2018高1(下)--棠湖中学--开学

2018年春四川省棠湖中学高一开学考试
数学试题
第一部分（选择题共60分）
一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，所以，故选B．
2. 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选
3. 已知函数，则（）
A. -3
B. 0
C. 1
D. -1
【答案】C
【解析】由函数，则，故选C．
4. 角终边落在直线上，则（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由角的终边落在上，在直线上取一点，则,
由三角函数的定义可知，
所以，则，故选D．
5. 函数的零点个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】函数的零点个数，可转化为函数和图象的焦点个数，在同一坐标系中作出函数和的图象，
由图象可知，函数和的图象由两个交点，
所以函数有两个零点，故选C．
6. 已知函数，若，则的值为（）
A. 0
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D
【解析】由题意，所以，
又，故选D．
7. 已知，则的值是（）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】由题意，根据同角三角函数的基本关系式
可得，故选C．
8. 已知，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质可得：，而，所以，故选B．
9. 已知，，且均为锐角，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】均为锐角，
，
，
故选
10. 已知函数，对，总有成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意成立
则函数为上的单调递减函数，
且
解得
故实数的取值范围是
故选
点睛：本题主要考查的是分段函数单调性的应用以及简单不等式组的解的有关方面的知识与技能，属于中档题。

根据条件，可得或，从而判断函数为上的单调递减函数，这一结论是关键所在。

11. 在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量
，则点Q的坐标是( )
A. (－7，－)
B. (－7，)
C. (－4，－2)
D. (－4，2)
【答案】A
【解析】因为点，所以,
设，则，
因为向量绕点逆时针方向旋转后得到，
设，则，
，
所以，故选A．
12. 已知函数，若且，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，由于，由
，由，又，所以，从而，
，故选D
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图像过点，则____________．
【答案】-4
【解析】设幂函数的解析式为，
代入点得，解得，即，所以．
14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________．【答案】2
【解析】①若，则
②若，则应满足，解得
综上得
实数的取值范围是
15. 已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
当时，由，即
则，即
当时，由，得，解得
则当时，不等式的解为
则由为偶函数
当时，不等式的解为
即不等式的解为或
则由或
解得：或
即不等式的解集为
点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题。

先求出当时，不等式的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域的解，即可得到结论。

【答案】④
【解析】由题意，性质①反映了函数为定义域上的奇函数，性质②反映了函数为定义域上的单调递减函数，
①中，函数为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，所以不正确；
②中，函数为定义域上的偶函数，所以不正确；
③中，函数的定义域为，由于为单调增函数，所以函数为定义
域上的增函数，所以不正确；
④中，函数的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为理想函数，综上，答案为④．
点睛：本题主要考查了抽象函数的表达式反映的函数的基本性质，对新定义的函数理解能力，其中对于函数的奇偶性、函数的单调性的定义是基本初等函数的单调性和奇偶性的主要判定方法，同时对于分段函数的单调性和奇偶性可以利用数形结合的方法加以判定，考查了分析问题和解答问题的能力．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合,．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：(1)求出集合A,B进行运算即可
（2）分和两种情况，结合数轴列出不等式和不等式组求解
试题解析： (1)
（2）①当时，即，所以，此时
满足题意
②当时，，即时，
所以，解得：
综上，实数a的取值范围是
18. 已知.
（1）化简；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）sin α·cos α（2）
【解析】试题分析：（1）利用三角函数的诱导公式，即可化简得到；
（2）由（1）和得，进而可得的值．
试题解析：
(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
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又∵＜α＜，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.
∴cos α－sin α＝.
19. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的值域.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】试题分析：⑴把代入到函数中，计算即可得到的值；
⑵利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，即可解得函数的单调递增区间；
⑶把的取值范围代入即可求得的值域
解析：（1）∵，
∴，
.
（2）由
，
当，时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为
（3）∵，∴，∴，
故函数的值域为.
点睛：本题考查了三角函数的综合，运用二倍角公式、降幂公式和辅助角公式进行化简，然后结果三角函数的单调区间进行计算，注意在求给定区间内的值域时需要由内而外逐步求出范围，从而算出结果。

20. 函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
(1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．
【答案】（1），[－2，2]（2）
【解析】解：(1)由已知可得f(x)＝6cos2＋sinωx－3＝3cosωx＋sinωx＝2sin(ωx＋)，
又正三角形ABC的高为2，则|BC|＝4，
所以函数f(x)的最小正周期T＝4×2＝8，即＝8，得ω＝，
函数f(x)的值域为[－2，2]．
(2)因为f(x0)＝，由(1)得
f(x0)＝2sin(＋)＝，
即sin(＋)＝，
由x0∈(－，)，得＋∈(－，)，
即cos(＋)＝＝，
故f(x0＋1)＝2sin(＋＋)
＝2sin[(＋)＋]
＝2[sin(＋)cos＋cos(＋)sin]
＝2×(×＋×)
＝．
视频
21. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【答案】（1）43.5（万元）（2）当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元
【解析】试题分析：（1）当时，此时甲城市投资万元，乙城市投资万元，即可得到总收益；
（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元，得出函数的解析式，进而可求解最大值总收益．
试题解析：
（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元
所以总收益=43.5（万元）
（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元
所以
依题意得，解得
故
令，则
所以
当，即万元时，的最大值为44万元，
所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．
点睛：本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案．
22. 已知函数，其中.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由.
【答案】(1)奇函数(2)在上为减函数(3)
【解析】试题分析：（1）已知函数的定义域关于原点对称，再证明，所以函数是奇函数；（2）用定义证明函数在上单调递减的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）由（1）（2）得，不等式可变形为，从而得到不等式组
，解得.
试题解析：（1）∴是奇函数．
（2）任取
∴在上的减函数；
（3）是上的减函数
对恒成立
由对恒成立得：
对恒成立
令
，
∴，
由对恒成立得：
由对恒成立得：
即综上所得：
所以存在这样的k其范围为
考点：函数的奇偶性、单调性和最值.。