务川仡佬族苗族自治县六月上旬九年级数学上册 第22章 一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.

22．2.3 公式法
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2．会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点
求根公式的推导和公式法的应用． 难点
一元二次方程求根公式的推导．
一、情境引入 用配方法解方程：
(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2
－3x ＋5＝0. 解：(1)x 1＝－1，x 2＝－2； (2)无解． 二、探究新知
教师多媒体展示问题，引导学生利用配方法推出求根公式，学生小组展示．
如果这个一元二次方程是一般形式ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？
问题 已知ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2
－4ac
2a
，
x 2＝－b －b 2
－4ac 2a
.
【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去．
探究 一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2
－4ac≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b ±b 2
－4ac 2a 就得到方程的根，当b 2
－4ac<0时，方程没有
实数根；
(2)x ＝－b ±b 2
－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式；
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
教师板演第①小题，学生可自主完成余下的题目，小组展示，教师点评． 例 用公式法解下列方程：
①2x 2－4x －1＝0； ②5x＋2＝3x 2
；
③(x －2)(3x －5)＝0; ④4x 2
－3x ＋1＝0. 解：①x 1＝1＋
62，x 2＝1－62
； ②x 1＝2，x 2＝－1
3；
③x 1＝2，x 2＝5
3
；
④无解． 三、练习巩固
教师展示课件，学生自主完成，小组内交流．用公式法解下列方程：
(1)x 2
＋x －12＝0； (2)x 2
－2x －14＝0；
(3)x 2
＋4x ＋8＝2x ＋11； (4)x(x －4)＝2－8x ；
(5)x 2
＋2x ＝0；
(6)x 2＋25x ＋10＝0. 四、小结与作业 小结
1．求根公式的概念及其推导过程． 2．公式法的概念．
3．应用公式法解一元二次方程． 布置作业
从教材相应练习和“习题22.2”中选取．
在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率．
21.4 二次函数的应用
第3课时 二次函数的综合应用
【知识概述】
二次函数的综合运用是为考察学生综合运用知识的能力而设计的题目，常以中考压轴题出现，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此成为拉开分值而具有选拔功能。

有的学生对二次函数的综合题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高函数的综合题（压轴题）的得分率，解好函数的综合题（压轴题），本讲将以具体实例介绍几种常用的解题策略，从心理上打消望而生畏的忧虑，获得数学高分的制胜法宝。

【解题策略】
1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想；
2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想；
3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想；
4、综合多个知识点，运用等价转换思想；
5、分题分段得分：对题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，做到得一分算一分。

【典例精析】
专题一 知识回顾
【例1】1、已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象的对称轴是直线 2=x ，且有最大
值2，其图象在x 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

2、已知二次函数y=ax 2
+bx +c 满足a -b +c =0,其图像过点A(2, -3)，并且以x =1为对称轴，求此二次函数的解析式。

3、已知二次函数24y ax x c =-+的图象与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ,tan ∠ACO =
1
5
，CO =BO , △ABC 的面积为15。

求该二次函数的解析式。

专题二 能力提升
题型1：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式
【例2】已知二次函数b ax x y ++-=2与x 轴从左到右交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，∠ACB =90°，且tan ∠BAC -tan ∠ABC =2，求此二次函数的解析式。

-
变式：
在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数)4()5(2+--+=k x k x y 的图象交
x 轴于点 A )0,(1x 、B )0,(2x ，且8)1)(1(21-=++x x 。

（1）求此二次函数解析式；
（2）将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积。

题型二: 二次函数的综合运用
【例3】如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
专题三 思维拓展
【例4】已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交
x 轴于点E ．
连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【例5】如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋ｃ与一直线相交于A （－1,0），C （2,3）两点，与y 轴交与点N 。

其顶点为D 。

（1）求抛物线及直线A 、C 的函数关系式；
（2）设点M （3，m ），求使MN +MD 的值最小时m 的值；
（3）若抛物线对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上任意一点，过E 作
EF ∥BD ，交抛物线于点F ，以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC面积的最大值.
【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数
5
4
y x m
=+ (m为常数)的图象
与x轴交于点A(3
-，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线2
y ax bx c
=++ (a b c
，，为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴
不平行的直线交抛物线于111M ()x y ，，222M ()x y ，两点，试探究2
121M M P
M P M •是否为定
值，并写出探究过程．
【课后测试】（成都各区、县2012—2013年度期末调研试卷28小题选编） 1、（高新区28）如图，二次函数211
22
y x mx m =-
+++的图象与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于C 点，顶点D 在第一象限。

过点D 作x 轴的垂线，垂
足为H 。

(1) 当3
2
m =
时，求tan∠ADH 的值； (2) 是否存在这样的m ,使得△ACO ∽△CBO ?若存在，求出m 的值,若不存在，请说明理由。

(3) 设△BCD 和△ABC 的面积分别为12S S 、当满足12=S S 时，求点D 到直线BC 的距离。

2、（金牛区28）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的图像于x 轴交于点B （3，0），与
y 轴交于点C （0，-3），且图像经过点A （2，-3）.
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点P 从A 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段AC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OB 向B 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动。

