2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：图形的对称(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：12图形的对称一．选择题（共13小题）
1．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）
A．（40，﹣a）B．（﹣40，a）C．（﹣40，﹣a）D．（a，﹣40）2．（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）
A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FH D．GF⊥BC 3．（2022•婺城区校级模拟）矩形纸片ABCD中，BC＝2AB，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示．若折痕EF与MN较小的夹角记为θ，则sinθ＝（）
A ．45
B ．35
C ．2√55
D ．√55
4．（2022•景宁县模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，E 是边CD 上一动点，将△ADE 沿AE 翻折得到△AFE ，连结BF ，若E ，F ，B 三点在同一条直线上，则DE 的长度等于（ ）
A ．1
B ．√3
C ．√5
D ．2
5．（2022•常山县模拟）如图，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的动点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，连结PD 、PE ，若AC ＝24，BC ＝18，CD ＝8，CE ＝6，则当PD +PE 取得最小值时AP 的长是（ ）
A ．18
B ．895
C ．735
D ．615
6．（2022•衢州一模）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 、GN 折叠，使点A 和点C 重合于点M ，点D 与点H 重合，点B 落在边AD 上的点P 处，且MN 经过点P ．已知
EP PG =43，FN ＝10cm ，则AB 的长为（ ）
A ．245cm
B ．435cm
C ．445cm
D ．9cm
7．（2022•上虞区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC =√3，点P 是斜边AB 上一动点，连结CP ，将△BCP 以直线CP 为对称轴进行轴对称变换，B 点的对称点为B '，连结AB '，则在P 点从点A 出发向点B 运动的整个过程中，线段AB '长度的最小值为（ ）
A ．1
B ．√3
C ．√3−1
D ．3−√3
8．（2022•嘉兴一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3√3，AD ＝3，∠A ＝60°．点E 在AB 边上，将△ADE 沿着直线DE 翻折得△A ′DE ．连结A ′C ，若点A ′恰好落在∠BCD 的平分线上，则A ′，C 两点间的距离为（ ）
A ．3或6
B ．3或3√32
C ．3√32
D ．6
9．（2022•温岭市一模）如图，边长为1的正方形ABCD 沿着过中心O 的直线EF （EF 不为对角线）对折，下列结论不正确的是（ ）
A ．△DHF 的周长为定值
B ．∠HOF 的度数为定值
C ．四边形HCNO 的面积为定值
D ．△NO
E 的面积为定值
10．（2022•新昌县模拟）将正方形纸片按图1方式依次对折得图2的△ABC ，点D 是AC 边上一点，沿线段BD 剪开展开后得到一个正方形，则点D 应满足（ ）
A ．AD ＝A
B B ．BD ⊥A
C C ．DB ＝2A
D D ．∠ADB ＝60°
11．（2022•余姚市一模）如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ ，若AB ：AD ＝3：5，则下列BM ：MC 的值能达成这一翻折的是（ ）
A ．1：4
B ．2：5
C ．1：9
D ．4：9
12．（2022•苍南县二模）如图，将▱ABCD 沿直线BD 对折，点A 恰好落在AD 延长线上的点A '处，若∠A ＝60°，BC ＝3，则A 'B 的长为（ ）
A ．5
B ．3√3
C ．6
D ．4√3
13．（2022•婺城区一模）如图，在平行四边形ABCD 纸片中，∠BAD ＝45°，AB ＝10．将纸片折叠，使得点A 的对应点A ′落在BC 边上，折痕EF 交AB 、AD 、AA ′分别于点E 、F 、G ．继续折叠纸片，使得点C 的对应点C 落在A ′F 上．连结GC ′，则GC ′的最小值为（ ）
A ．52
B ．5√22
C ．54
D ．5√24
二．填空题（共9小题）
14．（2022•台州）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的
长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．
̂上，将CD̂沿弦CD折叠后恰好与15．（2022•嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB
OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF̂的度数为，折痕CD的长为．
16．（2022•婺城区校级模拟）折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为240mm，宽为180mm的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：
（说明：第一步：白纸沿着EF折叠，AB边的对应边A'B'与边CD平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF分别沿着MH，MG折叠，使EM与MF重合，从而获得边HG与A'B'的距离也为x）．
则：
（1）x的值是mm；
（2）PD的长是mm．
