第9讲 对数与对数函数

第9讲对数与对数函数
1．对数的概念
如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a M
N＝log a M－log a N；
③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log am M n＝n
m
log a M(m，n∈R，且m≠0)．
(2)对数的性质
①a log a N＝__N__；②log a a N＝__N__(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：log b N＝log a N
log a b(a，b均大于零且不等于1)；
②log a b＝
1
log b，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.
2．对数函数的图象与性质
a >1
0<a <1
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0
(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0
(5)当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0
(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数
1．(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
2．设a＝log1
31
2，b＝log13
2
3，c＝log3
4
3，则a，b，c的大小关系是()
A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a
3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()
4．(教材改编)若log a34<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()
B．
(1，＋∞)
(1
，＋∞)
5．(2015·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
题型一对数式的运算
例1(1)设2a＝5b＝m，且1
a＋
1
b＝2，则m等于()
A.10B．10C．20D．100
(2)lg5＋lg20的值是________．
(1)计算：(1－log63)2＋log62·log618
log64＝________.
(2)已知log a2＝m，log a3＝n，则a2m＋n＝________.
题型二对数函数的图象及应用
例2(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()
(2)当0<x≤12时，4x<log a x，则a的取值范围是()
C．(1，2)D．(2，2)
(1)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a x与函数g(x)＝－log
b x的图象可能是()
(2)已知函数f(x)
x|，0<x≤10，
－
1
2x＋6，x>10，
若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，
则abc的取值范围是()
A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)
题型三对数函数的性质及应用
命题点1比较对数值的大小
例3设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()
A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
命题点2解对数不等式
例4若log a(a2＋1)<log a2a<0，则a的取值范围是()
A．(0,1)B．(0，12)C．(12，1)D．(0,1)∪(1，＋∞)
(1)设a＝log
32，b＝log52，c＝log23，则()
A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b (2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为() A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)
(3)设函数f(x)
2x，x>0，
(－x)，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
2．比较指数式、对数式的大小
典例(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是() A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b
π，c＝π－2，则()
(2)设a＝log2π，b＝log1
2
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a
(3)已知a＝52log3.4，b＝54log3.6，c＝(15)3log0.3，则()
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
[方法与技巧]
1．对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；
当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.
2．对数函数的定义域及单调性
在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．
3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
[失误与防范]
1．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N*，且α为偶数)．
2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．。