高二数学平行线等分线段定理4
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
？ ？ ？ ？
？
？
图3
图1 图4
？ ？
图2
？
？
图5
思考
把问题转化为有关 三角形和平行四边 形的问题
1、在定理的证明过程中添加的辅助线起到了什么作用？ 2、你还有其它的添加辅助线的方法吗？ 3、如果一组平行线为三条以上，你还会证明此定理吗？
A B C A1 B1 C1
l1 l2 l3
思考
已知：直线l1∥l2∥l3∥l4 ，AB=BC=CD 求证； A1B1=B1C1 =C1D1
求证：BE=EF=FD
分析：1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
平行四边形对边相 等；一组对边平行 且相等的四边形是 平行四边形
A F
M
？ E ？
B
？
D
N
C
证明题
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90 M是CD的中点 求证：AM=BM 分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC ∴AE=EB
课 件 制 作 邢 ： 钢 郑 子 志 弟 宏 学 校
平 行 线 等 分 线 段 定 理
练习
1、已知：直线l1∥l2∥l3 AC∥A1C1 AB=BC 求证；A1B1=B1C1
AB BC
2、已知：直线， l1∥l2∥l3 ，AB=BC 求证；A1B=BC1
l1 l2 l3
A
A1
l1 l2 l3
A1
A
E B ？ F ？ C E B
A
D ？
F ？
3、数学思想方法 ---转化思想
C
思考与练习
一、如图：有块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知 张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例， 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所 以点P 必须是三家地的交界地
A B C
A1
？B1 ？C1
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
A
判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB，DF∥EG∥BC，DF、
E
D
F G C D A M B A D E F
l1 l2 l3
EG分别交AC于点F、G，则点F、G三等分AC（ ） B
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上若AM=BM、
A1
B C
A
3 ？1
E B1 C1
2 4
？
图3
F
∵AB=BC
∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
l1 l2
请同学们自己完成下面两图的证明
A B
A1 B1
l1 l2
A（A1） B C
图5
B1 C1
l3
C
图4
C
1
l3
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段 也相等 。
DN=CN 则AD∥MN∥BC ( )
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相
N C
等，则这组平行线能等分线段。
（
）
）
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么AB=BC=DE=EF （
B C
平行线等分线段定理
A E D
？ F ？ B
图4
如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
A
E C ？F ？ B
图5
C
推论1 经过Байду номын сангаас形一腰的中点与底平行的 推论2
直线，必平分另一腰。
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
(1)把线段n等分
平行线等分线段定理的应用 (2)证明在同一直线上的线段相等
P
要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线
（保留作图痕迹，不写作法、标出户名）
张 王 李 F
二、推论2指出，经过三角形一边的中点 与另一边平行的直线必平分第三边（即经 过第三边的中点）。那么连结三角形两边 中点的线段与第三边有什么样的位置和数 A 量关系呢？
E B
A
E
B
？
F ？ C
谢 谢 观 看 再 见
A B
3 1 2 4
B
C
图1
？ B1
？
C
？ C1
？
C1
图2
图1
图2
练习
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC 求证； A1B1=B1C1
证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于点E、F
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ABB1E和□BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC
l3 l1 l2
l1 l2 l3 l4
A B
A1
？B1
分析：
∵如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC ∴A1B1=B1C1
？
C
D
？C1
∵如图 ，直线l2∥l3∥l4 BC=CD
D1 ∴B1C1 =C1D1
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段也相等
符号语言
l1 l2 l3
A
E D
。
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
C
M
B
易证ME是AB的垂直平分线
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分 (2)证明在同一直线上的线段相等