17．（2022•义乌市模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，点D为边AB上一个动点，将△CDB沿CD翻折，得到△CDB'（其中C，D，B′，A在同一平面内），∠ADB'＝30°，则AD＝．
18．（2022•常山县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DE⊥AC，则CF的长为．
19．（2022•柯城区校级三模）图1是可折叠琴谱架上半部分的实物图，图2是图1的平面示
意图（琴谱架钢条的宽度忽略不计），四边形ACDF为矩形，AC=1
2AF＝32cm，B、E分
别为AC、DF的中点，H、G分别为AF、CD的中点．MN，PQ为滑动轨道，滑道MN 比MH小4cm，折叠琴谱架时，AH上点X、FH上点Y分别在滑道MN、PQ上滑动时，各钢条可以绕连接点A、B、C、D、E、F、G、H、O转动．当点X、Y分别滑到N、Q 时，此时A、B、C、D、E、F、G、H、O、M、N、P、Q、X、Y在一条直线上．
（1）琴谱架中ON的长为cm．
（2）当琴谱架折叠成图3，图4是图3的平面示意图，当B、H、E三点共线时，求滑动的距离MX为cm（结果保留根号）．
20．（2022•萧山区校级二模）如图，点E 是菱形ABCD 的边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点F 恰好在边BC 上，设DE CE =k ．
（1）若点F 与点C 重合，则k ＝ ；
（2）若点F 是边BC 的中点，则k ＝ ．
21．（2022•上城区校级二模）已知矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝5，E 为DC 上的点，连结AE ，将△ADE 沿AE 翻折，点D 的对应点为F ，AF 交BC 于G ，EF 交BC 于N ，H 为AB 上的点，将△BHG 沿HG 翻折，使B 点的对应点M 正好落在AF 上，若∠AGB ＝30°，则AM ＝ ，DE FN = ．
22．（2022•镇海区校级二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，点E 为BC 上的动点，将△BDE 沿DE 翻折得到△FDE ，EF 与AC 相交于点G ，若AB ＝3AD ，AC ＝3，BC ＝6，CG ＝0.8，则CE 的值为 ．
三．解答题（共5小题）
23．（2022•鹿城区二模）在Rt △ABC 中，AB =3√5，BC =4√5，过点C 作CG ∥AB ，CF 平分∠ACD 交射线BA 于点F ，D 是射线CG 上的一个动点，连结AD 交CF 于点E ．
（1）求CF 的长．
（2）当△ACE 是等腰三角形时，求CD 的长．
（3）当B 关于AD 的对称点B '落在CF 上时，求
DE AE 的值．
24．（2022•仙居县二模）如图，已知矩形纸片ABCD 的长BC ＝8，宽AB ＝4，点E ，F 分别是边BC ，AD 上的点，AF ＝CE ．把矩形纸片沿着直线EF 翻折，点A ，B 的对应点分别为A '，B '．直线A ′C 交射线AD 于点G ．
（1）若EB ′交AD 于点P ，求证：PE ＝PF ，PB '＝PD ；
（2）若EB ′交AD 于点P ，求证：四边形CEFG 是平行四边形；
（3）若四边形CEFG 为菱形，求它的对角线长的比值CF EG ．
25．（2022•黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标为A （3，2），B （1，1），C （4，0），△DEF 各顶点的坐标为D （3，﹣4），E （5，﹣3），F （2，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是；
（3）在y轴上找一点Q，使得QA+QD最小．
26．（2022•温州模拟）如图，在7×7的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上．请按照以下要求画图．
（1）在图1中画格点△BCP，使△BCP与△ABC关于某条直线对称．
（2）在图2中画格点△BCQ，使△BCQ的面积为△ABC面积的2倍．
27．（2022•乐清市一模）如图，将矩形MNPQ按照图1方式剪成4个直角三角形，再将这4个直角三角形按照图2方式无缝拼接成▱ABCD，连结DG，BE．
（1）求证：四边形DEBG为平行四边形；
（2）当AE＝3，AD＝5，∠F AB＝∠GDE，求BE的长．
2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：12图形的对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）
A．（40，﹣a）B．（﹣40，a）C．（﹣40，﹣a）D．（a，﹣40）【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，
∴飞机D的坐标为（﹣40，a），
故选：B．
2．（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）
A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FH D．GF⊥BC
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD =√AB 2+AD 2=√62+82=10，
故A 选项不符合题意；
∵将△ABE 沿BE 翻折，将△DCF 沿DF 翻折，点A ，C 分别落在对角线BD 上的点G ，H 处，
∴AB ＝BG ＝6，CD ＝DH ＝6，
∴GH ＝BG +DH ﹣BD ＝6+6﹣10＝2，
故B 选项不符合题意；
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A ＝∠C ＝90°，
∵将△ABE 沿BE 翻折，将△DCF 沿DF 翻折，点A ，C 分别落在对角线BD 上的点G ，H 处，
∴∠A ＝∠BGE ＝∠C ＝∠DHF ＝90°，
∴EG ∥FH ．
故C 选项不符合题意；
∵GH ＝2，
∴BH ＝DG ＝BG ﹣GH ＝6﹣2＝4，