设运动时间为t 秒（t ＞0）.
①当t 取何值时，四边形ABQP 为等腰梯形；
②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ，设四边形BNPQ 的面积为S ,求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值，并求出最值。

3、(武侯28)已知两直线1l 、2l 分别经过点A （3，0），点B （-1，0），并且当两条直线同时相交于y 轴负半轴的点C 时，恰好有1l ⊥2l ，经过点A 、B 、C 的抛物线的对称轴与直线2l 交于点K ，如图所示． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形的面积等于△ABC 的面积的
3
2
倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将直线1l 按顺时针方向绕点C 旋转α°（0＜α＜90°），与抛物线的另一个交点为M ．求在旋转过程中△MCK 为等腰三角形时的α的值．
4、（青羊28）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A （x 1,0）、B （x 2,0）（x 1＜x 2），与y 轴的正半轴交于点C （0,3）。

已知该抛物线的顶点横坐标为1，A 、B 两点间的距离为4。

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求△ABC 外接圆的圆心M 的纵坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使△PBD （PD 垂直于x 轴，垂足为D ）被直线BM 分成的面积为1：2两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

5、（成华区28）如图，已知点C （－4，2），Rt△AOB ≌Rt△OCD ，直角边OB 、OD 在x 轴
上．抛物线经过O 、A 、C 三点． （1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点M 为线段OC 上一个动点，过点M 作y 轴的平行线交抛物线于点G ，问是否存在这样的点M ，使得四边形ABMG 为等腰梯形？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使QB +QM 的值最小？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
答案与提示：
【例3】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2
+bx+c 。

∵直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点， ∴A 点坐标为（-1,0）、B 点坐标为（0,3）. 又∵抛物线经过A 、B 、C 三点，
∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴抛物线的解析式为：y=-x 2
+2x+3．
（2）∵y=-x 2
+2x+3= 2
(1)4x --+，∴该抛物线的对称轴为x=1．
设Q 点坐标为（1，m
），则AQ BQ =
=
AB =当AB=AQ 时，
m =， ∴Q 点坐标为（1
1
，）；
第28题图
当AB=BQ=
12
0,6
m m
==，
∴Q点坐标为（1
，0）或（1，6
）；
当AQ=BQ=1
m=，
∴Q
点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（
1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．
【例4】解：（1）由题意得
1
2
930
2
b
a
a b c
c
⎧
=
⎪
⎪⎪
-+=
⎨
⎪
⎪
=-
⎪⎩
解得
2
3
4
3
2
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=-
⎪
⎪
⎩
∴此抛物线的解析式为2
24
2
33
y x x
=+-
（2）连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以PBC
△周长最小，就是使PC PB
+最小.B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴1
x=-的交点即为所求的点P.设直线AC的表达式为y kx b
=+则
30
2
k b
b
-+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得
2
3
2
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
∴此直线的表达式为
2
2
3
y x
=--．·················· 5分把1
x=-代入得
4
3
y=-∴P点的坐标为
4
1
3
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，
（3）S存在最大值
理由：∵DE PC
∥，即DE AC
∥．
∴OED OAC
△∽△．
∴
OD OE
OC OA
=，即
2
23
m OE
-
=．
∴
33
33
22
OE m AE OE m
=-==
，，
方法一：连结OP
OED POE POD OED
PDOE
S S S S S S
=-=+-
△△△△
四边形
=()()
134113
32132
223222
m m m m
⎛⎫⎛⎫
⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=23342m m -
+ ∵3
04
-<
∴当1m =时，333424
S =-+=最大 方法二：
OAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△
=
()1131341
323212222232
m m m m ⎛⎫⨯⨯-⨯-⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ =()2
2333314244m m m -
+=--+ ∵3
04
-<
∴当1m =时，3
4
S =最大
【例5】解：设直线AC 的解析式为:y =kx +n ，点 A （－1,0），C （2,3）在A \C 上，可得：
⎩⎨
⎧+=+-=n
k n
k 230 解得:k =1,n =1 ∴AC 的解析式为：y =x +1;
把A （－1,0），C （2,3）y ＝－x 2
＋bx ＋ｃ
⎩⎨
⎧++-=+--=c
b c
b 24310解得b =2,
c =3, ∴抛物线的解析式为y = －x 2
＋2x ＋3， ∴N （0,3）D （1,4）.
(2) 作N 关于x =3的对称点N 1
，连接DN 1
，则N 1
（6,3）.设直线D N 1
的解析式为y =px +q ，则有：
⎩⎨
⎧+=+=q
p q p 634，∴p =51-，q =521,∴D N 1的解析式y =51-x +521，当M （3，m ）在D N 1
上时，MN +MD 的值最小，∴m =5
1-×3+521=518
；
（3）易知B (1,2)，又D （1,4）∴BD =2.因为点E 在AC 上，设点E （x ,x +1）,
1°当点E 在线段AC 上时，点F （x .x +3），代入y = －x 2
＋2x ＋3，得x +3=－x 2
＋2x ＋3，
解得x =0或=1（不符合题意舍去），∴E ；
2°当点E 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F （x .x －1），代入y = －x 2
＋2x ＋3，得x －1=－x 2
＋2x ＋3，解得x =
2171±，所以E （2171-,2171--）E (2171+,2
17
1+-) 综上所述，当点E （0, 1）、（
2171-,2171--）或(2171+,2
17
1+-)时以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形能否为平行四边形；
（4）作CQ ⊥x 轴于Q ，作PG ⊥x 轴，交AC 于H 。

