湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一下学期期末数学题(解析版).docx

2020年高一上学期期末质量检测卷
数学试卷
注意事项：
1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6、本试卷共22个小题，考试时量120分钟，满分150分.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若costz>0,tan（z>0,则角a 是（）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【答案】A
【解析】
【分析】
根据余弦函数、正切函数的正负性的性质进行求解即可.
【详解】因为cosa>0,所以角a的终边可能位于第一或第四象限，也可能与横轴的正半轴重合；
又因为tana>0,所以角a的终边可能位于第一或第三象限.
因为cosa>0,tana>。

同时成立，所以角a的终边只能位于第一象限.
于是角a是第一象限角.
故选：A
【点睛】本题考查了余弦函数和正切函数的正负性的性质，属于基础题.
2,下列命题正确的是（）
A 若|4|=0,则a = 6 B.若\a\=\b\,则a^b
C.若\a\=\b \,则Q〃Z?
D.若allb，则a-b
【答案】A
【解析】
【分析】
根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B, C, D项均错.
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
修|=伍|时，只说明向次5的长度相等，无法确定方向，
所以B, C均错；
a\\b时，只说明4,5方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题.
7T
3.函数/(%) = sin(2x + —)的最小正周期为( )
_ 兀
A 4兀 B. 2兀 C.兀 D.—
2
【答案】C
【解析】
2〃
由题意7 =—=兀，故选C. 2
【名师点睛】函数y = Asin(ox++ B(A>0,&>>0)的性质：
⑴：Vmax=3+4 VminM — A.
2〃
(2)最小正周期T —•
CD
⑶由a>x+(p = — + kii(k&Z)求对称轴.
⑷由+ < a)x + (p < — + 2kn^k c Z)求增区间；由—+ 2bi < a)x +(p< — + 2kii^k e Z)求减区间.
4. S“是等差数列｛%｝的前"项和，如果510 = 120 ,那么+ a l0的值是( )
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
【答案】B 【解析】
【分析】
由等差数列的性质：若m+n=p+q,则a m+a n=a P+ a q即可得.
【详解】F=5（1+%°） = 12。

fl] + tz10 = 24
故选B
【点睛】本题考查等比数列前n项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下
标的变化规律，合理地进行等价转化.
5,下列结论正确的是（）
C.若a>b , c<0 ,则ac<Z?c
【答案】c
【解析】
【分析】
利用不等式的性质和特殊值法来判断各选项中结论的正误.
【详解】对于A选项，若c<0,由oc>Z?c,可得。

<》，A选项错误；
对于B选项，取a = -2, b = l,则苛〉胪满足，但a〈b, B选项错误；
对于C选项，若a>b, c<0,由不等式的性质可得ac</?c, C选项正确；
对于D选项，若有'<JF，则a>饥D选项错误.故选C.
【点睛】本题考查利用不等式的性质来判断不等式的正误，同时也可以利用特殊值法等一些基本方法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.
6.已知点Q, E, F分别是AABC各边的中点，则下列等式中错误的（）
FD + DA^FA B. FD + DE+EF = 6
C. DE + DA = EC
D. ~DE + DA^FD
A. -1
B. 1
故选：C.
【点睛】本题主要两角和的正切公式的应用，属于基础题.
8.已知向量2= (0, 5),向量片=(3,-1),若穴方一方与方+方垂直，则()
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，根据向量的加法运算法则，可得FD+DA^FA^故A 正确; 由 FD + DE + EF = FE + EF = Q> 故 B 正确；
根据平行四边形法则，可^DE + DA = DF = EC>故C 正确，D 不正确. 故选：D.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则的应用，其中解答中熟记向量的加法、减法, 以及平行四边
形法则是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
若 tan « = — , tan B =——,则 tan(<z + /?)=( ) 2 3
7. C. _5
7
£ 7
5 B.—
7 1 D,—
— 7
【答案】c 【解析】 【分
根据tana,tan”的值，利用两角和的正切公式求得tan(o + ”)的值. 【详解】•.•tantz = ：
2
则tan
5=冒片
1 1
一+一
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量垂直得到数量积为零，展开后利用坐标运算得到答案.
【详解】因为向量4=(0, 5),向量片=(3, -1),日“一方与方+方垂直，
所以(/a -b}- (a + b) = 0 ,艮[I • a + fj.a-b-a-b-b-b = 0 ,
25# + (0 —5)# —(0 —5)—10 = 0,
所以"=',
故选：D.
【点睛】本题考查向量的垂直坐标运算，公式要正确运用.
〃 +
9.在△ABC中，已知A, B,。