设FC ＝HF ＝x ，则BF ＝8﹣x ，
∴x 2+42＝（8﹣x ）2，
∴x ＝3，
∴CF ＝3，
∴BF CF =53， 又∵
BG DG =64=32， ∴BF CF ≠BG DG ，
若GF ⊥BC ，则GF ∥CD ，
∴BF CF =BG DG ，
故D 选项符合题意．
故选：D ．
3．（2022•婺城区校级模拟）矩形纸片ABCD 中，BC ＝2AB ，将纸片对折，使顶点A 与顶点
C 重合，得折痕EF ，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B 与顶点
D 重合，得折痕MN ，展开铺平后如图所示．若折痕EF 与MN 较小的夹角记为θ，则sin θ＝（ ）
A ．45
B ．35
C ．2√55
D ．√55
【解答】解：过D 作DH ⊥AC 于H ，如图：
根据题意可得：∠EOA ＝∠EOC ＝90°，∠MOD ＝∠MOB ＝90°，
∴∠EOD +∠DOH ＝90°，∠MOE +∠EOD ＝90°，
∴∠DOH ＝∠MOE ＝θ，
由矩形纸片ABCD 中，BC ＝2AB ，
设AB ＝m ＝CD ，则BC ＝2m ＝AD ，
∴AC =√AD 2+CD 2=√5（m ），
∴OA ＝OC ＝OD =√52m ，
∵2S △ADC ＝AD •CD ＝AC •DH ，
∴DH =AD⋅CD AC =√5
m ， 在Rt △DOH 中，
sin ∠DOH =DH OD =2√5√52=45， ∴sin θ=4
5，
故选：A ．
4．（2022•景宁县模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，E 是边CD 上一动点，将△ADE 沿AE 翻折得到△AFE ，连结BF ，若E ，F ，B 三点在同一条直线上，则DE 的长
度等于（ ）
A ．1
B ．√3
C ．√5
D ．2
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝4，∠D ＝∠C ＝90°，
∵将△ADE 沿AE 翻折得到△AFE ，
∴AF ＝AD ＝4，∠AFE ＝∠D ＝90°＝∠AFB ，DE ＝FE ，
在Rt △AFB 中，BF =√AB 2−AF 2=3，
设DE ＝FE ＝x ，则CE ＝5﹣x ，BE ＝x +3，
在Rt △BCE 中，BC 2+CE 2＝BE 2，
∴42+（5﹣x ）2＝（x +3）2，
解得x ＝2，
∴DE ＝2，
故选：D ．
5．（2022•常山县模拟）如图，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的动点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，连结PD 、PE ，若AC ＝24，BC ＝18，CD ＝8，CE ＝6，则当PD +PE 取得最小值时AP 的长是（ ）
A ．18
B ．895
C ．735
D ．615
【解答】解：如图，连接DE ，过点D 作DG ⊥AB 于G ，延长DG 到F ，使FG ＝DG ，连接EF ，交AB 于P ，则PD +PE ＝PF +PE ＝EF ，此时PD +PE 取得最小值．
∵AC ＝24，BC ＝18，CD ＝8，CE ＝6，∠C ＝90°，
∴DE =√CD 2+CE 2=√82+62=10，
CD CA =CE BC =13， ∴△CDE ∽△CAB ，
∴∠CDE ＝∠A ，
∴DE ∥AB ，
∵cos A ＝cos ∠CDE ，
∴AG AD =CD DE ，即AG 24−8=810，
∴AG =645．
∵PG ∥DE ，FG ＝DG ，
∴PG 是△FDE 的中位线，
∴PG =12DE ＝5，
∴AP ＝AG +PG =
645+5=895． 故选：B ．
6．（2022•衢州一模）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 、GN 折叠，使点A 和点C 重合于点M ，点D 与点H 重合，点B 落在边AD 上的点P 处，且MN 经过点P ．已知
EP PG =43，FN ＝10cm ，则AB 的长为（ ）
A ．245cm
B ．435cm
C ．445cm
D ．9cm
【解答】解：如图，
作PR⊥BC于R，
∴∠PRB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠BEF＝∠PEF，四边形ABRP是矩形，∴PR＝AB，
由折叠得，
∠PFE＝∠BFE，∠FPM＝∠B＝90°，
∴∠PFE＝∠PEF，∠FPN＝90°，
∴PF＝PE，
同理可得：PN＝PG，
∴PF
PN =
PE
PG
=
4
3
，
设PF＝4a，PN＝3a，
∴FN＝5a，
∴5a＝10，
∴a＝2，
∴PF＝4a＝8，PN＝3a＝6，
∵S△PFN=1
2
PN⋅PR=12PF⋅PN，
∴PR=PF⋅PN
FN
=8×6
10
=245，
∴AB＝PR=24 5，
故选：A．
7．（2022•上虞区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=√3，点P 是斜边AB上一动点，连结CP，将△BCP以直线CP为对称轴进行轴对称变换，B点的对称点为B'，连结AB'，则在P点从点A出发向点B运动的整个过程中，线段AB'长度的
最小值为（ ）
A ．1
B ．√3
C ．√3−1
D ．3−√3
【解答】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC =√3，∠CAB ＝30°，
∴AC =√3BC ＝3，
∵AB ′≥AC ﹣CB ′＝3−√3，
∴AB ′的最小值为3−√3，
故选D ．
8．（2022•嘉兴一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3√3，AD ＝3，∠A ＝60°．点E 在AB 边上，将△ADE 沿着直线DE 翻折得△A ′DE ．连结A ′C ，若点A ′恰好落在∠BCD 的平分线上，则A ′，C 两点间的距离为（ ）
A ．3或6
B ．3或3√32
C ．3√32
D ．6
【解答】解：由翻折可得，AD ＝AD '＝3，
∵四边形ABCD 为平行四边形，AB ＝3√3，∠A ＝60°，
