2019版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.2 平面向量基本定理及坐标表示学案 文

4．2 平面向量基本定理及坐标表示
[知识梳理]
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标运算
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 2
1＋y 2
1，|a ＋b |＝(x 2＋x 1)2
＋(y 2＋y 1)2
.
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [诊断自测] 1．概念思辨
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )
(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1
y 2
.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．教材衍化
(1)(必修A4P 119T 11)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.
设OC →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R )，则m n
等于( )
A.13 B ．3 C.3
3 D. 3 答案 B
解析 依题意，以O 为原点，OA 、OB 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A (1,0)，
B (0，3)，设
C (x ，y )，由OC →＝mOA →＋nOB →
得x ＝m ，y ＝3n ，又∠AOC ＝30°，知y x ＝33
，故
m
n
＝3，选B. (2)(必修A4P 101A 组T 5)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则
m
n
＝________. 答案 －1
2
解析 解法一：由已知条件可得m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴2m －n 4＝3m ＋2n
－1
，即n －2m ＝
12m ＋8n ，∴m n ＝－1
2
.
解法二：注意到向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而m a
＋n b 与a －2b 共线的本质是对应的坐标(系数)成比例，于是有m 1＝n －2⇒m n ＝－1
2
.
3．小题热身
(1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.1
2 C ．1 D ．2 答案 B
解析 a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝1
2.故选
B.
(2)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B
解析 设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，
A 选项，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
k 2＝3，
2k 2＝2，无解．
B 选项，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，
解之得⎩⎪⎨
⎪⎧
k 1＝2，k 2＝1.
故B 中的e 1，e 2可把a 表示出来． 同理，C ，D 选项同A 选项，无解．故选B.
题型1 平面向量基本定理及应用
典例
(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________，y ＝________.
运用向量的线性运算对待求向量不断进行转化，
直到用基底表示．
答案 12 －16
解析 由AM →＝2MC →知M 为AC 上靠近C 的三等分点，由BN →＝NC →
，知N 为BC 的中点，作出草图如下：
则有AN →＝12(AB →＋AC →)，所以M N →＝A N →－A M →＝12(AB →＋AC →)－23·AC →＝12AB →－16
AC →，又因为MN →＝
xAB →＋yAC →
，所以x ＝1
2，y ＝－16
.
方法技巧
应用平面向量基本定理的关键点
1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．如典例．
冲关针对训练
设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案 12
解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
，
∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝1
2
.
题型2 平面向量共线的坐标表示及应用
角度1 求点的坐标
典例 已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32
|BP |，则点P 的坐标为________．
方程组法．
答案 (8，－15)
解析 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，且AP →＝32BP →
，得(x －2，y －3)＝32(x
－4，y ＋3)，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＝3
2(x －4)，y －3＝3
2
(y ＋3).解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝8，
y ＝－15.
所以点P 的坐标为(8，－15)． 角度2 研究点共线问题
典例
(2018·佛山质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →
＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2
b
的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
用到均值不等式、向量问题实数化．
答案 D
解析 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →
＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →
＝(－b －1，2)．
又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →
，
即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，
又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b
时，
取“＝”．故选D.
方法技巧
1．利用两向量共线求点的坐标
利用向量共线的坐标表示构造所求点的坐标的方程组，解方程组即可．注意方程思想的
应用．如角度1典例．
2．研究点(向量)共线问题
两平面向量共线的充要条件有两种形式
(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.如角度2典例． (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 冲关针对训练
1．(2017·许昌二模)已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →
|的最大值是( )
A.2＋1
B.7＋1
C.2－1
D.7－1 答案 A
解析 设点M 的坐标是(x ，y )，
∵C (0，－2)，且|CM →
|＝1，
∴x 2
＋(y ＋2)2
＝1，则x 2
＋(y ＋2)2
＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，
∴OA →＋OB →＋OM →
＝(x ＋1，y ＋1)，
则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2
，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，
∵点N (－1，－1)在圆C 外部，
∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2
＋1＝2＋1.故选A. 2．(2018·湖北武昌调考)已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →
与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________.
答案 －2
3
解析 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →
＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)． 又PQ →
与向量a ＝(λ，1)共线，
∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－2
3
.
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 答案 D
解析 由题可得a ＋b ＝(4，m －2)，又(a ＋b )⊥b ， ∴4×3－2×(m －2)＝0，∴m ＝8.故选D.
2．(2018·福州一中模拟)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →
＋AC →
＝mAM →
成立，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 答案 B
解析 由MA →＋MB →＋MC →＝0，知点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝
23×12(AB →＋AC →)＝13
(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →
，故m ＝3.故选B. 3．(2017·福建四地六校联考)已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD →＝
1
2(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →
|等于________．
答案 2 2
解析 由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12
(OA →＋OC →
)，知点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以
BD →
＝(－2,2)，故|BD →
|＝(－2)2＋22＝2 2.
4．(2017·湘中名校联考)已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，D 是BC 边上靠近点B 的四等分点，F 是AC 边的中点，若点G 是△ABC 的重心，则GD →·AF →
＝________.
