巩固练习_一元二次不等式及其解法_提高最新修正版

【巩固练习】 一、选择题
1．（2016 四川模拟）若不等式x 2+ax +b ＜0的解集为（―1，2），则ab 的值为（ ） A ．―1 B ．1 C ．―2 D ．2 2．若0＜t ＜1，则不等式1()()0x t x t
--<的解集为( ) A.1|x x t t
⎧⎫<<⎨⎬⎩
⎭
B.1|x x x t t
⎧⎫><⎨⎬⎩
⎭
或 C.1|x x x t t
⎧⎫<>⎨⎬⎩
⎭或
D.1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是11,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.11,
32⎛⎫
⎪⎝⎭ D.11,,32⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
4．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．13
22a -
<< D ．31
22
a -
<< 5．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（ ） A ．{|23}x x << B ．11{|
}32x x << C ．11
{|}23
x x -<<- D ．{|32}x x -<<- 6.（2015 天津校级模拟）设0<b <1+a ,若关于x 的不等式()()2
2
x b ax ->的解集中的整数解恰有3个，
则（ ）。

A. -1<a <0
B.0<a <1
C.1<a <3
D.3<a <6 二、填空题
7．若函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x ＋6)＋f (x )＜2f (4)的解集为________．
8．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则m 的取值范围是________. 9.（2016 杭州校级模拟）正实数x ，y 满足：
11
1x y
+=，则x 2+y 2－10xy 的最小值为________。

10. 已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是 ．
三、解答题 11.解下列不等式
(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0；
12. 不等式mx 2+1＞mx 的解集为实数集R ，求实数m 的取值范围． 13. 解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(其中m ∈R )．
14．已知2
()2(2)4f x x a x =+-+，
(1)如果对一切x ∈R ，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)如果对x ∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.
15. 已知a 为实数，A 为不等式x 2－(2a ＋1)x ＋(a ＋2)(a －1)≥0的解集，B 为不等式x 2－a (a ＋1)x ＋a 3＜0的解集．
(1)用区间表示A 和B ；
(2)是否存在实数a ，使A ∪B ＝R ？并证明你的结论．
16. (2015 辽宁)设函数f(x)＝2|x －1|＋x －1，g(x)＝16x 2－8x ＋1．记f(x)≤1的解集为M ，g(x)≤4的解集为N ．
(Ⅰ)求M ； (Ⅱ)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f(x)＋x[f(x)]2≤4
1．
【答案与解析】 1.【答案】D
【解析】不等式x 2+ax +b ＜0的解集为（―1，2）， 所以方程x 2+ax +b =0的实数根为―1和2， 所以1212a
b
-+=-⎧⎨
-⨯=⎩，解得a =―1，b =―2，
所以ab =―1×(－2)=2。

故选D 。

2．【答案】 D
【解析】 ∵0＜t ＜1，∴1
1t >，∴1t t
< ∴11()()0x t x t x t t
--<⇔<<.
3. 【答案】 A 【解析】 由题意知1
2
-
，13-是ax 2－bx －1＝0的两实根，
∴112311123b
a
a ⎧⎛⎫-+-= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪-⨯-=-
⎪⎪⎝⎭
⎩.解得65a b =-⎧⎨=⎩.
∴x 2－bx －a ＜0⇔x 2－5x ＋6＜0⇔2＜x ＜3.
4. 【答案】 C
【解析】 因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，所以
(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得13
22
a -
<<，故选C.
5.【答案】C
【解析】由题意得，方程x 2－ax －b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得23a +=，23b ⨯=-，求得
5 a =，b=-6，从而解得bx 2－ax －1＞0的解集为11
{|}23
x x -
<<-
6. 【答案】C
【解析】关于x 的不等式()()22
x b ax ->，即2
2
2
(a 1)20x bx b -+-<，∵0<b <1+a ，
[(a+1)x-b][(a-1)x+b]<0的解集中的整数恰有3个，所以a>1, ∴不等式的解集为111b b
x a a -<<<-+，所以解集里的整数是-2，-1,0三个。

∴321
b
a -≤-<-- ∴23,2233,1
b
a b a a <
≤-<≤-- ∵b<1+a, ∴2a-2<1+a, ∴a<3, 综上,1<a<3,故选C 。