∴AB ＝CD ＝3√3，∠BCD ＝∠A ＝60°，
∵A 'C 平分∠BCD ，
∴∠A 'CB ＝∠A 'CD ＝30°，
当点A '在平行四边形ABCD 内部时，过点A '作A 'M ⊥CD 于点M ，
设A 'M ＝x ，
在Rt△A'CM中，tan∠A'CM＝tan30°=A′M
MC
=x MC=√33，
∴MC=√3x，DM＝CD﹣MC=3√3−√3x，在Rt△A'DM中，由勾股定理可得，
A'D2＝A'M2+DM2，
即32=x2+(3√3−√3x)2，
解得x=3
2或3（舍去），
∴A'C＝2A'M＝3；
当点A'在平行四边形ABCD外部时，过点D作DN⊥A'C于点N，
在Rt△CDN中，CD＝3√3，∠A'CD＝30°，
∴sin∠A'CD＝sin30°=DN
CD
=DN
3√3
=12，
cos∠A'CD＝cos30°=CN
CD
=
3√3
=√32，
∴DN=3√3
2，CN=
9
2，
在Rt△A'DN中，
A'N=√A′D2−DN2=32−(3√3
2
)2=32，
∴A'C＝A'N+CN=3
2
+92=6．
综上所述，A'C＝3或6．
故选：A．
9．（2022•温岭市一模）如图，边长为1的正方形ABCD沿着过中心O的直线EF（EF不为对角线）对折，下列结论不正确的是（）
A．△DHF的周长为定值
B．∠HOF的度数为定值
C．四边形HCNO的面积为定值
D．△NOE的面积为定值
【解答】解：如图，连接AO，BO，CO，D′O，作OP⊥AD′，OQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OP＝OQ，AO＝BO＝CO＝D′O，∠OBE＝∠OD′F＝∠OBN＝∠OAH＝∠OCN＝45°，AB＝CD，
∵∠FOD′＝∠BOE，
∴△BOE≌△D′OF（ASA），
∴BE＝D′F＝DF，
∵∠DHF＝∠AHG，∠AHG+∠AGH＝90°，∠AGH＝∠CGN，∠CGN+∠CNG＝90°，∠CNG＝∠BNE，
∴∠DHF＝∠BNE，
∵∠D＝∠NBE＝90°，
∴△DFH≌△BEN（AAS），
∴DH＝BN，HF＝NE，
∴AB﹣BN＝CD﹣DH，
∴AN＝CH，
∵AO＝CO，∠OAN＝∠OCH＝45°，
∴△OAN≌△OCH（SAS），
∴OH＝ON，
∴Rt△ONQ≌Rt△OHP（HL），
∴∠NOQ＝∠HOP，
∵OP⊥AD′，OQ⊥AB，
∴∠APO＝∠BQO＝90°，
∴∠P AO+∠AOP＝∠QBO+∠BOQ＝90°，
∵∠P AO＝∠QBO＝45°，
∴∠AOP＝∠BOQ，
∴∠AOH+∠HOP＝∠BON+∠NOQ，
∴∠AOH＝∠BON，
∴△AOH≌△BON（SAS），
∴AH＝BN＝DH，
∴△DHF的周长＝DH+DF+HF＝AH+HF+FD′＝AD′＝1，故选项A正确；
∵∠HOP+∠HOQ＝90°，∠HOP＝∠NOQ，
∴∠NOQ+∠HOQ＝90°，
∴∠HON＝90°，
∴∠HOF+∠NOE＝90°，
∵HO＝NO，EO＝FO，HF＝NE，
∴△HOF≌△NOE（SSS），
∴∠HOF＝∠NOE＝45°，
故选项B正确；
∵∠OHF＝∠ONE，
∴∠AHO＝∠CNO，
∵∠OAH＝∠OCN，AO＝CO，
∴△AOH≌△CON（AAS），
∴AH＝CN，
∵∠AGH＝∠CGN，∠GAH＝∠GCN，
∴△AGH≌△CGN（AAS），
∴S△AGH＝S△CGN，
∴S四边形HCNO＝S四边形HANO，
∵S△AHO＝S△BNO，
∴S四边形HCNO＝S四边形HANO＝S△ABO=1
2
×AB×OQ=14，
故选项C正确；
∵点E，F位置不固定，
∴△NOE面积不固定，
故选项D错误；
故选：D．
10．（2022•新昌县模拟）将正方形纸片按图1方式依次对折得图2的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开展开后得到一个正方形，则点D应满足（）
A．AD＝AB B．BD⊥AC C．DB＝2AD D．∠ADB＝60°【解答】解：动手操作，沿线段BD剪开展开后得到一个正方形，则△ABD是正方形的八分之一，如图：
线段AD是正方形对边中点连线的一半，
∴BD⊥AD，即BD⊥AC，
故选：B．
11．（2022•余姚市一模）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，若AB：AD＝3：5，则下列BM：MC的值能达成这一翻折的是（）
A．1：4B．2：5C．1：9D．4：9
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，
∴AP＝PE＝BP，BM＝ME，MF＝MC，QD＝QF，DN＝FN＝CN，∠BMP＝EMP，∠CMN ＝∠FMN，∠CNM＝∠FNM，∠DNQ＝∠FNQ，
∴∠BMP+∠CMN＝90°，∠CMN+∠CNM＝90°，∠CNM+∠DNQ＝90°，∠DNQ+∠DQN＝90°，
∴∠BMP＝∠CNM，∠CNM＝∠DQN，∠MNQ＝90°，
∴∠BMP＝∠DQN，
∴△△BMP≌△DQN（AAS），
∴BM＝ME＝DQ＝QF，
∴MQ＝MF+QF＝MC+BM＝BC，
设AB＝CD＝6a，BM＝ME＝QF＝DQ＝x，
∵AB：AD＝3：5，
∴BC＝AD＝10a，
∴MF＝MC＝10a﹣x，AP＝PE＝BP＝3a，DN＝FN＝CN＝3a，MQ＝10a，
∴MN2＝MC2+CN2＝（10a﹣x）2+（3a）2，QN2＝DQ2+DN2＝x2+（3a）2，
∵MQ2＝MN2+QN2，
∴（10a）2＝（10a﹣x）2+（3a）2+x2+（3a）2，
解得：x＝a或x＝9a，
当x＝a时，BM＝a，
∴MC＝BC﹣BM＝9a，
∴BM：MC＝1：9，
当x ＝9a 时，BM ＝9a ，
∴MC ＝BC ﹣BM ＝a ，
∴BM ：MC ＝9：1，
故选：C ．
12．（2022•苍南县二模）如图，将▱ABCD 沿直线BD 对折，点A 恰好落在AD 延长线上的点A '处，若∠A ＝60°，BC ＝3，则A 'B 的长为（ ）
A ．5
B ．3√3
C ．6
D ．4√3
【解答】解：∵将▱ABCD 沿直线BD 对折，点A 恰好落在AD 延长线上的点A '处， ∴∠ADB ＝∠A 'DB ＝90°，AB ＝A 'B ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC ＝3＝AD ，
