高中数学解析几何初步2_1_5平面直角坐标系中的距离公式高效测评北师大版

2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 平面直角坐标系
中的距离公式高效测评 北师大版必修2
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5
解析： 由|AB |＝－2－a
2
＋－1－3
2
＝5⇒a ＝1或a ＝－5，故选C.
答案： C
2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B ． 3 C ．2
D ． 5 解析： 由点到直线的距离公式d ＝|－5|12
＋2
2
＝ 5.
答案： D
3．已知三点A (3,2)、B (0,5)、C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形
解析： ∵|AB |＝0－32
＋
5－2
2
＝18，|AC |＝4－3
2
＋6－2
2
＝
17，|BC |＝
4－0
2
＋
6－5
2
＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，且|AC |2
＋|BC |2
≠|AB |2
，
∴△ABC 是等腰三角形，故选C.
答案： C
4．设P ，Q 别离为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析： ∵直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0平行，∴|PQ |的最小值就是两条直线之间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上任取一点，如点A (0,3)，则它到直线6x ＋8y ＋6＝0的距离为d ＝|6×0＋8×3＋6|62＋8
2
＝3，即这两条平行直线之间的距离为3，故选A. 答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________．
解析： 设P (x ，y )．则⎩
⎪⎨⎪⎧
|y |＝10，
x ＋42
＋y －2
2
＝100.
当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解． 则(2,10)或(－10,10)． 答案： P (2,10)或P (－10,10)
6．两平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0间的距离为________． 解析： 方式一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2， 所以点P 到直线l 2的距离等于l 1与l 2间的距离． 于是d ＝|2×4＋3×0－10|22＋32
＝213
＝213
13. 方式二：由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－－10|22＋32
＝213
13. 答案：
213
13
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程． 解析： ∴点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )． 按照两点间的距离公式得 |PM |2
＝(a －5)2
＋(2a －8)2
＝52
，
即5a 2
－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325，
∴P (2,4)或⎝
⎛⎭
⎪
⎫325，645.
∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5
32
5
－5，
整理得4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.
8．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． 解析： 方式一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0.
在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12， 则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－12×12＋C 52
＋－12
2
＝|C －6|
13
，
由题意，得|C －6|
13＝2，
所以C ＝32，或C ＝－20.
故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方式二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52
＋－12
2
，
解得C ＝32，或C ＝－20.
故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 尖子生题库
☆☆☆
9．(10分)在直线l ：3x －y －1＝0上求点P 和Q ，使得 (1)点P 到点A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)点Q 到点A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．
解析： (1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′ 的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k 1＝－1，即3×b －4
a
＝－1， ∴a ＋3b －12＝0.①
线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
，b ＋42，且中点在直线l 上，
∴3×a 2－b ＋42
－1＝0，即3a －b －6＝0.②
解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．
于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4
，即2x ＋y －9＝0.
解⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝5，
即l 与直线AB ′的交点坐标为P (2,5)，且此时点P
到点A ，B 的距离之差最大．
(2)如图所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，245. ∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，解得直线AC ′和l 交点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫117，267，
故Q 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫117，267，且此时点P 到点A ，C 的距离之和最小．。