7．【答案】 {x |0＜x ＜2}
【解析】 由已知得f (x ＋6)＋f (x )＝f [x (x ＋6)]， 2f (4)＝f (4)＋f (4)＝f (4×4)＝f (16)，
∴原不等式等价于60
000
02(6)1682[(6)]16
x x x x x x x x f x x f +>⎧>>⎧⎧⎪
>⇔⇔⇔<<⎨⎨⎨+<-<<⎩⎩⎪+<⎩
.
8．
【答案】{|12}m m -+<< 【解析】由题意得：
1212
000x x x x ∆>⎧⎪
+>⎨⎪>⎩
，解得12m -+<
9. 【答案】 ―36 【解析】由
11
1x y
+=得x+y=xy ， 平方得x 2+y 2+2xy=(xy)2，
即x 2+y 2=―2xy+(xy)2，
则x 2+y 2―10xy=(xy)2―2xy ―10xy=(xy)2―12xy=(xy ―6)2―36， 当xy=6时，有最小值，即最小值为―36， 故答案为：―36。

10. 【答案】
3
6 【解析】∵a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1， ∴b ＋c ＝－a ，b 2＋c 2＝1－a 2， ∴bc 2
1
=
•(2bc) 2
1
=
[(b ＋c)2－(b 2＋c 2)] ＝a 221-
∴b 、c 是方程：x 2＋ax ＋a 22
1
-＝0的两个实数根， ∴△≥0 ∴a 2－4(a 22
1
-)≥0，即a 2≤32
∴a ≤≤a 的最大值为36
故答案为：
3
6
．
11．【解析】
(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，21
2
x =-. 又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为1|32
x x x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩
⎭
或. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根
14x =24x =又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{|44x x <<．
12.【答案】{m|0≤m<4} 【解析】
当m ＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．
当m≠0时，若不等式的解集为R ，则应有⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆>0
m 4)m (0
m 2
， 解得0＜m ＜4．
综上，m 的取值范围是{m|0≤m<4}.
13.【解析】 当m ＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x ∈R 都成立， 所以原不等式的解集为R . 当m ≠0时，m 2＞0，
由m 2x 2＋2mx －3＜0，得(mx －1)(mx ＋3)＜0， 即130x x m m ⎛⎫⎛⎫
-
+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 若m ＞0，则
13
m m
>-， 所以原不等式的解集为31,m m ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭； 若m ＜0，则
13
m m
<-， 所以原不等式的解集为1
3,m m ⎛⎫-
⎪⎝⎭
. 综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为31,m m ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭； 当m ＜0时，原不等式的解集为1
3,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
14．【解析】
(1)由题意得：△=2
[2(2)]160a --<，即0<a<4； (2)由x ∈[-3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：
2[3,1]
(3)0(1)0
a f f -∉-⎧⎪
->⎨⎪>⎩
或2[3,1](2)0a f a -∈-⎧⎨
->⎩ 综上所述：1,42a ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
.
15. 【解析】 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋(a ＋2)(a －1)≥0可以转化为[x －(a ＋2)][x －(a －1)]≥0，不等式x 2－a (a ＋1)x ＋a 3＜0可以转化为(x －a )(x －a 2)＜0.
(1)因为对任意实数a 都有a －1＜a ＋2， 所以A ＝(－∞，a －1]∪[a ＋2，＋∞)． 当a 2≥a ，即a ≥1或a ≤0时，B ＝(a ，a 2)； 当a 2＜a ，即0＜a ＜1时，B ＝(a 2，a )． (2)要使A ∪B ＝R ，则 当a ≥1或a ≤0时，需2
12
a a a a ≤-⎧⎨
≥+⎩，该不等式组无解；
当0＜a ＜1时，需21
2a a a a ⎧≤-⎨≥+⎩
，该不等式组无解．
所以不存在实数a ，使得A ∪B ＝R .
16. 【解析】(Ⅰ)由f(x)＝2|x －1|＋x －1≤1 可得⎩⎨⎧≤-≥1331x x ①，或⎩⎨⎧≤-<1
11
x x ②．
解①求得1≤x ≤
3
4
，解②求得 0≤x ＜1． 综上，原不等式的解集为[0，3
4
]．
(Ⅱ)由g(x)＝16x 2－8x ＋1≤4，求得－41≤x ≤43，∴N ＝[－41，43]，∴M ∩N ＝[0，4
3
]．
∵当x ∈M ∩N 时，f(x)＝1－x ，x 2f(x)＋x[f(x)]2 ＝xf(x)[x ＋f(x)] ＝
41－2)21(-x ≤4
1
， 故要证的不等式成立．。