∵∠A ＝60°，
∴∠ABD ＝30°，
∴AB ＝2AD ＝6，
∴A 'B ＝6，
故选：C ．
13．（2022•婺城区一模）如图，在平行四边形ABCD 纸片中，∠BAD ＝45°，AB ＝10．将纸片折叠，使得点A 的对应点A ′落在BC 边上，折痕EF 交AB 、AD 、AA ′分别于点E 、F 、G ．继续折叠纸片，使得点C 的对应点C 落在A ′F 上．连结GC ′，则GC ′的最小值为（ ）
A ．52
B ．5√22
C ．54
D ．5√24
【解答】解：过B 作BH ⊥AD 于H ，过G 作GP ⊥AD 于P ，GQ ⊥A 'F 于Q ，过A '作A 'R ⊥AD 于R ，如图：
∵∠BAD ＝45°，AB ＝10，
∴BH =√22AB ＝5√2，
∵四边形ABCD 是平行四边形，BH ⊥AD ，A 'R ⊥AD ，
∴四边形BHRA '是矩形，
∴A 'R ＝BH ＝5√2，
∵GP ⊥AD ，A 'R ⊥AD ，
∴GP ∥A 'R ，
∵将纸片折叠，使得点A 的对应点A ′落在BC 边上，折痕EF ，
∴AG ＝A 'G ，∠AFE ＝∠A 'FE ，
∴GP 是△A 'AR 的中位线，
∴GP =12A 'R =5√22，
∵GP ⊥AD ，GQ ⊥A 'F ，
∴GP ＝GQ =5√22，
∵折叠纸片，使得点C 的对应点C 落在A ′F 上，
∴当C '与Q 重合时，GC '最小，最小值即是GQ 的长，
∴GC '最小为
5√22， 故选：B ．
二．填空题（共9小题）
14．（2022•台州）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为 3√3 ；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为 6﹣3√3 ．
【解答】解：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，∴△ADB，△BDC都是等边三角形，
当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝6×√3
2
=3√3．
如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A 作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR．
∵AD∥CG，OK⊥AD，
∴OK⊥CG，
∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，
∴四边形AGTK是矩形，
∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3√3，
∵OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），
∴OK＝OT=3√3 2，
∵OK⊥AD，
∴OR≥OK=3√3 2，
∵∠AOF＝90°，AR＝RF，
∴AF＝2OR≥3√3，
∴AF的最小值为3√3，
∴DF的最大值为6﹣3√3．
解法二：如图，过点D作DT⊥CB于点T．
∵DF＝AD﹣AF，
∴当AF最小时，DF的值最大，
∵AF＝FM≥DT＝3√3，
∴AF的最小值为3√3，
∴DF的最大值为6﹣3√3．
故答案为：3√3，6﹣3√3．
15．（2022•嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB
̂上，将CD̂沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF̂的度数为60°，折痕CD的长为4√6．
【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，
∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，
∵将CD
̂沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．
∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EO′F＝60°，
则EF
̂的度数为60°；
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OF＝60°，
∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，
∴OO′=
O′F
sin60°
=6
√3
2
=4√3，
∴O′H＝2√3，
∴CH=√O′C2−O′H2=√36−12=2√6，
∴CD＝2CH＝4√6．
故答案为：60°，4√6．
16．（2022•婺城区校级模拟）折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为240mm，宽为180mm的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：
（说明：第一步：白纸沿着EF折叠，AB边的对应边A'B'与边CD平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF分别沿着MH，MG折叠，使EM与MF重合，从而获得边
HG与A'B'的距离也为x）．
则：
（1）x的值是20mm；
（2）PD的长是220﹣130√2mm．
【解答】解：（1）延长ME′交CD于T，在TM上截取TW＝TP，设DP＝m．
由题意HW＝HM＝100，
3x＝240﹣180，
x＝20，
（2）∵TW＝TP＝60mm，MT＝160mm，
∴∠PWT＝45°，
∵∠PWT＝∠PMT+∠MPW，∠PMW＝22.5°，
∴∠WMP＝∠WPM＝22.5°，
∴MW＝PW=√2（100﹣m），
∴√2（100﹣m）+90﹣m＝160，
解得m＝（220﹣130√2）mm．
∴PD＝（220﹣130√2）mm．
故答案为220﹣360√2．
17．（2022•义乌市模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，点D为边