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
课 件 制 作 邢 ： 钢 郑 子 志 弟 宏 学 校
； / 成都电脑回收 成都笔记本回收
twd25twu
关切地问：“你们可需要预支一部分银子？”耿正非常感激地说：“多谢老板关心！我们手头的银子估计够日常消费的，不用预支了。 等这一份契约履行完后，一并支付就好了！”从此以后，耿正兄妹三人就开始了在“盛元酒店”辛勤献艺的生涯。一时间，这个拉奏演 艺说唱班使原本就顾客盈门的“盛元酒店”的生意更加火爆起来。耿正兄妹三人不但成了“盛元酒店”的福星，同时也日益成为景德镇 上家喻户晓的不俗艺人。94第四十八回 耿老爹寺庙获新生|（洪水溃坝天降灾，果真神灵来相救？百里开外寺庙前，耿老爹获救误认 儿。）却说正在挑着箩筐吃力攀登山路的耿老爹，根本就没有想到会在青天白日之下发生可怕的溃坝之灾。猛然间听到惊天动地一声巨 响，吃惊地喘口气刚一抬头，就被巨大的水墙裹挟着冲到沟外边去了。而在此之前，他只顾了低头看着脚下陡峭的山路，并不知道耿正 兄妹三人已经上到了山顶上。在被洪水没头冲倒的一刹那间，耿老爹的脑海里闪过了白百大出事前一天傍晚跟他说过的话：“在水里边 闭住一口气腿和胳膊像蛤蟆那样有节奏地划水浮出水面就仰头张嘴快速吸气如果能抓住可以漂浮的东西帮助人自救”耿老爹努力地闭住 气。两只箩筐早已被猛烈冲下来的洪水冲走了，但耿老爹仍然用右手紧紧地抓住扁担抱在胸前，左手和双腿尽量地模仿蛤蟆划水的动作 仅仅几十秒钟后，耿老爹就感觉到眼前有了亮光，头顶有风声在响。于是，他慢慢地呼出胸腔里仅存的一点儿气息，并尽量仰头睁眼一 看，自己已经被洪水冲出山谷了，于是赶快仰头张嘴大吸一口气。一个浪头冲来，耿老爹又被没头卷入水中了，于是赶快再次闭气划水 就这样，耿老爹在洪水的冲击下不断地翻滚着扁担的浮力显然太小，耿老爹的力气越来越不支了恍惚中，耿老爹看到白百大在惊涛骇浪 中托着一块儿门板向他游来。这白兄弟游水的姿态真是太优美、太有力了，一眨眼的功夫就游到了他的面前，大声对他说：“耿大哥， 别害怕，我来救你！”说着话，白百大奋力将他推上门板。耿老爹甚至还感觉到白百大把他推上门板以后，还把他再往门板的中间推了 一推，替他整整衣服，并叮嘱他：“抓紧门环！”耿老爹又惊又喜！他在门板上伸出一只手来想要抓住白百大，流着眼泪大声叫他： “白兄弟你也上来啊，我们的话还没有说完呢，你怎么能说走就走了呢？”但是白光一闪，白百大不见了。“白兄弟，我的好兄弟啊！” 耿老爹狂喊一声，完全失去了知觉溃坝的洪水，一直漫淹到下游一百里开外青松山半山腰的一座小寺庙前时，依然还是一片汪洋。溃坝 过后的第二天一早，两个小沙弥陪同师傅出来观看水情。一走出山门，师徒三人就发现洪水已经小了不少，于是缓缓走下山门前的数节 台阶。其中，年龄较小一些的小
例 已知：线段ＡＢ
求作：线段ＡＢ的五等分点
自学课本第181页，并思考下面的问题
Ｃ H G F M E D
问题１：
求作一点Ｐ把线段ＡＢ分成２：３
问题２：
如果把△ABC的面积分成２：３怎 么办？
Ａ
N
I
P
J
K
L
Ｂ
Ｃ
证明题
1、已知：如图，M、N分别为平行四边形ABCD边AB、 CD的中点。CM、AN分别交BD于点E、F
？
？
图3
图1 图4
？ ？
图2
？
？
图5
思考
把问题转化为有关 三角形和平行四边 形的问题
1、在定理的证明过程中添加的辅助线起到了什么作用？ 2、你还有其它的添加辅助线的方法吗？ 3、如果一组平行线为三条以上，你还会证明此定理吗？
A B C A1 B1 C1
l1 l2 l3
思考
已知：直线l1∥l2∥l3∥l4 ，AB=BC=CD 求证； A1B1=B1C1 =C1D1
求证：BE=EF=FD
分析：1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
平行四边形对边相 等；一组对边平行 且相等的四边形是 平行四边形
A F
M
？ E ？
B
？
D
N
C
证明题
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90 M是CD的中点 求证：AM=BM 分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC ∴AE=EB
课 件 制 作 邢 ： 钢 郑 子 志 弟 宏 学 校
平 行 线 等 分 线 段 定 理
练习
1、已知：直线l1∥l2∥l3 AC∥A1C1 AB=BC 求证；A1B1=B1C1
AB BC
2、已知：直线， l1∥l2∥l3 ，AB=BC 求证；A1B=BC1
l1 l2 l3
A
A1
l1 l2 l3
A1
A
E B ？ F ？ C E B
A
D ？
F ？
3、数学思想方法 ---转化思想
C
思考与练习
一、如图：有块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知 张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例， 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所 以点P 必须是三家地的交界地
A B C
A1
？B1 ？C1
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
A
判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB，DF∥EG∥BC，DF、
E
D
F G C D A M B A D E F
l1 l2 l3
EG分别交AC于点F、G，则点F、G三等分AC（ ） B
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上若AM=BM、
A1
B C
A
3 ？1
E B1 C1
2 4
？
图3
F
∵AB=BC
∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
l1 l2
请同学们自己完成下面两图的证明
A B
A1 B1
l1 l2
A（A1） B C
图5
B1 C1
l3
C
图4
C
1
l3