成等差数列，且力=3,则--------------------------- =()
sin A + sin B + sin C
A. ^3
B. 2^3
C. 3
D.6
【答案】B
【解析】
【分析】
先算出再利用正弦定理可得2R,最后利用等比定理可得所求的值.
【详解】因为A,B,C成等差数列且A+B+C= TV,
71 2R = ----- = — = 2y/3
所以3B = 7i即3 =耳，所以外接圆的直径sin 3 近，
项
由正弦定理-^― = -^― == 2R可得.广廿=2R = 2右，
sin A sinB sinC sinA + sinB + sinC
故选：B.
【点睛】本题考查正弦定理，属于基础题.
10.将函数/(X)= sin2x的图象向右平移个单位长度得到g(x)图象，则函数的解析式是( )
A g(x) = sin[2x + ?] B. g(x) = sinf2x + ^1
【解析】
C. g(x) = sin[ 2》一：
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论.
【详解】由题意，将函数/(x) = sin2x 的图象向右平移三个单位长度，
6
可得 g(x) = sin 2(x —专)=sin(2x —§. 故选C.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.
11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛
减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天 健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6天后到达目的地请问第三天走了( )
A. 60 里
B. 48 里
C. 36 里
D. 24 里
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意得出等比数列的项数、公比和前〃项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得。

3的值.
1 %
【详解】依题意步行路程是等比数列，且0 = 3, 〃 = 6, &=378,故一 [
1 ----
2 , 1
故a 3 = a^q = 192x — = 48里.故选 B.
【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前以项和的基本量计算，属于基础题.
12.在△ABC 中，a,b,c 分别为A,B,C 的对边，A = 60°,b = l,这个三角形的面积为JL 贝彩=()
【答案】D
= 378,解得 % =192,
B. V10
C. 2A /3
D. V13
【分析】
根据三角形的面积公式可求得C,再由余弦定理可求得S得出选项.
1 1 。

L
【详解】依题意s =—Z?csinA = —xlxcsin60° = V3 ,解得c = 4,
2 2
由余弦定理得a = 712+42-2xlx4cos60° = 713 -
故选：D.
【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理，属于基础题 .
二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.cos 15° cos 75° + sin 15° sin 75°的值为.
【答案】:
2
【解析】
【分析】
逆用两角差的余弦展开式可以得到答案.
【详解】因为cos 15° cos 75。

+ sin 15° sin 75° = cos(75°— 15°) = cos 60。

,
故答案：:.
2
【点睛】本题考查两角和与差余弦展开式，属于基础题.
14.等比数列｛。

"｝中，％ = 2,缶=8,则％ =.
【答案】4
【解析】
试题分析：由等比中项的性质，a52=a3 a r =16,所以向=4.
考点：等比中项的性质.
15.已知同=1,例=2,向量成片的夹角为：，则刁•何+ 5)=.
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用平面向量数量积的定义与运算法则求解即可.
【详解】由向量塞满足同=1, |牛2,且号与方的夹角为:，
——兀
可得a・Z? = lx2xcos— = l,
3
贝I 办何 +芬)=a +tz-S = l + l = 2,
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，属于基础题.
16.设x>l,则函数y = % + ^—+ 5的最小值为
x-1
【答案】8
【解析】
【分析】
将解析式变形，再利用基本不等式即可得出.
【详解】Qx>l,
•-函数y = x --------- 5 = (x -1) --------- F 6.. 2. (.X —1)« - 6 = 8,当且仅当x = 2 时取等号，x-1 x-1 v X-1
因此函数y = x + —^— + 5的最小值为8. x-1
故选：A .
【点睛】本题查主要基本不等式的应用，解题过程注意等号成立的条件，属于基础题.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知平面向量a,b, 4 = (1,2).
⑴若；=(0,1)，求|方+ 2耳的值；
(2)若b = (2,m), Q与a-b共线，求实数m的值.
【答案】(1)而;(2) 4.
【解析】
【分析】
(1)求出a + 2b，即可由坐标计算出模；
(2)求出>5,再由共线列出式子即可计算.
【详解】(1)』+2片= (1,2)+ (0,2) = (1,4),
所以|a + 2^|=Vl2+42 =717 ；
(2) u — b =(―1,2 —/TI),
因为U 与4-片共线，所以1x(2 —榆―2x(—1) = 0,解得秫=4.
18.
已知 COSdf = , Clf G (0,7T).
(1) 求cos 2-的值；
2
(2) 若cos(a +月)=—?, 求cos”的值.
3
11 【答案】(1) -； (2)
7
14
【解析】 【分析】
(1) 直接利用余弦倍角公式求得结果；
(2) 利用同角三角函数平方关系，结合角的范围，求得sina- —，sin(a + ”)= -吏，将角进行配
7 v ' 2
凑cos" = cos[(a +月)-a],利用差角余弦公式求得结果. 【详解】⑴由"=2她号-1得：心；=官日.
又 * e ，• •6/
+”£(冬2〃)，.•. sin(a + /?) = -Jl-cos? (a + 0) =
:.cos P = cos [(a + ")-a] = cos (Q + /?)cosa + sin(a + ")siim
{ [ 2 J 7 14
【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，余弦的倍角公 式，余弦的差角公式，在解题的过程中，注意角的配凑，属于简单题目.
19. 已知/(x) = (x-a)(x-2).
(1) 当。