AB上一个动点，将△CDB沿CD翻折，得到△CDB'（其中C，D，B′，A在同一平面内），∠ADB'＝30°，则AD＝√3−1．
【解答】解：∵∠ADB'＝30°，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠BDB′＝180°﹣30°＝150°，∠B＝30°，
∵将△CDB沿CD翻折，得到△CDB′，
∴∠CDB＝∠CDB'=1
2（360°﹣150°）＝105°，
∴∠BCD＝180°−105°−30°＝45°，
过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，BC=√3，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∠B＝30°，
∴DE=1
2BD=1−
1
2
x，EB=√3DE=√3−√32x，
在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠DCE＝45°，
∴CE＝DE=1−1
2 x，
∴CE+EB＝BC，
∴1−1
2
x+√3−√32x=√3，
解得x=√3−1，
故答案为：√3−1．
18．（2022•常山县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若
DE⊥AC，则CF的长为25
12
．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB=√AC2+BC2=√122+52=13，
由翻折的性质得，∠ADB＝∠EDB，ED＝AD，∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADB=1
2（360°﹣90°）＝135°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣135°＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BC＝5，
∴ED＝AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7，
∵∠BCF＝∠EDF，∠BFC＝∠EFD，
∴△BCF∽△EDF，
∴CF
DF =
BC
ED
，
即CF
5−CF =
5
7
，
解得CF=25 12．
故答案为：2512．
19．（2022•柯城区校级三模）图1是可折叠琴谱架上半部分的实物图，图2是图1的平面示意图（琴谱架钢条的宽度忽略不计），四边形ACDF 为矩形，AC =12
AF ＝32cm ，B 、E 分别为AC 、DF 的中点，H 、G 分别为AF 、CD 的中点．MN ，PQ 为滑动轨道，滑道MN 比MH 小4cm ，折叠琴谱架时，AH 上点X 、FH 上点Y 分别在滑道MN 、PQ 上滑动时，各钢条可以绕连接点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 转动．当点X 、Y 分别滑到N 、Q 时，此时A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 、M 、N 、P 、Q 、X 、Y 在一条直线上．
（1）琴谱架中ON 的长为 28 cm ．
（2）当琴谱架折叠成图3，图4是图3的平面示意图，当B 、H 、E 三点共线时，求滑动的距离MX 为 （4√37−20） cm （结果保留根号）．
【解答】解：（1）设MN ＝xcm ，
则MH ＝（x +4）cm ，
∵AC =12AF ＝32cm ，
∴OH =12AC ＝16cm ，
∴OM =√OH 2+MH 2=√162+(x +4)2，
∵ON ＝OH +HM ＝OM +MN ，
∴16+（x +4）=√162+(x +4)2+x ，
整理得：（x +4）2＝144，
解得x ＝8或x ＝﹣16（舍去），
∴ON ＝16+x +4＝28（cm ），
故答案为：28；
（2）如图4，设OQ 与BE 交于点T ，
在Rt △OHE 中，OH ＝16cm ，OE ＝32cm ，
∴HE =√OE 2−OH 2=16√3（cm ），
∴TE ＝HE ﹣HT ＝（16√3−HT ）cm ，
由题意可知：HY ＝MH ＝8+4＝12（cm ），
∵HF ∥OE ，
∴△HYT ∽△EOT ，
∴
HY OE =HT TE ， ∴1232=16√3−HT
， ∴HT =48√311cm ， 在Rt △OHT 中，根据勾股定理得：
OT =√OH 2+HT 2=162+(48√311)2=
32√3711（cm ）， ∵△HYT ∽△EOT ，
∴YT
OT =HY
OE ，
∴32√3711=12
32，
∴YT =12√3711cm ， ∴OY ＝OT +YT =
32√3711+12√3711=4√37（cm ）， ∵OP ＝OM =√122+162=20（cm ），
∴PY ＝OY ﹣OP ＝（4√37−20）cm ．
∴MX ＝PY ＝（4√37−20）cm ．
∴滑动的距离MX 为（4√37−20）cm ．
故答案为：（4√37−20）．
20．（2022•萧山区校级二模）如图，点E 是菱形ABCD 的边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点F 恰好在边BC 上，设
DE CE =k ．
（1）若点F 与点C 重合，则k ＝ 1 ；
（2）若点F 是边BC 的中点，则k ＝ 2 ．
【解答】解：（1）当F 与C 重合时，DE ＝CE ，
∴k =DE CE =1，
故答案为：1；
（2）延长AE ，与BC 的延长线交于点H ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴∠DAH ＝∠FHA ，
由折叠性质知，AD ＝AF ，∠DAH ＝∠F AH ，
∴∠F AH ＝∠FHA ，
∴FH ＝F A ＝AD ，
∵F 是BC 的中点，
∴CF =12BC ，
∴CF =12FH ，
∴CH ＝CF =12FH =12AD ，
∵AD ∥CH ，
∴△ADE ∽△HCE ，
∴DE
CE =AD
HC =2
故答案为：2．
