2020高考数学二轮复习 第十二章 概率与统计 古典概型与几何概型 理)

2020高考数学二轮复习第十二章概率与统计古典概型与几何概
型理
理数
1. (2020湖北,7,5分)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组
确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为()
A. B. C. D.
[答案] 1.D
[解析] 1.区域Ω1为直角△AOB及其内部,其面积S△AOB=×2×2=2.区域Ω2是直线x+y=1和x+y=-2夹成的条形区域.由题意得所求的概率P===.故选D.
2. (2020陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()
A. B. C. D.
[答案] 2.C
[解析] 2.根据题意,2个点的距离小于该正方形边长的有4对,故所求概率P=1-=,故选
C.
3.(2020浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.
(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);
(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).
则()
A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)
B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)
C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)
D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)
[答案] 3.A
[解析] 3.当i=1时,若从乙盒中抽取的1个球为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A1,
则P(A1)=.
若从乙盒中抽取的1个球为蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A2,则P(A2)=×=,而A1与A2互斥,则p1=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.此时,ξ1的取值为1或2,P(ξ1=1)=,P(ξ1=2)=,则E(ξ1)=1×+2×=.当i=2时,若
从乙盒中抽取的2个球都为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B1,则P(B1)=. 若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B2,
则P(B2)=×.
若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B3,则P(B3)=×.因为B1,B2,B3互斥,则p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)==
==.则p1-p2=>0,即有p1>p2.此时,ξ2的取值为1,2,3.P(ξ2=1)=,P(ξ2=2)=,P(ξ2=3)=,则
E(ξ2)=1×+2×+3×==3p2=,则有E(ξ1)<E(ξ2),综上,p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2),故选A.
4.(2020课表全国Ⅰ，5，5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()
A. B. C. D.
[答案] 4.D
[解析] 4.由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公
益活动的概率为P===,故选D.
5. (2020山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9) 向边长分别为的三角形区域内随机投一点，则该点与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）
A． B. C. D.
[答案] 5. A
[解析] 5. 设△ABC的三边AB=5，BC=6，AC=. 根据余弦定理可得
，又因为∠B∈（0，π），所以. 所以△ABC的面积为. 而在△ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为，同理可得在△ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为，，所以在△ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为
.
6. (2020河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），3) 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数, 则使关于的一元二次方程无实根的概率为( )
[答案] 6. C
[解析] 6. 由，故，选C .
7. (2020湖北黄冈高三4月模拟考试，8) 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会收到干扰，则手机收到干扰的概率为（）
A.
B.
C.
D.
[答案] 7. C
[解析] 7. 设两条短信进入手机的时间分别为、，则，作平面区域，如图，由几何概型知，手机受到干扰的概率为.
8. (2020贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间[0,2]上随机取两个数, 则0≤≤2的概率是（）
A.
B.
C.
D.
[答案] 8.C
[解析] 8.：如图，.
9. (2020黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，10) 在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）
A. B. C. D.
[答案] 9. D
[解析] 9. 因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，其通项公式为
，当时，项为有理项，
展开式的9项全排列为种，，所有的有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项插入形成的7个空中，有，
所以有理项互不相邻的概率为.
10.（2020吉林实验中学高三年级第一次模拟，6）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手. 若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3
为公差的等差数列的概率为（）
A．B．C．D．
[答案] 10. D
[解析] 10. 从18个选手中任选3人的选法有种选法，由数字1，2，3，…，18构成的以3为公差的等差数列其等差中项只能是4、5、…. 、15，每个等差中项对应1个等差数
列，所以以3为公差的等差数列共有：12个，所以所求概率为.
11.（2020湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，9）将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为（）
A． B． C．D．
[答案] 11. A
[解析] 11. 它落地时向上的点数恰好依次成等差数列的情况有公差为0：有6种情况；公差为1的有4×2=8个；公差为2的有：2×2=4个，而满足这三次抛掷向上的点数之和为12的有：（3,4, 5）、（5,4, 3）、（4,4, 4）、（2,4, 6）、（6,4, 2）共5个，根据古典概型的
概率计算可得所求概率为.
12. (2020重庆五区高三第一次学生调研抽测，7) 设点（）是区域内的随机点，函数在区间[）上是增函数的概率为（）
A. B. C. D.
[答案] 12. C
[解析] 12. 表示的区域的面积为. 函数在区间[）
上是增函数，则，所以概率. 选C.
13.(2020湖北武汉高三2月调研测试，8) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为
[答案] 13. D
[解析] 13. 根据几何概型，
===，
其中“＝” 当且仅当时成立. 故选D.
14.(2020吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 5) 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离小
于，则周末去踢球，否则去图书馆. 则小波周末去图书馆的概率是（）
A.
B.
C.
