2018-2019学年山东省临沂市兰山区九年级上期末数学试卷及答案解析

2018-2019学年山东省临沂市兰山区九年级上期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．
C．D．
2．经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现在有一个人经过该路口，恰好直行的概率是（）
A．B．C．D．
3．若关于x的一元二次方程mx2﹣x＝有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≥﹣1且m≠0C．m＞﹣1且m≠0D．m≠0
4．如图，点A是反比例函数图象的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S△AOT＝4，则此函数的表达式为（）
A．B．C．D．
5．如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（）
A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）6．一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（）
A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝15D．（x+3）2＝3 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）
A．B．2C．2D．8
8．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2 9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A．2B．C．D．
10．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最
小值为（）
A．3B．4C．6D．8
二、填空题（共6小题，每题4份，共24分）
11．（4分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为．
13．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】
14．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为厘米．
15．（4分）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．
16．（4分）在△ABC中，AB＝9，AC＝6．点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．当AN＝时，△AMN与原三角形相似．
三、解答题（本题共7小题，共66分）
17．（12分）（1）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°
（2）解方程：x2+x﹣1＝0
18．（7分）随着信息技术的迅猛发展，人民去商场购物的支付方式更加多样、便捷．除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．（7分）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．
20．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）分别交于点A（4，1），B（﹣1，a）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出kx+b＞的x的取值范围．
21．（9分）如图，为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B ＝30°，开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米（结果精确到1千米）？
（参考数据：≈1.4，≈1.7）
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2＝EF•ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，求出点P的坐标．
2018-2019学年山东省临沂市兰山区九年级上期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现在有一个人经过该路口，恰好直行的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】根据根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率即可求出答案．
【解答】解：∵共有直行、左拐、右拐这3种选择，
∴恰好直行的概率是，
故选：B．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
3．若关于x的一元二次方程mx2﹣x＝有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≥﹣1且m≠0C．m＞﹣1且m≠0D．m≠0
【分析】将原方程变形为一般式，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：原方程可变形为mx2﹣x﹣＝0．
∵关于x的一元二次方程mx2﹣x＝有实数根，
∴，
解得：m≥﹣1且m≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，列出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
4．如图，点A是反比例函数图象的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S△AOT＝4，则此函数的表达式为（）
A．B．C．D．
【分析】由图象上的点所构成的三角形面积为可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为2，又因为点M在第二象限内，所以可知反比例函数的系数．
【解答】解：由题意得：|k|＝2S△AOT＝8；
又因为点M在第二象限内，则k＜0；
所以反比例函数的系数k为﹣8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
5．如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（）
A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）
【分析】画图可得结论．
【解答】解：画图如下：
则A'（5，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握顺时针或逆时针旋转是解决问题的关键．6．一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（）
A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝15D．（x+3）2＝3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x＝6，
配方得：x2﹣6x+9＝15，即（x﹣3）2＝15，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）
A．B．2C．2D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝＝，
∴CD＝2CH＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
8．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x 的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A．2B．C．D．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：，
由勾股定理，得
AC＝，AB＝2，BC＝，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．10．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）
A．3B．4C．6D．8
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵P A⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
二、填空题（共6小题，每题4份，共24分）
11．（4分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆
的半径为．
【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解：，解得r＝．
故答案为：．
【点评】解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为（﹣2，﹣）．
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣得到B′的坐标．
【解答】解：由题意得：△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，又∵B（3，1）
∴B′的坐标是[3×（﹣），1×（﹣）]，即B′的坐标是（﹣2，﹣）；
故答案为：（﹣2，﹣）．
【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．13．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
14．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为（﹣1）厘米．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，
∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，
∴AP＝AB＝2×＝（﹣1）厘米．
故答案为（﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．
15．（4分）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的
方向上，则船C到海岸线l的距离是km．
【分析】首先由题意可证得：△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°，求得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝2km，
在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝2×＝（km）．
故答案为：．
【点评】此题考查了方向角问题．注意证得△ABC是等腰三角形是解此题的关键．16．（4分）在△ABC中，AB＝9，AC＝6．点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．当AN＝2或4.5时，△AMN与原三角形相似．
【分析】分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝9，AC＝6，AM＝3，
①若△AMN∽△ABC，
则＝，
即＝，
解得：AN＝2；
②若△AMN∽△ACB，
则＝，
即＝，
解得：AN＝4.5；
故AN＝2或4.5．
故答案为：2或4.5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共66分）
17．（12分）（1）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°
（2）解方程：x2+x﹣1＝0
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算；
（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：（1）原式＝4×﹣3×+2××
＝2﹣3+1
＝1﹣；
（2）△＝12﹣4×（﹣1）＝5，
x＝＝
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了特殊角的三角函数值．
18．（7分）随着信息技术的迅猛发展，人民去商场购物的支付方式更加多样、便捷．除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及其他支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（7分）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．
【分析】由∠BAE＝∠CAD知∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，再根据线段的长得出＝＝，据此即可得证．
【解答】解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，
∴＝＝，
∴△ABC∽△AED．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
20．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）分别交于点A（4，1），B（﹣1，a）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出kx+b＞的x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数的解析式，把点A（4，1）与点B （﹣1，﹣4）代入一次函数y＝kx+b，即可得到一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由图象即可得kx+b＞的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（4，1）与点B（﹣1，a）在反比例函数y＝（m≠0）图象上，∴m＝4，
即反比例函数的解析式为y＝，
当x＝1时，y＝﹣4，即B（﹣1，﹣4），
∵点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）对于y＝x﹣3，当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝；
（3）由图象可得，当﹣1＜x＜0或x＞4时，kx+b＞．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积公式，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
21．（9分）如图，为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B ＝30°，开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米（结果精确到1千米）？
（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【分析】过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD
的长度和AC的长度，在直角△CBD中，解直角三角形求出BD的长度，再求出AD的长度，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
【解答】解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×＝40（千米），
AC＝＝40≈56.4（千米），
∵cos30°＝，BC＝80（千米），
∴BD＝BC•cos30°＝80×＝40（千米），
∵tan45°＝，CD＝40（千米），
∴AD＝40（千米），
∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.7＝108（千米），
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣108＝28.4≈28（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为28千米．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2＝EF•ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接AO，求出∠OAD＝90°即可．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠CBD，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠AFB＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝72°＝36°，
∴∠D＝∠CBD＝36°，
∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∠BAF＝180°﹣∠ABF﹣∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠DAF＝∠DAB﹣∠F AB＝108°﹣72°＝36°；
（2）证明：∵∠CBD＝36°，∠F AC＝∠CBD，
∴∠F AC＝36°＝∠D，
∵∠AED＝∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴＝，
∴AE2＝EF×ED；
（3）证明：连接OA、OF，
∵∠ABF＝36°，
∴∠AOF＝2∠ABF＝72°，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OF A＝×（180°﹣∠AOF）＝54°，
由（1）知∠DAF＝36°，
∴∠DAO＝36°+54°＝90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），可以求得该抛物线的解析式；
（2）根据题意和（1）中的抛物线解析式可以求得点C的坐标，从而可以得到直线BC 的函数解析式，然后根据在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，即可求
得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）∵y＝﹣x2+x+1，
∴当x＝0时，y＝1，
即点C的坐标为（0，1），
∵B（3，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y＝x+1，
设点P的坐标为（p，﹣p2+p+1），
将x＝p代入y＝x+1的，y＝p+1，
∵△PBC面积为1，
∴＝1，
解得，p1＝1，p2＝2，
当p1＝1时，点P的坐标为（1，），
当p2＝2时，点P的坐标为（2，1），
即点P的坐标为（1，）或（2，1）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．。