21．（2022•上城区校级二模）已知矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝5，E 为DC 上的点，连结AE ，将△ADE 沿AE 翻折，点D 的对应点为F ，AF 交BC 于G ，EF 交BC 于N ，H 为AB 上的点，将△BHG 沿HG 翻折，使B 点的对应点M 正好落在AF 上，若∠AGB ＝30°，则AM ＝ 4﹣2√3 ，DE
FN = 10√3−15 ．
【解答】解：（1）设AM ＝x ，
∵∠AGB ＝30°，∠B ＝90°，
∴∠HAM ＝60°，
∵∠HMC ＝∠B ＝90°，
∴∠AMH ＝90°，∠AHM ＝30°，
∴AH ＝2AM ＝2x ，HM =√3x ＝HB ，
∵AH +HB ＝AB ，
∴2x +√3x ＝2，
解得：x ＝4﹣2√3，
即AM ＝4﹣2√3；
（2）方法一：
在Rt △ABG 中，BG ＝AB tan ∠GAB ＝2×√3=2√3，BH =√3x ＝4√3−6，
∵AD ∥BC 以及翻折得：∠BGH =12∠BGA =12∠GAD ＝∠EAD ，
又∵∠B ＝∠D ＝90°，
∴△BHG ∽△DEA ，
∴BH DE =BG DA ，即4√3−6DE =2√35
， 解得：DE ＝10﹣5√3，
∵AB ＝2，∠AGB ＝30°，∠B ＝90°，
∴AG ＝2AB ＝4，
∴GF ＝AF ﹣AG ＝AD ﹣AG ＝5﹣4＝1，
又∵∠AGB ＝∠FGN ＝30°，∠GFN ＝∠D ＝90°，
∴tan ∠FGN =NF GF
， ∴NF ＝GF ×tan30°＝1×
√33=√33， ∴DE FN =√3
√3
3=10√3−15．
故答案为：√33
；10√3−15． （2）方法二，如图：过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，FQ 交BC 于点K ，过点F 作FO ⊥DC ，交DC 的延长线于点O ，
∴四边形ABKQ 与四边形FODQ 都是平行四边形，FK ⊥BC ，
∵AD ∥BC ，AD ＝AF ＝5，
∴∠AGB ＝∠F AQ ＝30°，
∴QF =12AF =12×5=52，AQ =√3QF =5√32
， ∴QD ＝FO ＝AD ﹣AQ ＝5−5√32，
∵AB ＝QK ＝2，
∴FK ＝QF ﹣QK =52−2=12，
∵∠AGB ＝∠FGN ＝30°，∠GFN ＝∠D ＝90°，
∴∠FNK ＝60°，
在Rt △FKN 中，sin ∠FNK =
KF FN ， ∴sin60°=12FN
， 解得：FN =√33；
∵FQ ∥DC ，
∴∠FEO ＝∠NFE ＝30°，
∴FE ＝2FO ＝10﹣5√3=DE ，
∴DE FN =√3
√3
3=10√3−15．
故答案为：√33
；10√3−15． 22．（2022•镇海区校级二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，点E 为BC 上的动点，将△BDE 沿DE 翻折得到△FDE ，EF 与AC 相交于点G ，若AB ＝3AD ，AC ＝3，BC ＝6，CG ＝0.8，则CE 的值为 32 ．
【解答】解：如图，
作DH ⊥BC 于H ，作DT ⊥AC 与T ，交EF 于R ，
∴∠BHD ＝∠CHD ＝90°，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACB ＝∠BHD ，
∴△BHD ∽△BCA ，
∴BH BC =DH AC =BD AB ，
∵AB ＝3AD ，
∴BD =23AB ，
∴BH 6=DH 3=23， ∴BH ＝4，DH ＝3，
∴CH ＝BC ﹣BH ＝2，
∴CH ＝DH ，
∵∠ACB ＝∠DHC ＝∠DTC ＝90°，
∴四边形DTCH 是矩形，
∴矩形DTCH 是正方形，
∴CT ＝DH ＝2，DT ∥CH ，
∴TG ＝CT ﹣CG ＝2−45=65，△RTG ∽△ECG ，
∴RT CE =GT CG =6545=32， 设CE ＝2x ，RT ＝3x ，
∴DR ＝DT +RT ＝2+3x ，EH ＝CH ﹣CE ＝2﹣2x ，
由折叠得：∠BED ＝∠FED ，
∴DQ ＝DH ＝2，EQ ＝EH ＝2﹣2x ，
∵DT ∥CH ，
∴∠BED ＝∠RDE ，
∴RE ＝DR ＝2+3x ，
∴RQ ＝RE ﹣EQ ＝（2+3x ）﹣（2﹣2x ）＝5x ，
在Rt △DQR 中，
RQ 2+DQ 2＝DR 2，
∴（5x ）2+22＝（2+3x ）2，
∴x 1=34，x 2＝0（舍去），
∴CE ＝2x =32，
故答案为：32． 三．解答题（共5小题）
23．（2022•鹿城区二模）在Rt △ABC 中，AB =3√5，BC =4√5，过点C 作CG ∥AB ，CF 平分∠ACD 交射线BA 于点F ，D 是射线CG 上的一个动点，连结AD 交CF 于点E ．
（1）求CF 的长．
（2）当△ACE 是等腰三角形时，求CD 的长．
（3）当B 关于AD 的对称点B '落在CF 上时，求
DE AE 的值．
【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，AB =3√5，BC =4√5，
∴AC ＝5√5，
∵CF 平分∠ACD ，
∴∠ACF ＝∠DCF ，
∵CG ∥AB ，
∴∠F ＝∠DCF ，
∴∠F ＝∠ACF ，
∴AC ＝AF ＝5√5，
在Rt △BCF 中，CF =√CB 2+BF 2=20，
（2）①当∠ECA ＝∠AEC 时，△ACE 是等腰三角形， ∴∠CAE ＝∠AEC ＝∠F ＝∠DCF ，
∴△ACE ∽△CF A ，
∴
AC FC =CE CA ， ∴5√520=5√5
， ∴CE =254
， ∴EF ＝CF ﹣CE =554，
∵CG ∥AB ，
∴△DCE ∽△AFE ，
∴CD AF =CE
EF ，
∴CD =25√5
11；
②当∠CAE ＝∠AEC 时，△ACE 是等腰三角形，如图所示：
∴AC ＝CE ＝5√5，
∴EF ＝CF +CE ＝20﹣5√5，
∵CD AF =CE
EF ，
∴CD =100+25√511
， ③∵∠CEA ＞∠CF A ，∠F ＝∠ACF ，
∴∠CEA ＞∠ACE ，
∴∠CEA ≠∠ACE ，
