
f′(x)可得
，此时对于定义域内的任意一个x 值，总存在x 1＝－x ，使得f′(x 1)＝f′(x)；
对于③，由f′(x 1)＝f′(x)可得cos x 1＝cos x ，?x 1＝x ＋2k π(k∈Z)，使得f′(x 1)＝f′(x)；对于
④，由f′(x 1)＝f′(x)可得2(x 1－2)＋＝2(x －2)＋
，整理得x 1x ＝
，但当x ＝
时不符合
题意，综上，答案为②③.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （13分） 第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。

参考答案：
因此，至少有一人是“高个子”的概率是． ………………5分
（２）依题意，的取值为
．
， ，
， ． …………………9分 因此，的分布列如下：
……10分
． …………13分
19. 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？
(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？
参考答案：
（1）56；（2）35；（3）21
分析：（1）从口袋里的个球中任取个球,利用组合数的计算公式，即可求解.
（2）从口袋里的个球中任取个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成:第一步,从 个白球中任取个白球,第二步,把个红球取出,即可得到答案.
（3）从口袋里任取个球,其中不含红球,只需从个白球中任取个白球即可得到结果.
详解：（1）从口袋里的个球中任取个球,不同取法的种数是
（2）从口袋里的个球中任取个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成: 第一步,从个白球中任取个白球,有
种取法;
第二步,把个红球取出,有
种取法.
故不同取法的种数是:
（3）从口袋里任取个球,其中不含红球, 只需从个白球中任取个白球即可,
不同取法的种数是.
点睛：本题主要考查了组合及组合数的应用，其中认真分析题意，合理选择组合及组合数的公式是解
答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力. 20. （12分） 三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为
，若
，求角C 的大小．
参考答案：
解析: 由
=cosB ，
故B=600，A+C=1200。

…………………..5’
于是sinA=sin(1200-C)=
，…………………7’
又由正弦定理有：，………………….10’
从而可推出sinC=cosC ，得C=450。

…………………….12’
21. 关于复数z 的方程z 2﹣（a+i ）z ﹣（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有实数解，求a 的值；
（2）用反证法证明：对任意的实数a，原方程不可能有纯虚根．
参考答案：
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程利用两个复数相等的充要条件，解方程求得a的值．
（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，整理可得﹣n2+n﹣2+（﹣an﹣1）i=0，利用两个复数相等的充要条件
可得，由于①的判别式△＜0，方程①无解，故方程组无解，从而得到结论．
【解答】解：（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程可得 m2﹣（a+i）m﹣（i+2）=0，
即m2﹣am﹣2+（﹣m﹣1）i=0，∴m2﹣am﹣2=0，且﹣m﹣1=0，
∴m=﹣1，a=1．
（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，则有（ni）2﹣（a+i）ni﹣（i+2）=0，
整理可得﹣n2+n+（﹣an﹣a﹣2）i=0，∴．
∴对于①，由于判别式△＜0，∴方程①无解，故方程组无解，故假设不成立，
故原方程不可能有纯虚根．
【点评】本题考查两个复数相等的充要条件，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．
22. (本题满分12分) 已知函数的部分图象如图所示，其中
，．
（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）若，求的值．
参考答案：
解：．………………2分
设的最小正周期为．
由图可得，所以，．………………4分由，得，
因为，所以．………………6分
（Ⅱ）解：．………………7分
由，得，………………8分
所以．………………10分
所以．………………12分。