答案 －21
4
解析 连接AD ，AG ，如图．
依题意，有AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →，AF →＝12
AC →，GD →＝AD →－AG →
＝
AD →
－23×12
(AB →＋AC →)＝34
AB →＋14
AC →－13
AB →－13
AC →＝512
AB →－112
AC →，故GD →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫512AB →－112AC →·12
AC →＝
524AB →·AC →－124AC →2＝－524×6×6×12－124×62＝－154－32＝－214
.
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一、选择题
1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向
答案 D
解析 ∵c ∥d ，∴(k a ＋b )∥(a －b )，∴存在λ使k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
k ＝λ，1＝－λ
⇒
⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－1，λ＝－1.
∴c ＝－a ＋b ，∴c 与d 反向．故选D.
2．(2018·襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，
C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )
A ．k ＝－2
B ．k ＝1
2 C ．k ＝1 D ．k ＝－1
答案 C
解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线．因为AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故选C.
3．(2018·怀化一模)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
答案 D
解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.
4．(2017·河南高三质检)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝4，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝5，则|BD →
|等于( )
A ．6
B ．4
C ．2
D ．1 答案 C
解析 设AD →＝λAB →，∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝λAB →2－AB →·AC →
＝5，可得25λ＝15，∴λ＝35，∴|BD →|＝25
|AB →
|＝2.故选C.
5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →
＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →
＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
答案 A
解析 由题意知OC →
＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)．选A.
6．(2017·茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2
y
的最小值是( )
A ．24
B ．8 C.83 D.5
3
答案 B
解析 ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，又x ，y >0，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×1
3(2x
＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
12＋2
9y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴
3x ＋2
y
的最小值是8.故选B.
7．(2017·济南二模)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →
的夹角为θ，N 为OB 中点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2
的最小值为( )
A.
425 B.25 C.49 D.23
答案 A
解析 因为点C ，M ，N 共线，则OC →＝λOM →＋μON →＝23λOA →＋12μOB →
，λ＋μ＝1，
由OC →＝xOA →＋yOB →
，
x ＝23λ，y ＝12μ＝12
(1－λ)，
x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23λ2＋1
4(1－λ)2＝2536λ2－λ2＋14
，
设g (λ)＝2536λ2－λ2＋1
4
，
由二次函数的性质可知：当λ＝9
25
时，g (λ)取最小值，
最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫925＝4
25
，
所以x 2＋y 2
的最小值为425
.故选A.
8．(2017·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2
＝( )
A.58
B.14 C ．1 D.516 答案 A
解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →
，所以λ＝14，μ＝－34
，
故λ2＋μ2
＝58
.故选A.
9．(2018·安徽十校联考)已知A ，B ，C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →
，则S △ABD S △ACD ＝( )
A.23
B.32 C ．6 D.1
6 答案 C
解析 如图，取AM →
＝－13
AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，
此时AD →
＝－13
AB →＋2AC →.
由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝1
2S △AND ，
而S △AMD ＝S △AND ，∴
S △ABD
S △ACD
＝6.故选C. 10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →
＝( )
A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋
22b B ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22b C ．－2a ＋⎝
⎛⎭
⎪⎫1－
22b
D.2a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－22b 答案 B
解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝
2
2
，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D ⎝
⎛⎭⎪⎫22，1＋22，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2
－1，1＋22.
令AD →＝λAB →＋μAC →
，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
－λ－μ＝22－1，μ＝1＋2
2，得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝－2，
μ＝1＋2
2，∴AD →
＝－2a
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋
22b .故选B.
二、填空题
11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点
D 的坐标为________．
答案 (2,4)
解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →
＝(4－x,2－y )，AB →
＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．
答案 60°
解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理， 得b 2
＋a 2
－c 2
＝ab .
由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
.
又0°<C <180°，∴C ＝60°.
13．(2017·太原三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23
AB →＋λAC →，则|AP →
|的最大值为________．
答案
213
3
解析 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，
C (1，3)，
设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23
AB →＋λAC →，
∴(x ，y )＝2
3
(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，
∴⎩⎨
⎧
x ＝2＋λ，y ＝3λ，
∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－
3
2
(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝73
，y ＝33
，
此时|AP →|最大，∴|AP →|＝
499＋13＝2133
. 14．(2018·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →
＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →
的取值范围是________．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－23，103 解析 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →
，
所以BE →＝34
BC →.
设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，
所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →
＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34
tBC →2
＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42
＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，
即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103. 三、解答题
15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →
，它们的夹角为2π3
.如图所示，点C 在以O
为圆心的
上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →
，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．
解 以O 为坐标原点，OA →
所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则
A (1,0)，
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，
32. 设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，
则C (cos α，sin α)，
由OC →＝xOA →＋yOB →
，得⎩⎪⎨
⎪⎧
cos α＝x －12
y ，
sin α＝3
2
y ，
所以x ＝cos α＋
33sin α，y ＝233
sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，
又α∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.
16．(2018·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点
B (－1，0)，|O
C →
|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．
(1)若x ＝34
π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →
|的最小值；
(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对
应的x 值．
解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22
＋t ，22，
所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2
＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，
所以当t ＝
22时，|OC →＋OD →|2
最小，最小值为22
. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →
＝(cos x ＋1，sin x )， 则m ·n ＝1－cos 2
x ＋sin 2
x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，
所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8时，
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π
8
.。