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段 也相等 。
DN=CN 则AD∥MN∥BC ( )
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相
N C
等，则这组平行线能等分线段。
（
）
）
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么AB=BC=DE=EF （
B C
平行线等分线段定理
A E D
？ F ？ B
图4
如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
A
E C ？F ？ B
图5
C
推论1 经过Байду номын сангаас形一腰的中点与底平行的 推论2
直线，必平分另一腰。
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
(1)把线段n等分
平行线等分线段定理的应用 (2)证明在同一直线上的线段相等
P
要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线
（保留作图痕迹，不写作法、标出户名）
张 王 李 F
二、推论2指出，经过三角形一边的中点 与另一边平行的直线必平分第三边（即经 过第三边的中点）。那么连结三角形两边 中点的线段与第三边有什么样的位置和数 A 量关系呢？
E B
A
E
B
？
F ？ C
谢 谢 观 看 再 见
A B
3 1 2 4
B
C
图1
？ B1
？
C
？ C1
？
C1
图2
图1
图2
练习
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC 求证； A1B1=B1C1
证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于点E、F
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ABB1E和□BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC
l3 l1 l2
l1 l2 l3 l4
A B
A1
？B1
分析：
∵如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC ∴A1B1=B1C1
？
C
D
？C1
∵如图 ，直线l2∥l3∥l4 BC=CD
D1 ∴B1C1 =C1D1
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段也相等
符号语言
l1 l2 l3
A
E D
。
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
C
M
B
易证ME是AB的垂直平分线
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分 (2)证明在同一直线上的线段相等
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
课 件 制 作 邢 ： 钢 郑 子 志 弟 宏 学 校
； / 成都电脑回收 成都笔记本回收
twd25twu
关切地问：“你们可需要预支一部分银子？”耿正非常感激地说：“多谢老板关心！我们手头的银子估计够日常消费的，不用预支了。 等这一份契约履行完后，一并支付就好了！”从此以后，耿正兄妹三人就开始了在“盛元酒店”辛勤献艺的生涯。一时间，这个拉奏演 艺说唱班使原本就顾客盈门的“盛元酒店”的生意更加火爆起来。耿正兄妹三人不但成了“盛元酒店”的福星，同时也日益成为景德镇 上家喻户晓的不俗艺人。94第四十八回 耿老爹寺庙获新生|（洪水溃坝天降灾，果真神灵来相救？百里开外寺庙前，耿老爹获救误认 儿。）却说正在挑着箩筐吃力攀登山路的耿老爹，根本就没有想到会在青天白日之下发生可怕的溃坝之灾。猛然间听到惊天动地一声巨 响，吃惊地喘口气刚一抬头，就被巨大的水墙裹挟着冲到沟外边去了。而在此之前，他只顾了低头看着脚下陡峭的山路，并不知道耿正 兄妹三人已经上到了山顶上。在被洪水没头冲倒的一刹那间，耿老爹的脑海里闪过了白百大出事前一天傍晚跟他说过的话：“在水里边 闭住一口气腿和胳膊像蛤蟆那样有节奏地划水浮出水面就仰头张嘴快速吸气如果能抓住可以漂浮的东西帮助人自救”耿老爹努力地闭住 气。两只箩筐早已被猛烈冲下来的洪水冲走了，但耿老爹仍然用右手紧紧地抓住扁担抱在胸前，左手和双腿尽量地模仿蛤蟆划水的动作 仅仅几十秒钟后，耿老爹就感觉到眼前有了亮光，头顶有风声在响。于是，他慢慢地呼出胸腔里仅存的一点儿气息，并尽量仰头睁眼一 看，自己已经被洪水冲出山谷了，于是赶快仰头张嘴大吸一口气。一个浪头冲来，耿老爹又被没头卷入水中了，于是赶快再次闭气划水 就这样，耿老爹在洪水的冲击下不断地翻滚着扁担的浮力显然太小，耿老爹的力气越来越不支了恍惚中，耿老爹看到白百大在惊涛骇浪 中托着一块儿门板向他游来。这白兄弟游水的姿态真是太优美、太有力了，一眨眼的功夫就游到了他的面前，大声对他说：“耿大哥， 别害怕，我来救你！”说着话，白百大奋力将他推上门板。耿老爹甚至还感觉到白百大把他推上门板以后，还把他再往门板的中间推了 一推，替他整整衣服，并叮嘱他：“抓紧门环！”耿老爹又惊又喜！他在门板上伸出一只手来想要抓住白百大，流着眼泪大声叫他： “白兄弟你也上来啊，我们的话还没有说完呢，你怎么能说走就走了呢？”但是白光一闪，白百大不见了。“白兄弟，我的好兄弟啊！” 耿老爹狂喊一声，完全失去了知觉溃坝的洪水，一直漫淹到下游一百里开外青松山半山腰的一座小寺庙前时，依然还是一片汪洋。溃坝 过后的第二天一早，两个小沙弥陪同师傅出来观看水情。一走出山门，师徒三人就发现洪水已经小了不少，于是缓缓走下山门前的数节 台阶。其中，年龄较小一些的小
例 已知：线段ＡＢ
求作：线段ＡＢ的五等分点
自学课本第181页，并思考下面的问题
Ｃ H G F M E D
问题１：
求作一点Ｐ把线段ＡＢ分成２：３
问题２：
如果把△ABC的面积分成２：３怎 么办？
Ａ
N
I
P
J
K
L
Ｂ
Ｃ
证明题
1、已知：如图，M、N分别为平行四边形ABCD边AB、 CD的中点。CM、AN分别交BD于点E、F