设H （x ,x +1），则P （x , －x 2
＋2x ＋3）,所以PH =（－x 2
＋2x ＋3）－（x +1）= －x 2
+
x +2，
又∵S △PAB =S △PAH + S △PBH =21PH ×AQ =21（－x 2+ x +2）×3=2
3
-（x －21）2+827，
∴△APC 面积的最大值是
827。

【例6】(1)∵一次函数5
4
y x m =+经过点A (3-，0)，
∴()5
0-34m =⨯+
∴15=4
m
则C 的坐标为（0，15
4
）
∵二次函数2
y ax bx c =++经过点A （－3,0）、点C （0，15
4
），且以直线x =1为对称轴
则点B 的坐标为（5,0）
∴()()15
=4-=-3+5=215
==-35=-154c b
a c a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⨯⎪⎩
E
F
解，得1541-412c a b ⎧=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
∴二次函数为21115
-++424
y x x = （2）存在
根据题意，FE ∥AC 要使ACEF 为平行四边形 则CE ∥AF ∵E 在抛物线21115-
++424
y x x =上 ∴E 是C 关于直线x =1的对称点，则E 点的坐标为（2，15
4
） ∴15
==2=7.54
ACEF S CE OC ⋅⨯
（3）要使△ACP 的周长取得最小值，即为AP +CP 最小
E 是C 关于直线x =1对称点，连接AE 交对称轴于点P ，则PE =CP 此时，△ACP 的周长取得最小值。

如图所示，CE 交x =1于点G ，x =1交x 轴于H 则
1
4
GP EG HP AH == ∴点P 的坐标为（1,3）
设过点P 的直线的直线12M M 的解析式为+3-y kx k = 则
21115
-++=+3-424
x x kx k ()()2+4-2-4+3=0x k x k
则△=()()2
2
4-2+44+3=16+16k k k
∴22
12=1-2+2+1,=1-2-2+1x k k x k k
∴2222
123-221,3-2-21y k k k y k k k =++=+
()()
(
)
22
2111=
-+-=2
+1-P P M P x x y y k k
E P
M 1
M 2
)
2
M P k
()
2
12
41
M M k
==
+
∴
))
()
12
2
2
12
221
=
+1
4+1
k k M P M P
M M k
k
⋅
⋅
=
∴12
12
M P M P
M M
⋅
不是定值。

第3课时 二次函数的综合应用
1、如图，二次函数211
22
y x mx m =-
+++的图象与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于C 点，顶点D 在第一象限。

过点D 作x 轴的垂线，垂足为H 。

(1) 当3
2
m =时，求tan∠ADH 的值；
(2) 是否存在这样的m ,使得△ACO ∽△CBO ?若存在，求出m 的值,若不存在，请说明理由。

(3) 设△BCD 和△ABC 的面积分别为12S S 、当满足12=S S 时，求点D 到直线BC 的距离。

2、如图，已知抛物线2
y ax bx c =++的图像于x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C （0，-3），且图像经过点A （2，-3）. （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点P 从A 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段AC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OB 向B 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动。

设运动时间为t 秒（t ＞0）.
①当t 取何值时，四边形ABQP 为等腰梯形；
②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ，设四边形BNPQ 的面积为S ,求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值，并求出最值。

3、已知两直线1l 、2l 分别经过点A （3，0），点B （-1，0），并且当两条直线同时相交于
y 轴负半轴的点C 时，恰好有1l ⊥2l ，经过点A 、B 、C 的抛物线的对称轴与直线2l 交于
点K ，如图所示． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形的面积等于△ABC 的面积的
3
2
倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将直线1l 按顺时针方向绕点C 旋转α°（0＜α＜90°），与抛物线的另一个交点为M ．求在旋转过程中△MCK 为等腰三角形时的α的值．
4、如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A （x 1,0）、B （x 2,0）（x 1＜
x 2），与y 轴的正半轴交于点C （0,3）。

已知该抛物线的顶点横坐标为1，A 、B 两点间
的距离为4。

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求△ABC 外接圆的圆心M 的纵坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使△PBD （PD 垂直于x 轴，垂足为D ）被直线BM 分成的面积为1：2两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

5、如图，已知点C（－4，2），Rt△AOB≌Rt△OCD，直角边OB、OD在x轴上．抛物线经
过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点M为线段OC上一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于点G，问是否存在这样的点M，使得四边形ABMG为等腰梯形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使QB+QM的值最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
第28题图。