=1时，求不等式/(%)>。

的解集； (2) 解关于x 的不等式/(%)<0,
【答案】(1) (YO ,1)U (2，+8). (2) a = 2时，不等式无解；a>2时，不等式的解集为(2,a)； a <2时, 不等式的解集为(。

,2).
(2) •.・cosa = -：, a e (0,TT ) , a G
71
E =后客=玄
7
【解析】
【分析】
(1)根据一元二次不等式的解的结果，直接得到答案；
(2)对"与2的大小关系分三种情况讨论，可得结果.
【详解】(1) a = l时，不等式/(%)>。

化为(x—l)(x—2)>0,
解得工<1或％> 2,
...不等式的解集为(f ,1)口(2,+8).
(2)关于x 的不等式/(x)<0, gp(%-a)(x-2)<0；
当a = 2时，不等式化为(X—2)2<0,不等式无解；
当。

〉2时，解不等式(%-«)(%-2)<0,得2<x<a；
当a<2时，解不等式(X—Q)(x—2)<0,得a<x<2；
综上所述，a = 2时，不等式无解，。

>2时，不等式的解集为
a<2时，不等式的解集为(a,2).
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.
20.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，3、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°、60°、45°,计划沿直线渺开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
(1)求出线段AE的长度;
(2)求出隧道CZ)的长度.
【答案】(1) 2(后+ 1)
(2) 4也
【分析】
(1)由已知在中，由正弦定理即可解得AE的值；(2)由已知可得ZBAE=90° ,在RtZXA班;中, 可求BE的值，进而可求CD=BE- BC- DE的值.
【详解】(1)由已知可得EF=2, ZF=45° , ZEAF=60° -45° =15
解得AE = 2(0 + 1)；
(2)由已知可得ZBAE=180° - 30° - 60° =90° ,
在RtAAB£中，BE = 2AE = 4(0 + 1),
所以隧道长度CD = BE — BC — DE = 4也.
【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
21.已知等差数列｛%｝的前〃项的和为S“,且黑=45, $6=60.
(1)求数列｛%｝的通项公式;
1 3
(2)若数列｛如｝满足b n+1 ~b n=a n)且l\=3.设数列\ — \的前〃项和为T n,求证：T n<-.
〔妇4【答案】(1) %=2〃 + 3； (2)证明见解析.
【解
析】
分析】
(1)首先根据题中所给的条件，结合等差数列求和公式列出等量关系式，求得首项和公差，进而求得通项
公式;
9
1 1 1
⑵首先利用累加法求彳M3+2”,得到厂小=沁〃 + 2,利用裂项相消法求得
1111 1 =——1 ---- 1 -------- ... -------- 2 '' ] ------
2 〃+1 〃+2
,从而证得结果.
在ZkAEF中，由正弦定理得:
AE
sinZF
EF
sinZEAF
AE sin45°
2 sinl5°
【详解】(1) S5 = 5q +10(7 = 45 , S6 = 6q +15(7 = 60,
解得％=5, d = 2,
⑵如—勿=%=2〃 + 3,
故勿=("一4-1) + ("-1 _ 々-2 ) + ... + (6 _々)+ 々
(2” + 1 + 5)("-1) ,
—2〃 +1 + 2TI— 1 +... + 5 + 3 — ------------------- 3 — /1 +
2〃，
2
1 1 1 (1
故厂=W厂- b n n +2" 2 3
故"! [111 1 1
1 ----- 1 ---------- ... H -----------------
3 2
4 n n + 2
2 n+1 n+2J 4'
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式的应用，等差数列通项公式的求解，累加法求数列的通项公式，裂项相消法求和，属于简单题目.
22.己知0 <(p<n,函数 /(%) = —cos(2% + ^) + sin2x.
71
(I)若(p = -,求/'(x)的单调递增区间；
6
3
(H)若f(x)的最大值是一，求9的值.
2
【答案】(I)伏〃一学,R〃一§], ReZ； (H)(p = %.
【解
析】
(I )由甲=三,可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为f(x) =」cos 2x + ? +：, 6 2 k 3 7 27
1
再根据余弦函数V = cosx的单调递增区间\2kn—兀,2如i］住e Z),求出函数/'(X)的单调递增区间；(II)
利用两角和余弦公式、二倍角公式整理得f(x) =
1)
A - . - 1
cos仞一二cos2x一一sin^sm2x + —,由函数最大2J
3... ___
值为5，且对于V = osinx + Z?cosx型函数的最大值为扁亳茅，又0<。

〈石，从而问题可得解. 试题解析：(I )由题意/(x) = ^-cos2x-^-sin2x + ^- - — cos+ y+ —
jr2勿7C
由2k7t—勿 < 2x H— < 2kji,得k/c------ <尤 V ki --- .
3 3 6
7C
所以单调/'(X)的单调递增区间为k7i- — ,k7i-~ , keZ.
1)
cose-^ cos2x- 争in 函n2"S，
2J
3
由于函数f(x)的最大值为亏，即
(II)由题意f(x) =
,, n
故0 =二
2
从而cos伊=0,又0 J(p<兀，。