D.
[答案] 14. B
[解析] 14. 圆的面积为，点到圆心的距离小于的面积为，所以点到圆心的距离大于的
面积为，由几何概型小波周末去图书馆的概率为.
15. (2020河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 8) 已知菱形的边长为4，
，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）
A. B. C. D.
[答案] 15.D
[解析] 15.如右图，阴影部分M即为点到菱形四个顶点的距离大于1的点的集合，空白部分是半径为的圆，所以.
16. (2020兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是( )
①对于命题，则，均有
②是直线与直线互相垂直的充要条件
③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5) ，则回归直线方程为＝
1.23x＋0.08
④若实数，则满足的概率为
⑤ 曲线与所围成图形的面积是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
[答案] 16. A
[解析] 16. 对①，因为命题，则，均有，故①错
误；
对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；
对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；
对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；
对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.
故正确的是③⑤，共2个.
17. (2020湖北黄冈高三期末考试) 福彩3D是由3个0～9的自然数组成投注号码的彩票，
耀摇奖时使用3台摇奖器，各自独立、等可能的随机摇出一个彩球，组成一个3位数，构成中奖号码，下图是近期的中奖号码（如197,244, 460等），那么在下期摇奖时个位上出现3的可能性为（）
[答案] 17. A
[解析] 17. 古典概型. 依题意，个位上的数字由10种情况，个位上的数去3 只有一种情况，
故所求的概率，即个位上出现3的可能性是10%.
18. (2020广东,11,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为________.
[答案] 18.
[解析] 18.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数有种选法.要使抽取的七个数的中位
数是6,则6,7,8,9必须取,再从0,1,2,3,4,5中任取3个,有种选法,故概率为=.
19. (2020福建,14,4分)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.
[答案] 19.
[解析] 19.∵y=ex与y=ln x互为反函数,故直线y=x两侧的阴影部分面积相等,只需计算其中一部分即可.
如图,S1=exdx=ex=e1-e0=e-1.
∴S总阴影=2S阴影=2(e×1-S1)=2[e-(e-1)]=2,
故所求概率为P=.
20. (2020江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________.
[答案] 20.
[解析] 20.从10件产品中任取4件有种取法,取出的4件产品中恰有1件次品有种
取法,则所求的概率P==.
21.(2020江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.
[答案] 21.
[解析] 21.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.
满足条件的有(2,3),(1,6),共2种情况.
故P==.
22.(2020辽宁,14,5分)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.
[答案] 22.
[解析] 22.由对称性可知S阴影=S正方形ABCD-4x2dx=22-4×=,所以所求概
率为=.
23.（2020重庆一中高三下学期第一次月考，13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是（用数字作答）。

[答案] 23.13答案
[解析] 23. 设小钟和小薛分别在8点后x、y分钟后到达华岩寺正大门，则，等待时间|x－y|≤15，根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为
.
24. (2020福州高中毕业班质量检测, 12) 如图所示, 在边长为1的正方形中任取一点, 则点恰好取自阴影部分的概率为.
[答案] 24.
[解析] 24. 依题意，阴影部分面积，，
故所求的概率为.
25. (2020广东广州高三调研测试，11) 如图，设是图中边长为4的正方形区域，是
内函数图象下方的点构成的区域. 在内随机取一点，则该点落在中的概率为_______.
[答案] 25.
[解析] 25. 由已知及图像可得；阴影部分面积为，所以概率为.
26.（2020山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，14）如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为．
[答案] 26.
[解析] 26. 设被污损的数字为x(). 甲的平均分为
，乙的平均分为，解得，所以x可以取3、4、5、6、7、8、9共7个数值，所以所求概率为.
27.（2020湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，11）记集合
和集合表示的平面区域分别为和，若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为 .
[答案] 27.
[解析] 27. 平面区域的面积为，平面区域是由点O(0，0) 、A(2，0) 、B(0，2) 构成的三角形内部及其边界，其面积为，根据几何概型的概率计算公
式可得所求概率为.
28.(2020湖北八市高三下学期3月联考，13) 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．己知铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为。

lcm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体落在铜钱内），则油滴整体（油滴是直径为0．2cm的球）正好落入孔中的概率是（不作近似计算）．
[答案] 28.
[解析] 28. 随机向铜钱上滴一滴油，且油滴整体落在铜钱内，则油滴在以圆面圆心为圆心，半径为的圆内，即，若油滴整体正好落入孔中，则油滴在与正方形孔距离
为正方形内，即，所求概率是.
29.(2020江苏苏北四市高三期末统考, 4) 在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是▲．
[答案] 29.
[解析] 29. 由题意，设边上的高为，则，，，
，的概率.