综上所述：CD 的长为25√511或100+25√5
11；
（3）作DM ⊥BA ，垂足为M ，作B ′N ⊥BF ，垂足为N ， ∴∠DMB ＝∠DMA ＝90°，∠B ′NB ＝90°，
∵CG ∥AB ，∠B ＝90°，
∴∠CDM ＝∠DMA ＝90°，
∴四边形CBMD 是矩形，
∴DM ＝CB ＝4√5，
∵B 关于AD 的对称点为B '，
∴BB ′⊥AD ，AB ＝AB ′＝3√5，
∵tan F =BC BF =√58√5=12，
∴tan F =B′N NF =12，
∴FN ＝2B ′N ，
设B ′N ＝x ，则FN ＝2x ，
∴AN ＝AF ﹣FN ＝5√5−2x ，
∵AN 2+NB ′2＝AB ′2，
∴(5√5−2x)2+x 2=(3√5)2，
解得x ＝2+2√5或x ＝﹣2+2√5，
当x ＝﹣2+2√5时，AN =√5−4＜0，（舍去）， ∴B ′N ＝2+2√5，
∴AN ＝4+√5，
∴BN ＝AB +AN ＝4+4√5，
∵∠B ′BA +∠BAN ＝∠BAN +ADM ＝90°，
∴∠B ′BA ＝∠ADM ，
∴△ADM ∽△B ′BN ，
∴DM BN =AM
B′N ，
∴√5
4+4√5=−2+2√5，
∴AM ＝3√5−5，
∴BM ＝CD ＝AB ﹣AM ＝5，
∴DE
AE =CD
AF =5√5=√55
． 24．（2022•仙居县二模）如图，已知矩形纸片ABCD 的长BC ＝8，宽AB ＝4，点E ，F 分别是边BC ，AD 上的点，AF ＝CE ．把矩形纸片沿着直线EF 翻折，点A ，B 的对应点分别为A '，B '．直线A ′C 交射线AD 于点G ．
（1）若EB ′交AD 于点P ，求证：PE ＝PF ，PB '＝PD ；
（2）若EB ′交AD 于点P ，求证：四边形CEFG 是平行四边形；
（3）若四边形CEFG 为菱形，求它的对角线长的比值CF
EG ．
【解答】（1）证明：由翻折可得∠BEF ＝∠B 'EF ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴BC ∥AD ，BC ＝AD ，
∴∠BEF ＝∠EFD ，
∴∠EFD ＝∠B 'EF ，
∴PE ＝PF ．
∵PB '＝BC ﹣CE ﹣PE ，PD ＝AD ﹣AF ﹣PF ，CE ＝AF ，
∴PB '＝PD ．
（2）证明：连接AP ，CP ，
由翻折可得AB＝A'B'，∠B＝∠B'＝90°，AF＝A'F＝CE，∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，AB＝CD，
∴A'B'＝CD，
∵PB'＝PD，∠B'＝∠D，
∴△CDP≌△A'B'P（SAS），
∴A'P＝CP，
∴∠PCH＝∠GA'P，
∵PF＝EP，A'F＝CE，A'P＝CP，
∴△CEP≌△A'FP（SSS），
∴∠F A'P＝∠ECP，
∴∠F A'G＝∠ECH，
∵BC∥AD，
∴∠ECH＝∠FGA'，
∴∠FGA'＝∠F A'G，
∴A'F＝FG，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形．
（3）解：当点G在AD上时，连接CF，EG，
设菱形CEFG的边长为x，
则CE＝EF＝FG＝CG＝x，
∵AF＝CE＝x，
∴DG＝8﹣2x，
在Rt△CGD中，由勾股定理可得，
（8﹣2x）2+42＝x2，
解得x=20
3（舍去）或x＝4，
∴此时点A'、G与点D重合，点B'于点C重合，
即菱形CEFG为正方形，
∴CF＝EG，
∴CF
EG
=1．
当点G在AD的延长线上时，连接CF，EG，过点E作EM⊥AD于点M，
设菱形CEFG的边长为x，
则CE＝EF＝FG＝CG＝x，
∵AF＝CE＝x，
∴DG＝2x﹣8，
在Rt△CGD中，由勾股定理可得，
（2x﹣8）2+42＝x2，
解得x=20
3或x＝4（舍去），
∴DF=4
3，BE＝AM=
4
3，MG＝12，
∴CF=√CD2+DF2=4√10 3，
EG=√EM2+MG2=4√10，
∴CF
EG =
1
3
．
综上所述，CF
EG 的值为1或
1
3
．
25．（2022•黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（3，2），B（1，1），C（4，0），△DEF各顶点的坐标为D（3，﹣4），E（5，﹣3），F（2，﹣2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是（3，﹣1）；
（3）在y轴上找一点Q，使得QA+QD最小．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）∵B （1，1），E （5，﹣3），
∴P 点的横坐标为1+52=3，纵坐标为1+(−3)2=−1，
即点P 的坐标为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
（3）如图，点Q 即为所求．
26．（2022•温州模拟）如图，在7×7的方格纸中，△ABC 的顶点均在格点上．请按照以下要求画图．
（1）在图1中画格点△BCP ，使△BCP 与△ABC 关于某条直线对称．
（2）在图2中画格点△BCQ ，使△BCQ 的面积为△ABC 面积的2倍．
【解答】解：（1）如图，△BCP 即为所求；
（2）如图，△BCQ即为所求．
27．（2022•乐清市一模）如图，将矩形MNPQ按照图1方式剪成4个直角三角形，再将这4个直角三角形按照图2方式无缝拼接成▱ABCD，连结DG，BE．
（1）求证：四边形DEBG为平行四边形；
（2）当AE＝3，AD＝5，∠F AB＝∠GDE，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵由题意可得∠AED＝∠CHD＝∠BGC＝∠AFB＝RT∠
∴DE∥BG，
∵ED＝BG
∴四边形DEBG为平行四边形；
（2）解：∵AE＝3，AD＝5，∠AED＝90°
∴ED=√AD2−AE2=√52−32=4
∴AF＝4，EF＝1，
∵四边形DEBG是平行四边形，
∴∠GDE＝∠EBG，
∵∠F AB＝∠GDE，
∴∠F AB＝∠EBG，
∴△FEB∽△FBA，
∴EF×AF＝BF2，
∴BF＝2，
∴BE=√EF2+BF2=√12+22=√5．。