30. (2020成都高中毕业班第一次诊断性检测，15) 设⊙O为不等边的外接圆，内角，，所对边的长分别为, , ，是所在平面内的一点，且满足
（与不重合），为所在平面外一点，. 有下列命题：
①若，，则点在平面上的射影恰在直线上；
②若，则；
③若，，则；
④若，则在内部的概率为（、分别表示与圆的面积）. 其中不正确的命题有（写出所有不正确命题的序号）．
[答案] 30. ①③④
[解析] 30. , ,
，，
，即是的平分线，
，在平面上的射影是的外心，
，是不等边三角形，
点在平面上的射影恰在直线上不正确，故①错误；
，为弧的中点，，
是在平面上的射影，，
，故②正确；
由于，则点在圆内，，则为直径，若，则为的角平分线，且经过点，与是不等边三角形矛盾，故③不正确；
若，是的平分线，在内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.
故不正确的为①③④.
31. (2020成都高中毕业班第一次诊断性检测，14) 已知，则的概率为.
[答案] 31.
[解析] 31. 由，则，，由几何概型公式，所求的概率
.
32.(2020广州高三调研测试, 11) 如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为．
[答案] 32.
[解析] 32. 依题意，正方形的面积，阴影部分的面积，
故所求的概率为.
33. (2020重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.
(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)
[答案] 33.查看解析
[解析] 33.(Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为
P==.
(Ⅱ)X的所有可能值为1,2,3,且
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,
故X的分布列为
X 1 2 3
P
从而E(X)=1×+2×+3×=.
34. (2020福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(Ⅰ)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;
(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
(Ⅱ)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
[答案] 34.查看解析
[解析] 34.(Ⅰ)设顾客所获的奖励额为X.
(i)依题意,得P(X=60)==,
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.
P(X=60)=,P(X=20)==,
即X的分布列为
X 20 60
P 0.5 0.5
所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).
(Ⅱ)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.
所以,先寻找期望为60元的可能方案.
对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.
以下是对两个方案的分析:
对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为
X1 20 60 100
P
X1的期望为E(X1)=20×+60×+100×=60,
X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为
X2 40 60 80
P
X2的期望为E(X2)=40×+60×+80×=60,
X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
注:第(Ⅱ)问,给出方案1或方案2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给3分;进一步比较方差,说明应选择方案2,再给2分.
35.（2020江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，18）一个口袋中装有大小形状完全相同的个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，
2个乒乓球上标有数字2，其余个乒乓球上均标有数字3（），若从这个口袋中
随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是.
（1）求的值；
（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之积，求
的分布列和数学期望．
[答案] 35.查看解析
[解析] 35. (1) 由题设，即，解得 (4)
分
(2) 取值为2，3,4, 6,9.
的分布列为：
2 3 4 6 9
=………………………12分
36.（2020江西红色六校高三第二次联考理数试题，17）某企业招聘工作人员，设置、、
三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊
五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试．已
知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为．戊参加
组测试，组共有6道试题，戊会其中4题. 戊只能且必须选择4题作答，至少答对3
题
则竞聘成功.
（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；
（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；
（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.
[答案] 36.查看解析
[解析] 36. (I) 设戊竞聘成功为A事件，则
…………3分
（Ⅱ）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数” 为B事件
…………6分
（Ⅲ）可取0，1，2，3，4
0 1 2 3 4
P
…………12分
37.（2020吉林实验中学高三年级第一次模拟，18）前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜” ，某市成为本年度城市最“幸福城”. 随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制” 随机调查“阳光” 社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶) ：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”. 求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福” 的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多) 任选3人，记表示抽到“极幸福” 的人数，求的分布列及数学期望．
[答案] 37.查看解析
[解析] 37.（1）众数：8.6；中位数：8.75 ；……………………………2分
（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福” ，至多有1人是“极幸福” 记为事件，则
；…………………6分
（3）的可能取值为0，1，2，3.
；；
；…….. …………….. 10分
所以的分布列为：
. ……….. ………. …12分
另解：的可能取值为0，1，2，3. 则，.
所以=．
38. （本题满分12分）某英语学习小组共12名同学进行英语听力测试，随机抽取6名同学的测试成绩（单位：分），用茎叶图记录如下，其中茎为十位数，叶为个位数.
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）成绩高于样本均值的同学为优秀，根据茎叶图估计该小组12名同学中有几名优秀同学；
（3）从该小组12名同学中任取2人，求仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.
[答案] 38.查看解析
[解析] 38.（1）由题意可知, 样本均值. (3分) （2）样本中成绩高于样本均值的同学共有2名,
可以估计该小组12名同学中优秀同学的人数为: . (7分)
（3）从该小组12名同学中, 任取2人有种方法,
而恰有1名优秀同学有
所求的概率为: . (12分)。